专题04双曲线的概念与几何性质（考点清单知识导图3考点清单10题型解读）

专题04双曲线的概念与几何性质【清单01】双曲线的概念与标准方程一.双曲线的定义1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3.若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4.若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5.若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。二.双曲线的标准方程1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中【清单02】双曲线的渐近线、离心率及几何性质汇总一.等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝eq\r(2).二.双曲线与渐近线的关系3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，三.离心率1.定义：e＝c2.范围：(1，＋∞)3.拓展：=1\*GB3①e2=c2a2=a2+b2a2=1+四.双曲线的几何性质汇总标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性质范围x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：eq\a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq\a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq\a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq\a\vs4\al(b)离心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x【清单03】直线与双曲线的位置关系一．直线与双曲线的位置关系把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2+bx+(1)∆>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点(2)∆=0时，直线与双曲线只有一个切点(3)∆<0时，直线与双曲线没有公共点当a=0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点【特别注意】(1)直线与双曲线的关系中:一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支(2)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.(3)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行:(4)注意对直线的斜率是否存在进行讨论二．弦长公式①弦长公式:直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d=1+k②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时,联立曲线方程和直线方程,根据两点间距离公式并结合韦达定理、点差法进行求解③双曲线的通径:过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径,无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于2【考点题型一】双曲线的概念与标准方程方法总结：文字语言平面内与两个定点F1，F2，F的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|符号语言||PF焦点定点F焦距两焦点间的距离【例1】（2324高二上·江苏连云港·期中）方程x2+yA．x2+yC．y2+x【答案】D【分析】移项平方化简可得答案.【详解】由x2+y两边平方得2y-1=x2两边再平方得4y可化简为y2故选：D.【变式11】（2223高二上·江苏盐城·期中）已知P是圆F1:x+32+y2=16上的一动点，点F23,0A．x25-C．x24-【答案】C【分析】由题意有QP=QF2，从而有QF1-Q【详解】如图所示：∵P是圆F1上一动点，点F2的坐标为3,0，线段PF2的垂直平分线交直线∴QP=QF∵P是圆F1上一动点，∴PF1=4∴F23,0，F1∴点Q的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且a=2，c=3，得∴点Q的轨迹方程为x2故选：C.【变式12】（2324高二上·江苏常州·期中）若方程mx2+1-my2A．m<0 B．C．0<m<1 D．m【答案】A【分析】由焦点在y轴上的双曲线方程的结构特征列出关于m的不等式组求解即得.