专题18全等三角形双等腰旋转模型-初中数学模型与解题方法专题训练

18全等三角形双等腰旋转模型一、单选题1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是（）

A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°【答案】D【详解】解：由旋转性质可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°．∴∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∴△ACD≌△BCE．∴∠CBE＝∠A＝45°．∵AD＝BF，∴BE＝BF．∴∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故选：D．2．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（

）A．以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合B．以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合C．沿所在直线折叠后，与重合D．沿所在直线折叠后，与重合【答案】B【详解】解：A．根据题意可知AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD=，△EAC≌△BAD，旋转角∠EAB=90°，不符合题意；B．因为平行四边形是中心对称图形，要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，符合题意；C．根据题意可∠EAC=135°，∠EAD=360°﹣∠EAC﹣∠CAD=135°，AE=AE，AC=AD，△EAC≌△EAD，不符合题意；D．根据题意可知∠BAD=135°，∠EAD=360°﹣∠BAD﹣∠BAE=135°，AE=AB，AD=AD，△EAD≌△BAD，不符合题意．故选B．3．如图，，与的平分线相交于点，于点，为中点，于，．下列说法正确的是()①；②；③；④若，则．A．①③④ B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【详解】①中，∵AB∥CD，∴，∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，∴，∵，∴∴AG⊥CG，则①正确；②中，由①得AG⊥CG，∵，，∴根据等角的余角相等得，∵AG平分，∴，∴，则②正确；③中，根据三角形的面积公式，∵为中点，∴AF=CF，∵与等底等高，∴，则③正确；④中，根据题意，得：在四边形GECH中，，又∵，∴，∵CG平分∠ECH，∴，根据直角三角形的两个锐角互余，得.∵，∴，∴，∵，∴，∴，则④错误.故正确的有①②③，故选：C．4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF，则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【详解】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，又∵AB=AF=AC=AG，∴△CAF≌△GAB（SAS），∴BG=CF，故①正确；∵△FAC≌△BAG，∴∠FCA=∠BGA，又∵BC与AG所交的对顶角相等，∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，∴BG⊥CF，故②正确；过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，∴∠BAD=∠AFM，又∵AF=AB，∴△AFM≌△BAD（AAS），∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，故③正确，同理△ANG≌△CDA，∴NG=AD，∴FM=NG，∵FM⊥AE，NG⊥AE，∴∠FME=∠ENG=90°，∵∠AEF=∠NEG，∴△FME≌△GNE（AAS）．∴EF=EG．故④正确．故选：D．二、填空题5．如图，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=10，BD=9，则△AED的周长是．【答案】19【详解】解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，∴△BDC≌△BEA，∴BE=BD，∠DBE=60°，AE=CD，∴△DBE是等边三角形，∴DE=BD=9，∴△AED的周长=DE+AD+AE=DE+AC=19，故答案为：19．6．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0α90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC的面积为．【答案】30【详解】解：设AO与BC的交点为点G，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠DOB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠DBO＋∠OGB＝90°，∵∠OGB＝∠AGC，∴∠CAO＋∠AGC＝90°，∴∠ACG＝90°，∴CG⊥AC，设AC＝x，则BD=AC=x，BC=x+7，∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2，,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S=，故答案为：30．7．如图，和都是等腰直角三角形，，，则度．【答案】132【详解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为132三、解答题8．如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，．连结交于点．(1)请你找出一对全等的三角形，并加以证明；(2)直线是否互相垂直，请说明理由；(3)求证：；【答案】(1)≌，证明见解析；(2)，理由见解析；(3)见解析【详解】（1）≌，理由是：∵∴即又∵，∴≌（2），理由是：∵∴∵，∴∴∴（3）作于，于∵≌∴，∴∴∴是的平分线即．9．如图在△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，将△DCE绕点C旋转（0°<∠ACD<180°），连结BD和AE：(1)求证：△BCD△ACE;(2)试确定线段BD和AE的数量关系和位置关系；【答案】(1)见解析；(2)见详解【详解】（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD与△ACE中∴△BCD≌△ACE（SAS）；（2）如图，∵△BCD≌△ACE∴BD=AE，∠DBC=∠EAC∵∠AHO=∠BHC∴∠AHO+∠EAC=∠BHC+∠DBC=90°∴∠AOH=90°∴BD⊥AE10．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，求证：且

（2）将△COD绕点O旋转到图2、图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【详解】（1）证明：如图1中，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，在△AOD与△BOC中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴BC=AD∵H是BC中点，∴OH=BC=AD．∵△AOD≌△BOC∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，

∵点H为线段BC的中点，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠ADO+∠BOH=90°，∴OH⊥AD；

（2）解：结论：OH⊥AD，OH=AD证明：如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=OE=AD．

由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．易证△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=OE=AD．由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOG=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°，∴OH⊥AD．11．已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是ACBD（填“>”“<”或“=”）AC与BD的位置关系是ACBD（填“∥”或“⊥”）；（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关系，并给出证明．【答案】（1）=；⊥；（2）见解析；（3）AC=BD且AC⊥BD；证明见解析【详解】解：（1）∵OA=OB，OC=OD∴OAOC=OBOD，∴AC=BD．∵∠AOB=∠COD=90°，∴AO⊥BO，∵C、D分别在OA、OB上，∴AC⊥BD；（2）在△OCA和△ODB中，，∴△OCA≌△ODB，∴AC=BD；（3）AC=BD，AC⊥BD．理由：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，∴∠AOC=∠BOD，在△OCA和△ODB中，，∴△OCA≌△ODB，∴AC=BD，∠BDO=∠ACO，∵∠ACO+∠CFO=90°，∠CFO=∠DFE，∴∠BDO+∠DFE=90°，∴∠DEF=180°90°=90°，∴AC⊥BD．12．（）问题发现：如图①，与是等边三角形，且点，，在同一直线上，连接，求的度数，并确定线段与的数量关系．（）拓展探究：如图②，与都是等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，于点，连接，求的度数，并确定线段，，之间的数量关系．【答案】（1）的度数为，线段与之间的数量关系是；（2）．【详解】解：（）因为和均为等边三角形，所以，，，，所以，即．在和中，，所以≌，所以，．因为点，，在同一直线上，所以，所以，所以．综上可得，的度数为，线段与之间的数量关系是．（）因为和均为等腰直角三角形，所以，，，，所以，即．在和中，，所以≌，所以，．因为点，，在同一直线上，所以，所以，所以．因为，，，易证，所以．13．在中，在直线上，且．（1）如图1，当点在线段上时，求证：．（2）如图2，当点在的延长线上且点在线段上时，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析．【详解】如图1，，将绕点C逆时针旋转，得到，则，，连接，=45°，，为直角三角形，，又，，在和中，，，，即；如图2，，将绕点C逆时针旋转得到，，，，为直角三角形，，又，，在和中，，，．14．已知ABC与DAE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°．求证：（1）ABE≌ACD；（2）DC⊥BE．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解【详解】（1）ABC与DAE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，在ABE和ACD中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴ABE≌ACD（SAS）；（2）设DC与AE交于F，由ABE≌ACD，∴∠ADC=∠AEB，∵∠DAF=90º，∵∠AFD=∠EFC，∴∠ADF+∠AFD=∠CFE+∠FEC=90º（即∠FEC=∠AEB），∴∠FCE=180º∠CFE∠FEC=180º90º=90º，∴DC⊥BE．15．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．（1）如图，当点在线段上，如果，则______度．（2）设，．①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②，理由见解析【详解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；（2）①．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC∠DAC=∠DAE∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；②当点在射线的反向延长线上时，．理由如下：∵，∴，在△ABD与△ACE中，，∴，∴，∵，，∴，，∴，即．16．[发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC．[拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．[应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）∠DCE的度数为90°，CE+2AH=CD，理由见解析；（3）或．【详解】解：发现：（1）证明：∵AH⊥BC，∠BAC=90°，∴∠AHC=90°=∠BAC．∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°．∴∠CAH=∠B，在△ABH和△CAH中，，∴△ABH≌△CAH．（AAS）．∴BH=AH，AH=CH．∴AH=BC．拓展：∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD，理由如下：∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠EAC，∵AD=AE，AB=AC，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD=135°，∴∠DCE=90°；∵D、B、C三点共线，∴DB+BC=CD，∵DB=CE，AH=BC，∴CE+2AH=CD．应用：点A到BP的距离为：或．理由如下：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90°，交BP于点D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1，∴DP=BPBD=61=5，∵AH⊥DP，∴AH=DP=；如图4，过点A作AH⊥BP于点H，作∠PAD=90°，交PB的延长线于点D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BAC=90°，∠BPC=90°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ACP=∠ABD，∵AB=AC，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1∴DP=BP+BD=6+1=7．∵AH⊥DP，∴AH=DP=．综上所述：点A到BP的距离为：或．17．如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．【答案】（1）AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（3）AC=BD，AC⊥BD【详解】（1）AC=BD，AC⊥BD，证明：延长BD交AC于点E．∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90º，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，

∴∠OAC=∠OBD，∵∠ADE=∠BDO，∴∠AED=∠BOD=90º，∴AC⊥BD；（2）存在，证明：延长BD交AC于点F，交AO于点G．∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AGF=∠BGO，∴∠AFG=∠BOG=90º，∴AC⊥BD；（3）AC=BD，AC⊥BD．证明：BD交AC于点H，AO于M，∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AMH=∠BMO，∴∠AHM=∠BOH=90º，∴AC⊥BD．

．18．已知：如图1，AOB和COD都是等边三角形．（1）求证：①AC＝BD；②∠APB＝60°；（2）如图2，在AOB和COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系为，∠APB的大小为【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）AC＝BD，α【详解】证明：（1）①∵△AOB和△COD都是等边三角形，∴OA=OB，OC=OD，∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，②设AC与BO交于E，∵△AOC≌△BOD，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AEO=∠BEP，∴∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB，∴∠APB＝∠AOB＝60°．（2）AC=BD，∠APB=α，理由如下：∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，设AC与BO交于E，∵∠AEO=∠BEP，∴∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，∴∠APB=∠AOB=α，故答案为AC=BD，α．19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2【详解】解：（1）如图1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB12×12＝72．如图3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB2×2＝2．20．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．(1)的度数为_______________；(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；(3)连接，若，求的长．【答案】(1)；(2)小明，理由见解析；(3)5【详解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB和△ADC中，

，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB=∠ADC

，∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．（2）解：小明的说法更准确，理由如下：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（ASA），∴AB=BE．∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形．（3）解：连接DE，如图所示，∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，∴∠EDC=30°，∴．∵△ABD≌△EBC，∴．21．如图①，，，，相交于点M，连接．

(1)求证：；(2)用含的式子表示的度数；(3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)为等腰直角三角形．证明见解析【详解】（1）证明：如图1，，，在和中，，，．（2）解：如图1，∵，，在中，，=，在中，．（3）解：为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）得，的中点分别为点P、Q，，∵，，在与中，，，，又，，，∴为等腰直角三角形．22．如图，在中，为锐角，点为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，.（1）如果，.①当点在线段上时，如图1，线段、的位置关系为___________，数量关系为_____________②当点在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由.（2）如图3，如果，，点在线段上运动．探究：当多少度时，？小明通过（1）的探究，猜想时，.他想过点作的垂线，与的延长线相交，构建图2的基本图案，寻找解决此问题的方法．小明的想法对吗？如不对写出你的结论；如对按此方法解决问题并写出理由.【答案】（1）①垂直，相等；②都成立；（2）当时，【详解】解：（1）①CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．理由：如图1，∵∠BAD=90°∠DAC，∠CAE=90°∠DAC，∴∠BAD=∠CAE．又BA=CA，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD．∵∠ACB=∠B=45°，∴∠ECB=45°+45°=90°，即CE⊥BD．故答案为垂直，相等；②都成立∵，∴，∴，在与中，∴，∴，∴，即；（2）当时，（如图）．理由：过点作交的延长线于点，则，∵，∴，∴，∴，在与中，∴，∴，∴，即．23．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在边OA、OB上的点．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1，求证：OH＝AD，OH⊥AD；（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析【详解】（1）∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．∴OC＝OD，OA＝OB在△AOD与△BOC中∴△AOD≌△BOC（SAS）∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD∵点H是BC的中点，∠AOB＝90°∴OH＝HB＝∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，OH＝∵∠OAD＋∠ADO＝90°∴∠ADO＋∠BOH＝90°∴OH⊥AD（2）（1）中结论成立；如图，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，CE∵CH＝BH∴四边形BOCE是平行四边形∴BE＝OC，EB∥OC，OH＝OE∴∠EBO＋∠COB＝180°∵∠COB＋∠BOD＝90°，∠BOD＋∠1＝90°∴∠1＝∠COB∵∠AOD＋∠1＝180°∴∠AOD＝∠EBO∴△BEO≌△ODA∴∠EOB＝∠DAO，OE＝AD∴OH＝AD∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°∴OH⊥AD24．如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）过点E作交AC于点G，试判断的形状并说明理由；（2）求证：；（3）如图2，若点D在射线CA上，且，求证：．【答案】（1）是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【详解】（1）是等边三角形，理由如下：如图，过点E作交AC于点G，是等边三角形，，，是等边三角形；（2）和是等边三角形，，，即，在和中，，，，，；（3）由（2）知，，，，，，，由（2）已证：，，和是等边三角形，，在中，，在中，，，在和中，，，，．25．如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，连接AD、BE．（1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为________度；（2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面积；（3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想．【答案】（1）27；（2）；（3）BG=MN+CN，证明见解析．【详解】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∵,∴△ACD≌△BCE∴∠CEB=∠ADC，∠CAD=∠CBE=28°∵∠DCB=10°∴∠ACD=∠ACB∠DCB=90°10°=80°∴∠BCE=80°∴∠CEB=180°∠CBE∠BCE=72°∴∠DEB=∠CEB∠CED=72°45°=27°；故答案为27；（2）过C作CG⊥DE于点G，如图，∵△DCE是等腰直角三角形，