第06讲正多边形和圆（知识解读真题演练课后巩固）3

第06讲正多边形和圆了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．知识点1圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.知识点2与正多边形有关的概念1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。知识点3正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。【题型1正多边形与圆求角度】【典例1】（2023•青羊区校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，∠ADB的度数是（）A．20° B．30° C．45° D．60°【答案】B【解答】解：连接OB，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴∠AOB＝＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝×60°＝30°．故选：B．【变式11】（2023•惠水县一模）如图，边长相等的正五边形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为（）A．10° B．12° C．20° D．22°【答案】B【解答】解：正五边形的内角＝108°，正六边形的内角＝120°，故∠1＝120°﹣108°＝12°．故选：B．【变式12】（2022秋•曲周县期末）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数等于（）A．45° B．60° C．35° D．55°【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OB、OC，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠BOC＝＝90°，∴∠BPC＝＝45°．故选：A．【变式13】（2023•新市区校级一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．150° B．144° C．135° D．120°【答案】B【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故选：B．【题型2正多边形与圆求线段长度】【典例2】（2023•龙港市二模）如图，要拧开一个边长为a的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少为（）A．2a B． C． D．【答案】B【解答】解：如图，正六边形ABCDEF的外接圆为⊙O，连AE，OA，BE，则点O在BE上，∵正六边形ABCDEF，∴AB＝AF＝EF＝a，∠F＝∠FAB＝120°，∴∠FAE＝∠FEA＝＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，在Rt△BEF中，AB＝a，∠AEB＝×60°＝30°，∴AE＝AB＝a，即b＝a，故选：B．【变式21】（2023春•鼓楼区校级期中）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠ADB＝15°，则该正多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，∵∠ADB＝15°，∴∠AOB＝2∠ADB＝30°，而360°÷30°＝12，∴这个正多边形为正十二边形，故选：D．【变式22】（2022秋•烟台期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A． B．3 C． D．【答案】B【解答】解：连接OB、OC，如图：∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径OB＝OC＝＝3，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，即正六边形的边长为3，故选：B．【变式23】（2023•苏州二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，过O作OM垂直AB，交AB于点M，则OM的长为．【答案】．【解答】解：如图，连接OB、OA．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOA＝60°，OB＝OA＝1，∴△OBA是等边三角形，∴BA＝OB＝OA＝1，∵OM⊥BA，∴BM＝AM＝，在Rt△OBM中，OM＝＝，故答案为：．【题型3正多边形与圆求半径】【典例3】（2022秋•巩义市期末）如图，已知⊙O的内接正方形ABCD的边长为1，则⊙O的半径为（）A． B． C．1 D．【答案】B【解答】解：连接OB、OC，如图所示，∵⊙O的内接正方形ABCD的边长为1，∴OB＝OC，BC＝1，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，OB2+OC2＝2OB2＝BC2＝1，∴OB＝．故选：B．【变式31】（2022秋•慈溪市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解答】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC，∵正六边形的周长是12，∴BC＝2，∴⊙O的半径是2．故选：C．【变式32】（2023•宜春一模）若正方形的边长为8，则其外接圆的半径是．【答案】．【解答】解：如图：过点O作OE⊥BC于点E，∵圆O是四边形ABCD的外接圆，∴∠OBE＝45°，∴△OBE是等腰直角三角形，∴BE＝CE，∵OE⊥BC，BC＝8，∴，∴．故其半径等于．故答案为：．【题型4正多边形与圆求面积】【典例4】（2022秋•呈贡区期末）正六边形的边长为6cm，则该正六边形的内切圆面积为（）A．48πcm2 B．36πcm2 C．24πcm2 D．27πcm2【答案】D【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵正六边形的边长为6cm，∴六边形ABCDEF是半径为6的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝6cm，∠OAB＝60°，∴OG＝OA•sin60°＝6×＝3（cm），∴边长为6cm的正六边形的内切圆的半径为3cm．该正六边形的内切圆面积为cm2故选：D．