专题11三角形基础(含等腰三角形、勾股定理)-5年(2018~2022)中考1年模拟数学分项汇编(北京专用)(原卷版+解析)

专题11三角形基础（含等腰三角形、勾股定理）一、填空题1．（2022·北京·中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为_______．2．（2019·北京·中考真题）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．3．（2019·北京·中考真题）如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.4．（2018·北京·中考真题）下图所示的网格是正方形网格，________．（填“”，“”或“”）5．（2018·北京·中考真题）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．二、解答题6．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．7．（2021·北京·中考真题）《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在中，______________，是的中点，（______________）（填推理的依据）．∵直线表示的方向为东西方向，∴直线表示的方向为南北方向．8．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．9．（2020·北京·中考真题）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．10．（2018·北京·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．11．（2018·北京·中考真题）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．一、填空题1．（2022·北京四中模拟预测）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝_____°．2．（2022·北京房山·一模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠OCB=20°，则∠A度数为_________．3．（2022·北京市燕山教研中心一模）是平面直角坐标系中的两点，线段长度的最小值为____________．4．（2022·北京门头沟·一模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m．5．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F，若DF＝6，则线段EF的长为_____．6．（2022·北京房山·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A＝________________

°．7．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知如图，在ABC中，BAE=CAE,BEAE于点E，若ABC=3ACB,则AB,AC,BE之间的数量关系____________．8．（2022·北京十一学校一分校一模）如图，PA，PB分别切半径为1的⊙O于A，B两点，BC为直径，若，则PB的长为_____．9．（2022·北京通州·一模）如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB．如果，那么∠P的度数为______．10．（2022·北京房山·二模）如图，点在直线外，点、、、均在直线上，如果，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）．11．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在中，点D、E分别、上的点，与交于点O．给出下列三个条件：①；②；③．利用其中两个条件可以证明是等腰三角形，这两个条件可以是____________．12．（2022·北京顺义·一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则_______．13．（2022·北京昌平·模拟预测）已知三角形三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为__________．14．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处．若AB=8，DE=5，则折痕AE的长为________．15．（2022·北京·模拟预测）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为______km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为______km．16．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半径为1，直线l：y＝ax，给出下列四个结论：①当a＝1时，直线l与⊙Q相离；②若直线l是⊙Q的一条对称轴，则；③若直线l与⊙Q只有一个公共点T，则；④若直线l上存在点Y，⊙Q上存在点C，使得∠ZYC＝90°，则a的最大值为．其中所有正确结论的序号是_____．二、解答题17．（2022·北京平谷·一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．(1)求证：四边形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝，BF＝5，连接CD，求CD的长．18．（2022·北京东城·一模）如图，在中，，以AB为直径作，交BC于点D，交AC于点E，过点B作的切线交OD的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，，求AE的长．19．（2022·北京丰台·一模）《周髀算经》中记载了一种确定东南西北方向的方法．大意是：在平地上点A处立一根杆，记录日出时杆影子的长度AB，并以点A为圆心，以AB为半径画圆，记录同一天日落时杆影子的痕迹与此圆的交点C，那么直线CB表示的方向就是东西方向，∠BAC的角平分线所在的直线表示的方向就是南北方向．(1)上述方法中，点A，B，C的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作∠BAC的角平分线AD（保留作图痕迹）；(2)在图中，确定了直线CB表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线AD表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：∵点B，C在⊙O上，∴AB＝．∴△ABC是等腰三角形．∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（）（填推理的依据）．∵直线CB表示的方向为东西方向，∴直线AD表示的方向为南北方向．20．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在三角形中，，，是边的高线，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F．(1)依题意补全图形，写出____________°(2)求和的度数；(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．21．（2022·北京门头沟·一模）如图，在等边中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．连接，作的平分线，交于．(1)①根据题意，补全图形；②请用等式写出与的数量关系，并证明．(2)分别延长和交于点，用等式表示线段，，的数量关系，并证明．22．（2022·北京朝阳·一模）在中，D是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点E．(1)如图，若，①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明；(2)若，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段之间新的数量关系（不需证明）．23．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，AB是的直径，弦，垂足为H，E为上一点，过点E作的切线，分别交的延长线于点F，G连接AE，交CD于点P．(1)求证：；(2)连接AD，若，求半径．24．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，且，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点，，在点，，中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；(3)已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围．专题11三角形基础（含等腰三角形、勾股定理）一、填空题1．（2022·北京·中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为_______．【答案】1【解析】解：在矩形中：，，∴，，∴，∴，故答案为：1．2．（2019·北京·中考真题）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．【答案】12【解析】解：如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，∴菱形ABCD的面积=；故答案为12．3．（2019·北京·中考真题）如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.【答案】45【解析】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，∴∠PDB=90°，即△PBD为等腰直角三角形，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，故答案为：45．4．（2018·北京·中考真题）下图所示的网格是正方形网格，________．（填“”，“”或“”）【答案】>【解析】解：如下图所示，是等腰直角三角形，∴，∴．故答案为另：此题也可直接测量得到结果．5．（2018·北京·中考真题）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．【答案】【解析】解：∵四边形是矩形，∴，//，，在中，，∴，∵是中点，∴，∵//，∴，∴．故答案为：．二、解答题6．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)；证明见解析【解析】(1)证明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．(2)解：补全后的图形如图所示，，证明如下：延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．7．（2021·北京·中考真题）《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在中，______________，是的中点，（______________）（填推理的依据）．∵直线表示的方向为东西方向，∴直线表示的方向为南北方向．【答案】（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一【解析】解：（1）如图所示：（2）证明：在中，，是的中点，（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．∵直线表示的方向为东西方向，∴直线表示的方向为南北方向；故答案为，等腰三角形的三线合一．8．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时；当时，此时．【解析】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”，都不能绕点A进行旋转得到；故答案为；（2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：设与y轴的交点为D，连接，易得轴，∴，∴，，∴，∴；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的，∴；（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，∴，∴，∴；由以上情况可知当点三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：连接，过点作于点P，∴，设，则有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；综上所述：当时，此时；当时，此时．9．（2020·北京·中考真题）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【答案】（1）；（2）图见解析，，证明见解析．【解析】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点∴DE为的中位线，且∴，∵∴∵∴∴四边形DECF为矩形∴∴则在中，；（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG∵∴，∵D是AB的中点∴在和中，∴∴，又∵∴DF是线段EG的垂直平分线∴∵，∴在中，由勾股定理得：∴．10．（2018·北京·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）BH=AE，理由见解析【解析】（1）证明：连接．∵，关于对称．∴．．在和中，∴，∴．∵四边形是正方形，∴．，∴，∴，∴，∵，，∴．在和中．∴≌，∴．（2）．证明：在上取点使得，连接．∵四这形是正方形．∴，．∵≌，∴．同理：，∴∵，∴，∴，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴．在和中，∴≌，∴，在中，，．∴，∴．11．（2018·北京·中考真题）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2．【解析】（1）证明：∵AB//CD，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵∥，∴四边形是平行四边形，又∵，∴是菱形．（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，∴，，，∴，在Rt△AOB中，，∴，∵，∴，在Rt△AEC中，，为中点，∴．