第11讲解直角三角形及其应用（5种题型）（原卷版）

第11讲解直角三角形及其应用（5种题型）【知识梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．五．解直角三角形的应用方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．解直角三角形（共10小题）1．（2022秋•庐阳区期末）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝12，sinB＝，求BC长．2．（2023•来安县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别是BC和AB上的点，已知DE⊥AB，，AC＝8，CD＝2，则DE的长为（）A．3.2 B．4 C．4.5 D．4.83．（2022秋•池州期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．4．（2023•肥东县模拟）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠C＝90°，E为边BC上的点，△ADE为等边三角形，BE＝8，CE＝2，则tan∠AEB的值为（）A． B． C． D．5．（2023春•庐阳区校级期中）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积S＝．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为．6．（2023•亳州模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosC＝．7．（2023春•安庆月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别在BC、AB上，若AC＝8、CD＝2、DE⊥AB，sinB＝，则ED的长度为（）A．3.2 B．4 C．4.5 D．4.88．（2023•怀宁县一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求cosC的值．9．（2022秋•蚌埠期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，BD⊥AC于点D．（1）求tan∠ABC的值；（2）求BD的长．10．（2022秋•合肥月考）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．二．解直角三角形的应用（共5小题）11．（2023•庐阳区校级三模）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝60km，∠CAB＝30°，∠CBA＝50°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路（Ⅰ）求改直的公路AB的长；（Ⅱ）问公路改直后比原来缩短了多少km？（参考数据：，sin50°≈0.77．cos50°≈0.66，tan50°≈1.19）（结果保留小数点后一位）12．（2023春•定远县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点，连接DE、EF，得到△AED，它的面积记作S；点D1、点E1、点F1分别是EF，EB，FB边的中点，连接D1E1、E1F1，得到△EE1D1，它的面积记作S1，照此规律作下去，则S2023＝．13．（2022秋•合肥月考）如图，“人字梯”放在水平地面上（AB＝AC），当梯子的一边与地面所夹的锐角α为45°时，两梯脚之间的距离BC为2米，当α＝60°时，则梯子顶端距地面的高度AD上升了米．（结果保留根号）14．（2023•繁昌县校级模拟）十一国庆节期间，小明（A）与小亮（B）两人来到广场，一前一后在水平地面AD上放风筝，结果两人的风筝在空中C处纠缠在一起．如图，小明和小亮测得∠CAD＝30°，∠ACB＝15°，且小明和小亮之间的距离AB为11.7m，求此时C处的风筝距离地面的高度．（结果保留一位小数．参考数据：）15．（2023•金安区一模）如图，某旅游景区开发一个三角形养殖池塘，记为△ABC，为方便游客垂钓，修建了栈道AD，已知∠C＝30°，∠ADB＝70°，AC＝200米，求栈道AD的长．（参考数据：≈1.41，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，结果取整数）三．解直角三角形的应用坡度坡角问题（共8小题）16．（2023•贵池区二模）池州市创建文明城市，在市区各路口设立遮阳棚的立柱AB与地面PQ夹角∠PBA＝64°，棚顶CD与AB夹角∠CAB＝142°，AB＝100cm，点C到地面的距离为156cm，求AC的长度．（结果保留整数，参考数据；sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）17．（2023春•宣城月考）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，若坡比i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．45m D．30m18．（2022秋•金安区校级期末）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：3，则AB的长为（）A．12米 B．米 C．米 D．米19．（2023春•萧县月考）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是米．20．（2023•庐阳区校级模拟）周末爬大蜀山，是合肥市民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一，如图，某个周末小张同学从大蜀山西坡沿坡角为37°的山坡爬了280米，到达点E处，紧接着沿坡角为45°的山坡又爬了160米，到达山顶A处；请你计算大蜀山的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）21．（2022秋•宁国市期末）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若BD的坡度是1：2，则tan∠DEC的值是．22．（2023•长丰县二模）安徽浮山是中国第一，爬山是居民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．如图，某个周末小明同学从浮山山底沿斜坡AB爬了260米到达B处，紧接着又向上爬了坡角为45°的山坡90米，最后到达山顶P处，若AB的坡度为1：2.4，请你计算浮山的高度PC（结果精确到0.1米，参考数据：）．23．（2023•太湖县一模）如图是某段河道的坡面横截面示意图，从点A到点B，从点B到点C是两段不同坡度的坡路，CM是一段水平路段．为改建成河道公园，改善居民生活环境．决定按照AB的坡度降低坡面BC的坡度，得到新的山坡AD，经测量获得如下数据：CM与水平面AN的距离为12m，坡面AB的长为10m，∠BAN＝15°，坡面BC与水平面的夹角为31°．降低BC坡度后，A，B，D三点在同一条直线上，即∠DAN＝15°．为确定施工点D的位置，试求坡面AD和CD的长度．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到0.1m）四．解直角三角形的应用仰角俯角问题（共6小题）24．（2022春•淮南月考）如图所示，小颖在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为45°，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为30m．则树的高度为（结果保留根号）．25．（2023•黟县校级模拟）某住宅小区计划在1号楼顶部D处和小区大门的上方A处之间挂一些彩灯．经测量，得到大门的高度AB为3.8米，大门与1号楼之间的距离BC为30米．在大门E处测得1号楼顶部D处的仰角为30°，且测倾器离地面的距离EB为1.48米．（结果保留一位小数．参考数据：，）（1）求该小区1号楼CD的高度；（2）求大门顶部A处与1号楼顶部D处之间的距离．26．（2023•舒城县模拟）如图，为测量某建筑物的高度，某人在点F处测得建筑物顶端C处的仰角为37°，往前走10米到达点G处，测得建筑物顶端C处的仰角为45°，已知测量工具距离地面的高度AF为1.7米，求这个建筑物的高度DE．（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，）27．（2023•庐阳区校级三模）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视．小燕和小慧五一假期出外门旅游，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，她们想知道风力发电机塔架的高度．如图，小燕站在C点测得C点与塔底D点的距离为25米，小慧站在斜坡BC的坡顶B处，测得轮毂A点的仰角α＝38°，已知斜坡BC的坡度i＝：1，坡面BC长30米，请根据测量结果帮她们计算风力发电机塔架AD的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.41，≈1.73）28．（2023•合肥三模）如图，在某居民楼AB的正前方8m处有一生活超市CD，在生活超市的顶端C处测得居民楼顶端A的仰角为67°，测得居民楼底端B的俯角为22°，求居民楼AB的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）29．（2023•利辛县模拟）如图，儿子和爸爸分别站在C，D两点测得大楼AB的顶端A的仰角∠AEG＝42°，∠AFH＝22°，两人的身高CE＝1.6m，DF＝1.8m，CD＝50m，B，C，D三点在同一条直线上，求大楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）五．解直角三角形的应用方向角问题（共6小题）30．（2023•定远县校级开学）如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°方向上，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°方向上，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为海里．31．（2023•郊区校级模拟）如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184米轨道到达B处，测得A处在博物馆C的南偏东35°方向，B处在博物馆C的东南方向．（1）请计算博物馆C到B处的距离．（结果保留整数）（2）博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道，通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）32．（2018秋•淮北期末）某舰艇上午9时在A处测得灯塔C在其南偏东75°的方位上，然后以每小时10海里的速度沿南偏东30°的方向航行，11时到达B处，在B处测得灯塔C在其北偏东15°的方位上，则B处到灯塔C的距离是．33．（2023春•定远县校级月考）如图在南北方向的海岸线MN上，有AB两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）求AC的长；（2）已知距离观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C．在去营救的途中有无触礁的危险？34．（2023•包河区三模）数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处测得河的北岸点B在其北偏东13°方向，然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东53°方向，求河宽．（结果精确到0.1，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin77°≈0.97，cos77°≈0.22，tan77°≈4.33）35．（2023•庐阳区校级三模）如图，灯塔B位于港口A的北偏东67.4°方向，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为18km．一艘轮船在港口A的正南方向距港口46km的D处，测得灯塔C在轮船北偏东37.0°方向上，求港口A距离灯塔B有多远？（结果取整数）（参考数据：sin67.4°＝，cos67.4°＝，tan67.4°＝，sin37.0°＝，cos37.0°＝，tan37.0°＝）

【过关检测】一、单选题1．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）在中，，当已知和a时，求c，应选择的关系式是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，一个小球由坡底沿着坡比为的坡面前进了12米，此时小球在竖直方向上升了（

）A．4米 B．米 C．米 D．米3．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，点D和点E分别是边和上的点，，，，，则的长为（

）

A．4.8 B．4.5 C．4 D．3.24．（2021·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（）A． B． C． D．5．（2023·安徽宿州·统考三模）如图，在中，，，，则的长为(

)

A．3 B． C． D．46．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，中，，点在上，．若，，则的长度为（

）A． B． C． D．47．（2023·安徽六安·校考三模）点P为正方形的边上的一点，连接，以为边作正方形，E在的延长线上，连结，作交于G．则下列结论错误的是（

）．A． B． C． D．8．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（

）A． B．＋1 C． D．＋19．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，以为直角边，为直角，在同侧构造，点M为的中点，连接，则AM的最小值为（

）A．1 B． C．3 D．610．（2023·安徽淮南·统考二模）如图，在中，，，现以为边在的下方作正方形并连接，则的最大值为（

）

A． B．6 C． D．二、填空题11．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）已知锐角中，，，则的长为_______．12．（2023·安徽马鞍山·校考一模）如图，在矩形中，，G、F是上的动点，且，点E是的中点．请完成下列问题：（1）若，则的大小为________；（2）当的值最小时，的长度为____________________．13．（2023·安徽芜湖·校考一模）如图，在中，，M为斜边AB上的一个动点，过点M作于点D，于点E．若线段的最小值是，则此时______．

14．（2023·安徽六安·统考三模）如图1，工人正在用撬棒撬石头，撬棒是杠杆，O为杠杆的支点．当支点和石头的大小不变时，工人师傅用的力F与其力臂l之间的关系式为，其图像如图2所示，点P为图像上一点，过点P作轴于点M，，若，撬棒与水平地面的夹角为，则这块石头重力为______N．

15．（2023·安徽合肥·统考二模）中，，平分，点为中点，，.

（1）写出一对相似三角形__________；（2）的长为_____________.16．（2023·安徽马鞍山·校考一模）如图，在中，，，，E为上一点，连接，将沿折叠得到．若与交于点F且，则的长为___________．

三、解答题17．（2022秋·安徽宣城·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，求的面积．18．（2021春·安徽安庆·九年级校考阶段练习）如图，某风景区有三个景点，，，景点在的北偏西60°方向、且在的北偏西15°方向上，景点在的正西方向上，千米，求景点到的距离（结果保留根号）．19．（2023·安徽六安·校考二模）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．（参考数据：，，，，，，，，）如图，现有一架长4m的架子AB斜靠在一竖直的墙AO上．

(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；(2)