【变式41】（2023•大冶市一模）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（）A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2【答案】D【解答】解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为4m，高为2m，∴正六边形的面积为6××4×2＝24（m2），故选：D．【变式42】（2023•南山区二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（）​A．π B．2π C． D．【答案】D【解答】解：如图，过A作AC⊥OB于C，∵圆的内接正八边形的圆心角为＝45°，OA＝1，∴AC＝OC＝，∴S△OAB＝×1×＝，∴这个圆的内接正八边形的面积为8×＝2，故选：D．【变式43】（2023•济源一模）如图，正六边形ABCDEF，A（﹣2，0），D（2，0），点P从点A出发，沿A→B→C→D→E→F→A以每秒1个单位长度的速度运动，当运动到第2023秒时，△AOP的面积为（）A． B． C． D．1【答案】B【解答】解：连接OE，∵六边形ABCDEF是正六边形，A（﹣2，0），D（2，0），∴OA＝OE＝OD＝2，∠EOD＝×360°＝60°，∴△EOD是等边三角形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA＝OD＝2，∵2023÷（2×6）＝168……7，∴当运动到第2023秒时，点P为ED边的中点，∴PD＝PE＝ED＝1，OP⊥ED，作PG⊥OD于点G，∵∠OPD＝90°，OD＝2，PD＝1，∴OP＝＝＝，∴S△AOP＝OA•PG＝OD•PG＝S△OPD＝OP•PD＝××1＝，故选：B．【题型5正多边形与圆求周长】【典例5】（2023•钦州一模）如图，若一个正六边形的对角线AB的长为10，则正六边形的周长（）A．5 B．6 C．30 D．36【答案】C【解答】解：如图，连接CD、EF，则点O是正六边形ACEBDE的中心，∵正六边形ACEBDE，∴∠AOC＝∠COE＝∠EOB＝∠BOD＝∠DOF＝∠FOA＝＝60°，∵OA＝OC＝OE＝OB＝OD＝OF，∴△AOC是正三角形，∴AC＝AB＝5，∴正六边形ACEBDF的周长为5×6＝30，故选：C．【变式51】（2023春•余姚市期中）一个边长为1的正多边形的每个外角的度数是36°，则这个正多边形的周长是（）A．1 B．10 C．5 D．【答案】B【解答】解：由题意，得多边形边数为360÷36°＝10，∴正多边形为正十边形，∵边长为1，∴正六边形的周长为10，故选：B．【变式52】（2022秋•北辰区校级期末）边心距为3的正六边形的周长为（）A．18 B． C． D．【答案】B【解答】解：如图，正六边形ABCDEF的中心为点O，边心距为3，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，则OG＝3，∠OGA＝90°，∵OA＝OB，∠AOB＝×360°＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴＝sin∠OAB＝sin60°＝，∴AB＝OA＝＝＝2，∴正六边形的周长为6AB＝6×2＝12，故选：B．【变式53】（2022秋•河西区期末）六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为10，求中间正六边形的周长．【答案】60．【解答】解：如图，∵△ABG≌△BCH，∴AG＝BH，∵∠ABG＝30°，∴BG＝2AG，即BH+HG＝2AG，∴HG＝AG＝10，∴中间正六边形的周长＝6×10＝60，故答案为：60．【题型6正多边形与直角坐标系综合】【典例6】（2023•西和县一模）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B的坐标为（）A．（4，2） B．（4，4） C． D．【答案】C【解答】解：连接OB，OA，如图所示：∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝AB＝4，AB⊥x轴，AM＝BM，∵AB＝4，∴AM＝BM＝2，∴OM＝，∴点B的坐标为：（2，2），故选：C．【变式61】（2023•洛龙区一模）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（）​A．） B． C．D．【答案】B【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，∴点C的横坐标为﹣（2﹣2）＝2﹣2，纵坐标为1+2＝3，∴点C的坐标为（2﹣2，3），故选：B．【变式62】（2022秋•绵阳期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（）A． B． C． D．（2，4）【答案】A【解答】解：如图所示，作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，∵正六边形OABCDE的边长是4，∴OH＝HE＝2，△OME为等边三角形，∠OMH＝30°，∴MO＝2OH＝4，∴∴点M的坐标为：故选：A．1．（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（）A．60° B．90° C．180° D．360°【答案】B【解答】解：由于正六边形的中心角为＝60°，所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，故选：B．2．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为（）A．30° B．45° C．36° D．60°【答案】B【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，∵正六边形ABCDEF，Q是的中点，∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，∴∠CPQ＝∠COQ＝45°，故选：B．3．（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（）A．60° B．54° C．48° D．36°【答案】D【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，故选：D．4．