一、填空题1．（2022·北京四中模拟预测）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝_____°．【答案】45【解析】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，∴AB垂直平分CD∴AC＝AD∴△ACD是等腰三角形∴∠BAC＝∠CAD＝×45°＝22.5°∴∠BOC＝2∠BAC＝45°，故答案为：45．2．（2022·北京房山·一模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠OCB=20°，则∠A度数为_________．【答案】70°【解析】解：∵OB＝OC，∠OCB＝20°，∴∠OBC＝∠OCB＝20°，∴∠BOC＝180°―∠OBC―∠OCB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠A＝∠BOC＝70°故答案为：70°3．（2022·北京市燕山教研中心一模）是平面直角坐标系中的两点，线段长度的最小值为____________．【答案】3【解析】解：∵A（a，0），B（5，3），∴，当，即时，线段AB的长度的值最小，此时，故答案为：3．4．（2022·北京门头沟·一模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m．【答案】8．【解析】连结OA，拱桥半径OC为5cm，cm，m，cm，mm，故答案为：8．5．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F，若DF＝6，则线段EF的长为_____．【答案】3【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF－AE＝8－5＝3，故答案为：3．6．（2022·北京房山·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A＝________________

°．【答案】36【解析】∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．∴∠A＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝2∠A＝∠ABC，设∠A为x，可得：x+x+x+2x＝180°，解得：x＝36°，故答案为36．7．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知如图，在ABC中，BAE=CAE,BEAE于点E，若ABC=3ACB,则AB,AC,BE之间的数量关系____________．【答案】【解析】【分析】延长BE交AC于点F，证明AF=AB，得AC-AB=CF，再证明CF=BF=2BE即可得到结论．【详解】如图，延长BE交AC于点F，∵AE⊥BE，∴∠AEB=∠AEF=90︒，在△AEB中，∵∠ABE+∠BAE+∠AEB=180︒，∴∠ABE=90︒-∠BAE，同理，∠AFE=90︒-∠FAE，∵∠BAE=∠FAE，∴∠ABE=∠AFE，∴AB=AF，∵AE⊥BE，∴BF=2BE，∴AC-AB=AC-AF=CF，∵∠AFB是△BCF的外角，∴∠AFB=∠FBC+∠C∵∠ABC=3∠C∴∠ABC=∠ABF+∠CBF=∠AFB+∠CBF，∴3∠C=∠AFB+∠CBF=2∠CBF+∠C∴∠CBF=∠C∴BF=CF∴AC-AB=BF=2BE，即故答案为：．8．（2022·北京十一学校一分校一模）如图，PA，PB分别切半径为1的⊙O于A，B两点，BC为直径，若，则PB的长为_____．【答案】【解析】解：连接OP，OA，如图：∵PA，PB是⊙O的切线，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，故答案为：．9．（2022·北京通州·一模）如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB．如果，那么∠P的度数为______．【答案】40°【解析】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OB⊥BP，PA=PB，∴∠OBP=90°，∵，∴∠ABP=70°，∵PA=PB，，∴∠BAP=∠ABP=70°，∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=180°-70°-70°=40°，故答案为：40°10．（2022·北京房山·二模）如图，点在直线外，点、、、均在直线上，如果，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）．【答案】∠A＝∠B【解析】解：条件是∠A＝∠B理由是：∵∠A＝∠B∴PA＝PB在和中，∴（SAS）故答案为：∠A＝∠B11．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在中，点D、E分别、上的点，与交于点O．给出下列三个条件：①；②；③．利用其中两个条件可以证明是等腰三角形，这两个条件可以是____________．【答案】①③或②③【解析】当、时在和中∴∴，∵，∴在和中∴∴是等腰三角形，即①③可以证明是等腰三角形；当、时在和中∴∴，，∵，∴在和中∴∴是等腰三角形，即②③可以证明是等腰三角形；故答案为：①③或②③．12．（2022·北京顺义·一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则_______．【答案】【解析】如图，延长DH交EF于点k，∵H是的中点又则故答案为：13．（2022·北京昌平·模拟预测）已知三角形三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为__________．【答案】24【解析】∵62+82=102，∴此三角形为直角三角形，∴此三角形的面积为：．故答案为：24．14．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处．若AB=8，DE=5，则折痕AE的长为________．【答案】【解析】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠C=90°，AB=CD，AD=BC，由折叠的性质可得：EF=DE=5，AD=AF，∴CE=CD-DE=3，在Rt△CEF中，CF=．∴设AD=BC=AF=x，则BF=x-4，∴在Rt△ABF中，，解得：x=10，∴在Rt△ADE中，AE=．故答案为5．15．（2022·北京·模拟预测）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为______km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为______km．【答案】

20

13【解析】（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB=12﹣（﹣8）=20；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE=1﹣（﹣17）=18，AE=12，设CD=x，∴AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18﹣x）2+122，∴解得：x=13，∴CD=13．故答案为（1）20；（2）13．16．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半径为1，直线l：y＝ax，给出下列四个结论：①当a＝1时，直线l与⊙Q相离；②若直线l是⊙Q的一条对称轴，则；③若直线l与⊙Q只有一个公共点T，则；④若直线l上存在点Y，⊙Q上存在点C，使得∠ZYC＝90°，则a的最大值为．其中所有正确结论的序号是_____．【答案】①②③④【解析】解：如图：①当a＝1时，直线l为y＝x，如图，直线l与⊙Q相离，则①正确；②若直线l是⊙Q的一条对称轴，则一定过圆心，故将Q（5，2）代入y＝ax，可得，则②正确；③若直线l与⊙Q只有一个公共点T，则直线l与⊙Q相切，如图中由题意得与⊙Q相切⊙Q的半径为1则③正确；④若直线l上存在点Y，⊙Q上存在点C，使得∠ZYC=90°，并使y=ax中a取得最大值，则如图，则YZ∥x轴，YC∥y轴，即Y（4，3），代入y=ax，得a=则a的最大值为④正确；故答案为：①②③④．二、解答题17．（2022·北京平谷·一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．(1)求证：四边形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝，BF＝5，连接CD，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)解：∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE=DF，∴四边形AEBF是平行四边形，∵EF⊥AB，∴四边形AEBF是菱形；(2)解：∵四边形AEBF是菱形，∴，AE=BF=BE=5，∴∠AEC=∠EBF，∵∠ACB=90°，∴，∴CE=3，∴，BC=CE+BE=8，∴，∵D是AB的中点，∠ACB=90°，∴．18．（2022·北京东城·一模）如图，在中，，以AB为直径作，交BC于点D，交AC于点E，过点B作的切线交OD的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)证明：(2)解：如图：连接BE是的直径，AB=4，是的切线又又，解得19．（2022·北京丰台·一模）《周髀算经》中记载了一种确定东南西北方向的方法．大意是：在平地上点A处立一根杆，记录日出时杆影子的长度AB，并以点A为圆心，以AB为半径画圆，记录同一天日落时杆影子的痕迹与此圆的交点C，那么直线CB表示的方向就是东西方向，∠BAC的角平分线所在的直线表示的方向就是南北方向．(1)上述方法中，点A，B，C的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作∠BAC的角平分线AD（保留作图痕迹）；(2)在图中，确定了直线CB表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线AD表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：∵点B，C在⊙O上，∴AB＝．∴△ABC是等腰三角形．∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（）（填推理的依据）．∵直线CB表示的方向为东西方向，∴直线AD表示的方向为南北方向．【答案】(1)见解析(2)AC；等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合【解析】(1)解：如图所示，射线AD即为∠BAC的角平分线；(2)解：证明：∵点B，C在⊙O上，∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合）（填推理的依据）．∵直线CB表示的方向为东西方向，∴直线AD表示的方向为南北方向．故答案为：AC；等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合20．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在三角形中，，，是边的高线，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F．(1)依题意补全图形，写出____________°(2)求和的度数；(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．【答案】(1)图见解析，°(2)，(3)，证明见解析【解析】(1)解：如图分别以A，C为圆心，以AC为半径作弧，两弧交于点E，连接BE交AD于点F，则∠CAE=60°；(2)解：∵，是边的高线，∴，∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，∴，又，∴，在中，，∴∴又∵是边的高线，∴∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，∴．(3)解：如图，在EF上取点M，使EM=BF，连接AM，∵AB=AE，∠ABF=∠AEM，BF=EM，∴△ABF≌△AEM（SAS），∴AF=AM，∠BAF=∠EAM，∵∠DAC=∠BAF，∴∠DAC=∠EAM，∵∠CAE=60°，∴∠FAM=60°，∴△AFM是等边三角形，∴FM=AF，∴AF+BF=EF；21．（2022·北京门头沟·一模）如图，在等边中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．连接，作的平分线，交于．(1)①根据题意，补全图形；②请用等式写出与的数量关系，并证明．(2)分别延长和交于点，用等式表示线段，，的数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析，②∠BAD＝2∠BCD，证明见解析；(2)＝＋，证明见解析．【解析】(1)解：①补全图形如图1，②∠BAD＝2∠BCD证明：由旋转的性质可知AD＝AC，∠CAD＝，∴△ADC是等腰三角形∴∠ADC＝∠ACD＝（180°－∠CAD）＝（180°－）＝90°－∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝AD∴∠BCD＝∠ADC－∠ACB＝（90°－）－60°＝30°－∵∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝60°－＝2（30°－）∴∠BAD＝2∠BCD(2)解：＝＋，理由如下：如图2，连接GF，在AF上截取FG＝DF，∵AE平分∠BAD∴∠BAF＝∠DAF＝∠BAD∵AB＝AC，AC＝AD∴AB＝AD又∵AF＝AF∴△ABF≌△ADF（SAS）∴BF＝DF∵∠BAD＝2∠BCD∴∠BCD＝∠BAD∴∠BCD＝∠BAF＝∠DAF∵∠BAF＋∠ABC＋∠AEB＝180°，∠BCD＋∠CFE＋∠CEF＝180°，∠AEB＝∠CEF∴∠CFG＝∠ABC＝60°∴∠AFB＝∠AFD＝60°∴∠BFC＝∠AFB＋∠AFD＝120°∵FG＝DF∴△DFG是等边三角形∴DG＝DF＝BF，∠DGF＝60°，∴∠AGD＝180°－∠DGF＝120°∴∠AGD＝∠CFB在△BCF和△DAG中，∴△BCF≌△DAG（AAS）∴CF＝AG∴AF＝AG＋FG＝CF＋DF即AF＝CF＋DF22．（2022·北京朝阳·一模）在中，D是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点E．(1)如图，若，①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明；(2)若，