【详解】因方程mx2+则有1-m>0m所以实数m的取值范围为m<0故选：A【变式13】（2324高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的方程为x2k+2+y【答案】-∞【分析】根据双曲线标准方程的特点求解即可.【详解】∵x2∴k+23-k∴k的取值范围是-∞,-2故答案为：-∞【变式14】（2122高二上·江苏镇江·期中）动圆M与圆C1：x+42+y2=1，圆C2：A．x215+C．x2-y【答案】D【分析】首先设Mx,y，半径为r，根据动圆M与圆C1，C2都外切得到MC2-【详解】圆C1：x+42+y2圆C2：x2+y2-设Mx,y，半径为r，因为动圆M与圆C所以MC所以M的轨迹为以C1,C2所以a=1，c=4，解得即M的轨迹方程为：x2故选：D【考点题型二】双曲线的离心率方法总结：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和e=ca转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程【例2】（2324高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=±2x，则C的离心率为（A．3 B．5C．3或62 D．5或【答案】D【分析】根据题意，分双曲线C的焦点在x轴和y轴上，两种情况求得ba，进而求得双曲线的离心率的值，得到答案【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为y=±2当双曲线C的焦点在x轴上时，可得ba=2，所以当双曲线C的焦点在y轴上时，可得ba=1综上可得，双曲线C的离心率为5或52故选：D.【变式21】（2324高二上·江苏常州·期中）设F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PA．25 B．C．22 D．【答案】B【分析】根据双曲线以及椭圆的定义，以及在焦点三角形中运用余弦定理建立关于双曲线和椭圆离心率的方程解出即可.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a则根据椭圆及双曲线的定义得：PFPF设F1则在△PF1即4化简得：a1所以1e又因为双曲线的离心率为e2所以椭圆的离心率为e1故选：B.【变式22】（2324高二上·江苏盐城·期中）已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右顶点分别为A、BA．2 B．2C．3 D．5【答案】C【分析】不妨设点M在第一象限，作出图形，分析可知BM=AB=2a，利用正弦定理求出sin∠BAM的值，进而可得出直线AM的斜率，求出直线AM的方程，结合二倍角的正切公式以及点斜式可得出直线BM的方程，可求出点M的坐标，将点M的坐标代入双曲线E的方程，求出【详解】不妨设点M在第一象限，如下图所示：由图可知，AM>BM，且因为△ABM为等腰三角形，则BM设△ABM的外接圆半径为r，则πr2由正弦定理可得ABsin∠AMB=2r，则易知，∠BAM为锐角，则cos∠所以，tan∠BAMtan∠xBM所以，直线AM的方程为y=22x+联立y=22x+将点M的坐标代入双曲线E的方程可得5a32因此，双曲线E的离心率为e=故选：C.【变式23】（2324高二上·江苏南通·期中）在△ABC中，AC⊥BC，sinA=35，以A，C为焦点且经过点B的椭圆离心率记为e1，以B，C【答案】1【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的定义，再由离心率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可设BC=3,AC=4，AB=5，以A,C为焦点且经过点B的椭圆为x2a由椭圆的定义可知，2a1=则e1由双曲线的定义可知，2a2=则e2=2故答案为：1【变式24】（2324高二上·江苏徐州·期中）设F1，F2分别为椭圆C1:x2a12+y2b12A．52,6C．324,【答案】C【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，MF1=a1+a2MF【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得MF所以MF在△MF1cos∠F1M整理可得，a1两边同时除以c2可得，a又e1=c所以有1e所以，1e因为e1∈2所以43≤1e1所以，23则63故32故选：C.【考点题型三】双曲线的渐近线方法总结：在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2-y2b2=1(a【例3】（2324高二上·江苏徐州·期中）已知以双曲线C:x2a2-y2bA．x28-C．x22-【答案】B【分析】先根据题意，得到双曲线的渐近线方程，推出a=b，再由以实轴、虚轴为两条对角线的四边形面积为8，求出a【详解】因为双曲线x2所以渐近线方程为：y=±x，因此则实轴与虚轴相等，又以双曲线C的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为8，则12×2a因此该双曲线的方程为x2故选：B.

【变式31】（2223高二上·江苏盐城·期中）已知双曲线C:x24-y2A．相同的焦点 B．相同的实轴长C．相同的离心率 D．相同的渐近线【答案】D【分析】分别求m>0与m<0时双曲线的a【详解】当m>0时，方程x24∴a=2m，b=焦点坐标在x轴，实轴长为4m，离心率为72，渐近线为当m<0时，方程x24∴a=-3m，焦点坐标在y轴，实轴长为2-3m，离心率为21所以这些双曲线有相同的渐近线.故选：D.【变式32】(多选)（2324高二上·江苏泰州·期中）已知曲线C：mx2+A．若n>m>0，则CB．若m=n>0，则C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若n=0，m>0，则【答案】CD【分析】根据n>m>0，将mx2结合圆的方程判断B；讨论m,n的正负，结合双曲线方程以及渐近线方程可判断n=0，m>0时，可得x【详解】对于A，若n>m>0，则1m>故x21m+y对于B，若m=n>0，则m故C是圆，其半径为1n，B对于C，若mn<0，则不妨设m>0,n<0，则曲线C此时表示焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y=±当m<0,n>0，则m曲线C此时表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y=±综上，若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±-对于D，若n=0，m>0，则mx2+即则C是两条直线，D正确，故选：CD【变式33】（多选）（2223高二上·江苏淮安·期中）下列双曲线中以y=±2x为渐近线的是（A．x24-C．y2-4【答案】BCD【分析】根据双曲线方程与渐近线方程的关系，即可求渐近线方程.【详解】A.由双曲线方程得x24-B.由双曲线方程得x24-C.由双曲线方程得y2-4D.由双曲线方程得y24-故选：BCD【变式34】（多选）（2122高二上·江苏镇江·期中）已知双曲线C：x24-A．双曲线的焦点坐标为(－13，0)，(13，0)B．双曲线C与x2C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3D．直线y=【答案】BC【分析】根据双曲线的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】依题意，双曲线方程为x2所以a=2,A选项，双曲线焦点为±13,0，AB选项，双曲线C与x24-yC选项，双曲线x24-焦点13,0到渐近线3x-2y=0D选项，由于双曲线x24-y29=1的渐近线为y=±故选：BC【考点题型四】焦点三角形方法总结：求双曲线中焦点三角形面积的方法：①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；③利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积④结论：S【例4】（2122高二·全国·课后作业）设双曲线x29-y216=1的两个焦点分别为F1、F2【答案】0【分析】先由双曲线的定义结合已知求得PF1⊥【详解】由题意得，PF1⇒P因此PF1⊥故答案为：0.【变式41】（2122高二上·江苏盐城·期中）已知焦点为F1，F2的双曲线C的离心率为5，点P为C上一点，且满足2PF1=3PF2【答案】2【分析】由2PF1=3PF2和双曲线定义可得PF1=6【详解】由题意，2由双曲线定义可知，P∴∴cos∠又e又∠S∴2a2故双曲线C的实轴长为2故答案为：2.【变式42】（2122高二上·江苏镇江·期中）已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)左右焦点，过F1【答案】12【分析】根据双曲线定义得AF2，【详解】因为AF2-AF因为BF1-B因为∠F2A因此S故答案为：12【变式43】（2223高二上·江苏盐城·期中）经过双曲线x2-y23=1的左焦点(1)线段AB的长；(2)设点F2为右焦点，求△F【答案】(1)30(2)64【分析】（1）联立直线与双曲线方程，由弦长公式求解，（2）由双曲线的定义转化后求解．【详解】（1）由题意得直线AB的方程为y=2(代入双曲线方程x2-y2设A(x1,即AB的长为5（2）由双曲线的定义得AF2-则△F2=4+2×30=64..【变式44】（多选）（2223高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2A．PF1⋅PFC．若∠F1PF2【答案】ABD【分析】根据焦点三角形与椭圆双曲线的联系，结合余弦定理，面积公式即可求解.【详解】设∠F1PF2=即a1又∵PF1+PF∴PF1=∴PF1⋅cosθ=PS△F1当∠F1PF2∴1e12+2设∠F1PF2记PF1=在△F1P∴(m又由椭圆定义有：m+∴2mn(1+cosθ)=4又∵S△∴S==b设∠F1PF2记PF1=在△F1P∴(m又由双曲线定义有：m-∴2mn(1-cosθ)=4又∵S△∴S==b由S△PF1F故选:ABD．【考点题型五】直线与双曲线的位置关系方法总结：直线与双曲线的具有三种位置关系:相交:直线与双曲线交于两点或平行于渐近线交双曲线于一点;相切:不平行于渐近线且交于一点;(3)相离;【例5】（2223高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线x29-y2A．0 B．1C．0或1 D．0或1或2【答案】C【分析】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可.【详解】因为双曲线x29-所以，当m=0时，直线l:y当m≠0时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点故选：C

【变式51】（2223高二上·江苏盐城·期中）若直线l:x+my-m-A．4条 B．3条C．2条 D．1条【答案】C【分析】利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可.【详解】直线l:x+my-又双曲线的渐近线方程为y=±则点2,1在其中一条渐近线y=又直线与双曲线只有一个交点，则直线l过点2,1且平行于y=-12即满足条件的直线l有2条.故选：C【变式52】（2223高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线x24-y2b2=1(b>0)的离心率为【答案】112/【分析】空1：根据双曲线的方程和离心率列式求解即可；空2：联立方程结合Δ判别式分析运算，注意分1-4k2=0和【详解】空1：由题意可得：a2=4c2=空2：∵双曲线的方程为x2联立方程y=kx+3x当1-4k2=0，即k=±12时，则当1-4k2≠0时，则Δ=综上所述：k=±12，又k故答案为：1；12【变式53】（2324高二上·江苏扬州·期中）已知直线l:y=kx+2(k∈R)(1)求实数k的取值范围；(2)若△OAB的面积为625（O为坐标原点），求此时直线l的斜率【答案】(1)3(2)k【分析】（1）设点坐标，联立方程组，根据根与系数的关系求解；（2）通过△OAB面积求解出x1-x【详解】（1）依题意，设Ax联立方程组y=kx因为直线l:y=kx+2(所以1-3k2≠0△=361-（2）设点O到直线l:y=kx+S△又因为S=6又因为x1代入x1x2整理得36k4+k2此时直线l的斜率k的值为32【变式54】（2223高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C过点P62,1(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知A(3,4),过点13,0的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2,【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】(1)设双曲线C的方程为mx2-ny2=1((2)由题意易得直线l的斜率存在,设Mx1,y1,Nx2,y2,直线l的方程为y=【详解】（1）设双曲线C的方程为mx将P62,1,Q(解得m=1∴双曲线C的方程为x2（2）设Mx1,由题意易得直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-118-9k∴x1+x2=-6k则k1+=2k+=2k+8故k1+【考点题型六】中点弦问题方法总结：双曲线中点弦的斜率公式：设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有证明：设，，则有，两式相减得：整理得：，即，因为是弦的中点，所以：，所以【例6】（2324高二上·河北·期中）已知双曲线C的中心在原点，过点2,0，且与双曲线x2(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知A，B是双曲线C上的两点，且线段AB的中点为M3,3，求直线AB【答案】(1)x(2)2【分析】（1）根据题意设方程x2-y2（2）设A,B两点坐标，代入双曲线方程，两式作差，结合中点坐标公式，即可求出直线AB的斜率，由直线的点斜式方程，求出直线AB的方程，与双曲线联立方程，满足Δ>0，即可得到直线AB【详解】（1）因为双曲线C与双曲线x2所以可设其方程为x2将点2,0的坐标代入得λ=4，则所求双曲线的标准方程为x（2）设Ax1,y1，Bx2,y因为x124即18×6×y1-所以直线AB的方程为y-3=2x当直线为2x-y-3=0时，联立方程x24-y【变式61】（2324高二上·四川宜宾·期中）已知双曲线C和椭圆x24+(1)求双曲线C的方程．(2)经过点M1,2作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l【答案】(1)x(2)y=x【分析】（1）根据焦点坐标和离心率，利用待定系数法求双曲线方程；（2）首先利用点差法求直线l的斜率，并求解直线方程，与双曲线方程联立，代入弦长公式，即可求解.