（2023•自贡）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解答】解：∵AB＝CB，∠ACB＝15°，∴∠ABC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，设这个正多边形为正n边形，则＝150°，解得n＝12，经检验n＝12是原方程的解，即这个正多边形是正十二边形，故选：D．5．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（）（2﹣2，3）B．（0，1+2）C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）【答案】A【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，∴点C的横坐标为﹣（2﹣2）＝2﹣2，纵坐标为1+2＝3，∴点C的坐标为（2﹣2，3），故选：A．6．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）A．3 B． C． D．3【答案】C【解答】解：连接OC，OD，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周长等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故选：C．1．（2023秋•文成县期中）已知：圆内接正六边形的边长为2，则圆心到内接正六边形各边的距离为（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【解答】解：连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM＝30°，AB＝2，则AM＝1，因而OM＝OA•cos30°＝，∴正六边形的边心距是．故选：C．2．（2023秋•海珠区校级期中）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若正方形ABCD的边长为4，则正方形的半径是（）A．4 B．2 C． D．【答案】C【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，O为外心，∴AD＝4，△OAD是等腰直角三角形，∴OA＝OD＝2，故选：C．3．（2022秋•斗门区期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：设正多边形的边数为n．由题意可得：＝72°，∴n＝5，故选：B．4．（2023•宁津县一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，8） B．（45°，8） C． D．【答案】A【解答】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，∵∠ADO＝360°÷6＝60°，OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD＝OA＝4，∠AOD＝60°，∴OC＝2OD＝2×4＝8，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，8）．故选：A．5．（2023春•重庆月考）已知一个正多边形的每个外角都等于相邻内角的，则此正多边形的边数（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解答】解：设外角为α，则相邻内角为5α．∵α+5α＝180，∴α＝30°，360÷30＝12，∴此正多边形的边数为12．故选：D．6．（2023•安徽模拟）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，由正六边形的性质可得ON＝2，∴OD＝＝＝＝OF，∴MF＝﹣1，由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，∴FH＝MF＝，故选：D．7．（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（）A． B．2 C．3 D．2【答案】C【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过A作AM⊥OB于M，在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，∴AM＝OA＝，∴S△AOB＝OB•AM＝＝，∴正十二边形的面积为12×＝3，∴3＝12×π，∴π＝3，∴π的近似值为3，故选：C．8．（2023•桃城区校级模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．r＝Rcos36° B．a＝2Rsin36° C．a＝2rtan36° D．R＝rsin36°【答案】D【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝72°，∴∠1＝∠BOC＝×72°＝36°，R2﹣r2＝（a）2＝a2，a＝Rsin36°，故B不符合题意；a＝2Rsin36°，a＝rtan36°，a＝2rtan36°，故C不符合题意；cos36°＝，r＝Rcos36°，故A不符合题意；故选：D．9．（2023•西和县一模）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B的坐标为（）A．（4，2） B．（4，4） C． D．【答案】C【解答】解：连接OB，OA，如图所示：∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝AB＝4，AB⊥x轴，AM＝BM，∵AB＝4，∴AM＝BM＝2，∴OM＝，∴点B的坐标为：（2，2），故选：C．10．（2023•六安模拟）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为（）A． B． C．3 D．2【答案】D【解答】解：如图，取EF，AB的中点J，K，连接PJ，JK，MK，JK交CF于点Q，则△FJQ是等边三角形，四边形FQKA是平行四边形．∴JQ＝JF＝1，QK＝AF＝2，∴JK＝JQ+QK＝1+2＝3，∵FN＝AN＝1，FJ＝JE＝1，∴FJ＝FN，∵∠PFJ＝∠PFN＝60°，FP＝FP，∴△PFJ≌△PFN（SAS），∴PN＝PJ，∵∠AMB＝90°，AK＝KB，∴MK＝AB＝1，∵PJ+PM+MK≥JK＝3，∴PN+PM≥3﹣1＝2，∴PN+PM的最小值为2．故选：D．11．（2023•上杭县模拟）如图摆放着正五边形ABCDE和正三角形△EFG，其中点A、B、F在同一直线上，EG∥BF，则∠DEG的度数是144°．【答案】144°．【解答】解：在正五边形