27.2圆心角弧弦弦心距之间的关系（原卷版）

27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程，体会利用旋转来研究圆的性质2.理解圆心角的概念,掌握圆心角定理3.理解1的弧的概念,明确圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系4.掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用它们之间的相互关系解决简单的几何问题知识点一圆心角、弧、弦、弦心距等的概念名称内容特别说明图示圆心角以圆心为顶点的角.如图1中的∠AOC没有特别说明时，本章中的圆心角通常是指大于0°且小于180°的角图1图2弦联结圆上任意两点的线段.如图2中弦AB直径过圆心的弦.如图1中AB圆的直径是弦圆弧圆上任意两点之间的部分，简称弧.如图1中弧AC,记作AC半圆圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.如图1中半圆AB半圆所对的圆心角是一个平角优弧大于半圆的弧.如图1中劣弧小于半圆的弧.如图1中弦心距圆心到弦的距离，即圆心到弦的垂线段的长.如图2,垂线段OC的长是弦AB的弦心距弦心距是“距离”,可通过从圆心作弦的垂线段将弦心距用图形表示出来，表述“这一垂线段表示弦心距”等弧能够重合的两条弧“两条弧相等”是指“两弧能够重合”,而不仅仅指两条弧的长度相等等圆半径长相等的两个圆，即能够重合的两个圆等圆可看作同一个圆移动到不同的位置时的图形注意：“等弧”是指能够重合的弧，只有在同圆或等圆中才有等弧.因为在一个圆中一条弦所对的弧有两条,所以由“弦相等”得出“弧相等”,这里的“弧相等”指的是对应的劣弧与劣弧相等、优弧与优弧相等不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉这个前提,即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.如图所示，两个圆的圆心相同，与对应同一个圆心角，但≠，≠.即学即练1如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．

求证：CE=BE．知识点二圆的旋转不变性1.圆具有旋转不变性由于圆上所有的点到圆心的距离都相等，因此把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合2.中心对称图形在平面内，把一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心.注意：圆中的概念辨析(1)直径与弦的关系：直径是弦，且是圆中最长的弦，但弦不一定是直径；(2)等弧的概念：等弧不只是指两条弧的长度相等，而是指两条弧能够重合，即长度相等的两条弧不一定是等弧；(3)半圆与弧的关系：半圆既不是劣弧也不是优弧，半圆是弧，但弧不一定是半圆.知识点三圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.注意：在应用圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论解决问题时，一定要注意“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则结论不一定成立.3.1°的弧在一个圆中,我们把1°圆心角所对的弧叫做1°的弧4.圆心角度数与它所对弧的度数的关系n°的圆心角所对的弧就是n°的弧(1)相等的弧(即能够重合的弧)与度数相等(或长度相等)的弧的含义是不同的，只有弧的度数和弧的长度都相等的两条弧才是等弧，即等弧一定有相同的度数且等弧必须在同圆或等圆中存在,而相同度数的弧不一定是等弧.(2)圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,不能写成∠AOB=,正确写法是∠AOB的度数等于的度数.即学即练1有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个半圆既不是优弧，也不是劣弧.等弧必须具备两个条件，一是两弧所在圆的半径相等,二是弧的长度相等，只有在同圆或等圆中才存在等弧,在大小不等的两个圆中不存在等弧，因此在判断两弧是否为等弧时，首先要看两弧所在的圆是否为同圆或等圆,然后再看弧的长度是否相等即学即练2如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD，BC于F，G，延长BA交圆于E．求证：EF=FG．知识点四圆周角、圆周角定理及其推论1.圆周角必须满足的两个条件(1)角的顶点在圆上；(2)角的两边都与圆相交.如图,∠BAE、∠BDC都是圆周角.2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3.圆周角定理的重要推论：(1)同弧或等弧所对的圆周角相等.(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.即学即练如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解例1如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（

）

A． B． C． D．举一反三1如图，是的直径，，，则．

举一反三2在中，弧弧，，求的度数．

题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证例2如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．举一反三1如图，的弦、的延长线相交于点，且，

(1)求证：；(2)求证：．举一反三2如图，是的两条弦，．求证：．

题型3圆心角概念辨析例3下列说法中，正确的是（

）A．长方体的截面形状一定是长方形 B．各边都相等的多边形叫做正多边形C．三棱锥只有三个面 D．顶点在圆心的角叫圆心角举一反三1直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是．举一反三2如图，圆心角．(1)判断和的数量关系，并说明理由；(2)若，求的度数．题型4求圆弧的度数例4如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（