【详解】（1）由题意得椭圆x24+y2设双曲线方程为x2则c2＝a2+b2解得a2∴双曲线方程x2（2）把Ax1,y1(x把x1+x2=2∴kAB=y1-y2x把y=x+1代入x2-Δ=∴x∴|AB【变式62】（2122高二上·江苏南通·期中）在①离心率为3，且经过点3,4；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数4，且焦距为2.这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l存在，求出l的方程；若问题中的直线l不存在，说明理由.问题：已知曲线C：mx2+ny2=1m,n≠0的焦点在x轴上，______，是否存在过点P-1,1注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】选条件①：可得曲线C为焦点在x轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，根据直线l的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意；选条件②：可得曲线C为焦点在x轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线l的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理验证是否满足题意.【详解】选条件①：由题设得曲线C为焦点在x轴上的双曲线，设m=1a2，n=-由题设得a2+b2a所以C的方程为x2当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，与曲线C有且仅有一个交点-当直线l的斜率存在时，设Ax1,y1，Bx2代入x2-y若2-k2=0，即k若2-k2≠0，即k≠±2所以方程*有两个不同实数解时，k>-于是x1+x2=--2所以，不存在直线l，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点．选条件②：由题设得曲线C为焦点在x轴上的椭圆，设m=1a2，n=由题设得a2c=a2所以C的方程为x2当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，代入x24+y23当直线l的斜率存在时，设Ax1,y1，Bx2代入x24+其判别式Δ=[8于是x1+x故y=34所以存在直线l：3x-4y+7=0，与曲线C交于A，B【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．【变式63】(多选)（2223高二下·云南保山·期中）公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．利用“黄金分割比”研究双曲线，可得满足：ca+c=ac的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一个顶点为A，与A不在yA．e=5-C．OA×OF=【答案】BCD【分析】根据“黄金双曲线”的定义计算出“黄金双曲线”的离心率，根据双曲线的性质以及点差法确定正确答案.【详解】“黄金双曲线”满足ca+c两边除以a2得e2-所以A选项错误，B选项正确.OA×OF=ac设Px1,由x12a即aca2=e故选：BCD

【点睛】求双曲线离心率的方法有两种，一种是根据已知条件求得a,c，从而求得双曲线的离心率；一种是求得关于a,c的齐次式，然后转化为ca【变式64】（2324高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2(1)求E的方程；(2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程.【答案】(1)x(2)y【分析】（1）根据双曲线中AF2-AF1=2（2）设Ax1,y1，Bx2,y2【详解】（1）因为在双曲线E：x2a2所以2a=4，即双曲线E：x2a2因为斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，所以ba=所以E的方程为x2（2）设Ax1,y1线段AB的中点P的坐标为x1+x又点A，B在双曲线E上，所以x1②－①得，x2两边同时除以x2-x又kAB=2，a=2，b所以直线OP的方程为：y=【考点题型七】直线与双曲线弦长问题方法总结：设直线交双曲线于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【例7】（2324高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：x24-y2=1的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若A．0条 B．2条C．3条 D．4条【答案】C【分析】分直线l的斜率是否为0两种情况讨论，直线l的斜率不等于0时，设方程为x=my+5，Ax1【详解】由题意，F5当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0在方程x24-y2此时AB=4当直线l的斜率不等于0时，设方程为x=联立x=my+5x则m2-4≠0设Ax则y1故AB=1+m2综上所述，符合题意得直线l有3条.故选：C.【变式71】（2223高二上·江苏宿迁·期中）双曲线的焦点F1,F2的坐标分别为-5,0(1)双曲线的方程及其渐近线方程；(2)已知直线l与该双曲线交于交于A,B两点，且A,B中点【答案】(1)x216(2)4.44【分析】（1）由题意可得c的值，再由离心率，可得a的值，进而求出b的值，由此可求出双曲线的方程以及渐近线方程；（2）设直线l：y=k【详解】（1）由题意可得c=5,e=ca=5所以b2所以双曲线的方程为：x216-（2）由于A,B中点P5,1不在x设直线l：y=kx-联立y=消去y得9-16则x1x2=-则AB==【变式72】（2223高二上·江苏盐城·期中）经过双曲线x2-y23=1的左焦点(1)线段AB的长；(2)设点F2为右焦点，求△F【答案】(1)30(2)64【分析】（1）联立直线与双曲线方程，由弦长公式求解，（2）由双曲线的定义转化后求解．【详解】（1）由题意得直线AB的方程为y=2(代入双曲线方程x2-y2设A(x1,即AB的长为5（2）由双曲线的定义得AF2-则△F2=4+2×30=64..【变式73】（2223高二上·江苏宿迁·期中）双曲线C：x26-y23=1的右焦点为F2，直线l过点F2且与双曲线C交于A，(1)求|AB(2)求△AOB的面积【答案】(1)86(2)66【分析】（1）根据焦点坐标和斜率写出直线方程，联立直线与双曲线，结合弦长公式求解即可；（2）求解△AOB的面积，AB边的高即为原点O到AB的距离d，结合点到直线距离公式，以及S△【详解】（1）由题意，双曲线C：x26-故右焦点F2(3,0)，直线l的倾斜角为30°，故斜率直线l的方程为：y=联立直线与双曲线：y=33x-不妨设A(x1由弦长公式|AB（2）由题意，求解△AOB的面积，AB边的高即为原点O到AB的距离d直线AB:故d=31+【变式74】（2324高二上·江苏盐城·期中）已知点P是双曲线E：x216-y29=1的右支上一点，F1、F2是双曲线EA．2 B．4C．163 D．【答案】D【分析】根据题意，由条件可得S△PF1【详解】

因为双曲线E：x216-y29=1，则有由△PF1F2的面积为20，可得1将n=4代入双曲线方程，可得m故选：D【考点题型八】双曲线中的和差最值问题方法总结：最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。【例8】（2122高二上·四川成都·期中）若点P在曲线C1:x216-y29=1上，点Q在曲线A．9 B．10C．11 D．12【答案】B【分析】分析可知两圆圆心为双曲线C1的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得PQ-【详解】在双曲线C1中，a=4，b=3，c记点F1-5,0、F25,0，当PQ所以，PQ-故选：B.【变式81】（2223高二上·江苏徐州·期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点F1,F2在x轴上，中心在坐标原点，点A的坐标为(5,3)，A．22+2 BC．22+4 D【答案】B【分析】由已知条件可以得到双曲线的标准方程为x28-y28=1【详解】因为等轴双曲线的左、右焦点F1,F2在所以可设双曲线的方程为x2又因为双曲线的焦距为8，所以c=4而2a2=c2由双曲线的定义可知，PF由题意可知，F2(4,0)，A(5,所以AF2=2,故P当且仅当P、A、F2故选：B

【变式82】（2223高二上·吉林·期中）已知双曲线C:y24-x25=1的下焦点为F，AA．-2 B．C．1 D．-【答案】D【分析】根据双曲线定义得PF-PA=4+PF【详解】由题意得双曲线焦点在y轴上，a2=4，b2所以下焦点F0,-3，设上焦点为F1，则根据双曲线定义：PF|-|PF1|PF|=4+|P在△PF1|A∴PF故选：D.【变式83】（2324高二上·江苏盐城·期中）已知点M2，1，点P是双曲线C:x29-y216=1左支上的动点，点【答案】5-【分析】利用PN≤PD+r，当且仅当N是PD的延长线与圆的交点时取等号，及【详解】由已知c=9+16=5，D(-5,0)是双曲线的左焦点，它也是圆圆D半径为r=1PN≤PD+r，当且仅当PM≥PF所以，又由双曲线的定义PF所以PM-PN≥PF故答案为：5-10【变式84】（2324高二上·江苏宿迁·期中）已知P是双曲线x29-y27=1上的点，F为双曲线的右焦点，点A的坐标为【答案】82-6【分析】根据已知求出a,c的值.结合图象可知点P应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得PF+PA=【详解】由已知可得，a2=9，所以，c2=16，a=3

如图，设双曲线左焦点为F1因为点A在双曲线右支内部，要使PF+PA最小，则点P根据双曲线的定义可得，PF所以，PF=所以，PF+由图象可知，当A,P,F1又F1-4,0所以，PF1+即PF+PA有最小值故答案为：82-【考点题型九】双曲线轨迹方程方法总结：求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标x,y，根据题意列出关于②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把x,④逆代法，将x0=g【例9】（2324高二上·广东深圳·期中）已知圆C1:(x+3)2+y2(1)求曲线C的方程；(2)过点C2且斜率为4的直线l与曲线C交于A,B【答案】(1)x(2)24【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析即可得解；（2）联立直线与曲线C的方程，利用弦长公式求得AB，再利用点线距离求得C1到直线AB的距离，从而利用三角形面积公式即可得解【详解】（1）由题意可知：圆C1的圆心C1-3,0，半径r1=3，圆由条件可得MC1-则根据双曲线的定义可知，点M是以C1，C2为焦点，以则a=1,c=3所以曲线C的方程为x2（2）依题意，直线AB的方程为y=4x-联立y=4x-3x易知Δ>0，设Ax1,所以AB=而C1-3,0到直线AB所以△C1AB【变式91】（2324高二上·陕西宝鸡·期中）已知点F1-3,0，F23,0，若动点Mx,【答案】x【分析】设Mx,y，根据斜率得到【详解】设Mx,y，由题意可知x整理可得动点M的轨迹方程为x2故答案为：x2【变式92】（2324高二上·江苏南京·期中）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线C:x24-y2=1的左焦点为F，过双曲线C右支上任意一点作其切线l，过点F作直线l【答案】x2+【分析】由双曲线的光学性质，得到AH为∠F1AF2的平分线，延长FH交AF【详解】由双曲线C:x24-y2设双曲线C右支上任意一点A，过点F作直线l的垂线，垂足为H，则过点A的切线为AH，根据双曲线的光学性质，可得AH为∠F延长FH，设FH的延长线与AF2的延长线交于点则AH垂直平分FE，即点H为FE的中点，又因为O的中点，所以OH=可得点H的轨迹表示以原点为圆心，以2为半径的圆，可得点H的轨迹方程为x2联立方程组y=±12因为A在双曲线的右支上，且AH为双曲线的切线，则kAH所以点H的轨迹方程为x2+y故答案为：x2+y【变式93】（2324高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点F(2,0)的距离是到直线x=3(1)求点M的轨迹方程；(2)设P(1,0)，直线x=tt≠3与M的轨迹方程相交于A,B两点，若直线BP【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】（1）设点M(x,（2）设直线BP的方程为x=my+1，B(x1,y1)，C【详解】（1）设点M((x化简得：x所以点M的轨迹方程是x2（2）由题意；直线BP的斜率不为零，设直线BP的方程为x=my+1，B(x联立x23-y2则m2-3≠0，Δ=y1直线AC的方程为y+令y=0，得x=(=2所以直线AC过定点3,0【变式94】（2122高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x=32的距离之比是常数23(1)求曲线E的方程；(2)设过点A(3，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】（1）设P(x，y)，由P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x=32（2）直线MN斜率不存在时，由直线AM，AN分别为y=x-3，y=-x+3，求得与双曲线的交点即可；直线MN斜率存在时，设其方程为y=kx+m，(【详解】（1）解：设P(x，y)，因为P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x=32所以(x化简得x2所以曲线E的方程为x2（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为y=x-分别联立x23-y2=1，解得M(23，3)此时直线MN的方程为x=23，过点(23当直线MN斜率存在时设其方程为y=kx+m由x23-y2所以Δ=(-6km)x1+x因为AM⊥AN，所以kAM⋅k即(k即k2将x1+x2=所以m=-3k当m=-3k时，直线MN方程为y=当m=-23k时，直线MN方程为y=k(x-综上所述直线MN过定点(23，【考点题型十】双曲线的切线方法总结：性质1.双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线，平分该点处两条焦半径的夹角。性质2.双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线，平分该点处两条焦半径的夹角。性质3.双曲线上任一点处的切线与两条渐近线所围成的三角形的面积为定值。【例10】（多选）（2122高二下·江苏镇江·期中）已知双曲线C：x23-A．双曲