）A． B． C． D．举一反三1如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（

）A． B． C． D．举一反三2如图，已知的半径长为，、是的两条弦，且，的延长线交于点，连结，．

(1)求证：．(2)当时，求的度数．(3)当是直角三角形时，求、两点之间的距离．题型五圆周角的概念辨析例5下列说法中，正确的是（）A．过圆心的直线是圆的直径B．直径是圆中最长的弦C．相等长度的两条弧是等弧D．顶点在圆上的角是圆周角举一反三1如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30∘，点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合)，直线CP与⊙O相交于另一点Q，如果QP=QO，则举一反三2如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，AB所对圆周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC题型六圆周角定理例6如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交△ABC的外接圆于点E，若∠DAE=75°，则∠BEC的度数为度．

举一反三1如图，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB=68°，则∠ACB的度数为(

)

A．34° B．42° C．54° D．68°举一反三2如图，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB=68°，则∠ACB的度数为（

）

A．34° B．42° C．54° D．68°题型七同弧或等弧所对的圆周角相等例7如图，△ADC内接于圆O，BC是圆O的直径，若∠A=66°，则∠BCD等于(

)

A．66° B．34° C．24° D．14°举一反三1如图，⊙O为△ABC的外接圆，半径长为53，∠BAC=∠BOC=120°

(1)求BC的长．(2)作∠BAC的平分线交⊙O于点D．①求证：△BDC为等边三角形；②若AC=63，求AD举一反三2如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=．

题型八半圆(直径)所对的圆周角是直角例8已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交弧BC于点E，连接AE，交BC于F．

(1)如图1，求证：∠BAC=2∠E．(2)如图2，连接OF，若OF⊥AB,DF=1，求AE的长．举一反三1如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC中点，以AD为直径作⊙O，分别交AB，BC于点E

(1)求证：AE=BE；(2)若AB=8，AC=6，求DF的长．举一反三2如图，已知BC为⊙O的一段弧，请根据要求画出图形．

(1)在图中找出BC的圆心O，并画出完整的圆（尺规作图，保留作图痕迹）．(2)点A在BC上，在⊙O上找一点P，使得△PAC是直角三角形，且∠ACP=90°题型九90度的圆周角所对的弦是直径例9如图，已知BC为⊙O的一段弧，请根据要求画出图形．

(1)在图中找出BC的圆心O，并画出完整的圆（尺规作图，保留作图痕迹）．(2)点A在BC上，在⊙O上找一点P，使得△PAC是直角三角形，且∠ACP=90°举一反三1如图是一个6×6的正方形网格，格点A，B，C均在ABC上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．（图1、图2在答题纸上）(1)在图1中画出ABC所在圆直径BD．(2)在图2中作∠CAE=67.5°，且点E在ABC上．举一反三2如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=50°,∠ACD=25°,∠BAD=65°．

求证：(1)AD=CD；(2)AB是⊙O的直径．一、单选题1．（2023·上海宝山·统考二模）已知点A、B、C在圆O上，那么下列命题为真命题的是（

）A．如果半径平分弦，那么四边形是平行四边形B．如果弦平分半径，那么四边形是平行四边形C．如果四边形是平行四边形，那么D．如果，那么四边形是平行四边形2．（2022上·上海杨浦·九年级统考期中）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，如图，已知在的网格图形中，点A、B、C、D都在格点上，如果，那么图中所有符合要求的格点D的个数是（

）．A．3 B．5 C．7 D．93．（2022·上海金山·统考二模）下列命题中，真命题是（

）A．平行四边形是轴对称图形 B．互为补角的两个角都是锐角C．相等的弦所对的弧相等 D．等腰梯形的对角线相等4．（2022·上海金山·校考一模）如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（

）A． B． C． D．．5．（2020·上海普陀·统考二模）如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题6．（2023·上海·模拟预测）已知钝角内接于，，将沿所在直线翻折，得到，连接、，如果，那么的值为．7．（2022上·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如图，是的直径，，，则．8．（2022上·上海·九年级上外附中校考阶段练习）中，是边上的高，点E，F在边上且，延长与的延长线交于点G，若为等腰三角形，则．9．（2022·上海静安·统考二模）如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为．10．（2022·上海·上海市进才中学校考一模）如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF