第10讲投影与视图（二）（几何体的三视图题型精讲）（原卷版）

第10讲投影与视图（二）（几何体的三视图）（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：平行投影题型二：中心投影题型三：正投影题型四：视点，视角与盲区题型五：判断几何体的三视图角度1：判断简单几何体的三视图角度2：判断简单组合体的三视图角度3：判断非实心几何体的三视图角度4：已知一种或两种视图，判断其它视图题型六：画三视图题型七：由三视图还原几何体题型八：三视图的相关计算角度1：求边长角度2：求面积角度3：求体积角度4：求个数（含最值问题）第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：投影1平行投影（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．

（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．

（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．

（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．

（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．2中心投影（1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．

（2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．

（3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．知识点二：三视图从不同的方向看同一物体，所看到的图形可能会不样，所以观察事物要从多个角度去看，才能把握它的特点。①从正面看到的图形叫主视图②从左面看到的图形叫左视图③从上面看到的图形叫俯视图一个几何体的主视图、左视图、俯视图通常称为几何体的三视图(如图)知识点三：三视图的画法（1）主视图与俯视图的长相等；（2）主视图与左视图的高相等；（3）俯视图与左视图的高相等。知识点四：常见几何体的三视图第二部分：课前自我评估测试1．（2023秋·河北·九年级校联考期末）四个几何体中，左视图不是四边形的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023秋·山东泰安·九年级校考期末）如图是用5个相同的立方体搭成的几何体，其俯视图是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·浙江衢州·九年级校联考期末）某几何体的三视图如图，则该几何体是（

）A．长方体 B．正三棱柱主视图左视图 C．球 D．圆柱4．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图是由7个相同的小正方体组合而成的立体图形，其左视图是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（）A． B．C． D．6．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图是由正六棱柱和球体组合而成的几何体，则它的左视图是（）A． B．C． D．第三部分：典型例题剖析题型一：平行投影典型例题例题1．（2023·全国·九年级专题练习）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受广大人们的喜爱，体现了“瑞雪兆丰年”的寓意及包容交流拼搏的理念．一名艺术爱好者雕刻制作了“冰墩墩”“雪容融”，并在中午12点观测到高为165cm的“冰墩墩”的影长为55cm，此时在同一地点的“雪容融”的影长为60cm，那么“雪容融”的高为（

）A．160cm B．170cm C．180cm D．185cm例题2．（2023·全国·九年级专题练习）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图是某风车的示意图，其大小相同的四个叶片均匀分布，点在旋转中心的正下方．某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片，叶片影子为线段，测得米，米，此时垂直于地面的标杆与它的影子的比为（其中点，，，，在水平地面上），则的高度为______米，叶片的长为______米．同类题型归类练1．（2023·全国·九年级专题练习）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（）A． B．C．D．2．（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）小丽和小强在阳光下行走，小丽身高米，她的影长米，小强比小丽高，此刻小强的影长是_________米．3．（2023秋·陕西榆林·九年级统考期末）如图，某墙壁左侧有一木杆和一棵松树．某一时刻在太阳光下，木杆的影子刚好不落在墙壁上，已知，．(1)请画出在同一时刻下松树AB在阳光下的投影；(2)若木杆，木杆DP的投影，同一时刻松树AB在阳光下的投影，求松树的高度．题型二：中心投影典型例题例题1．（2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是_____________．例题2．（2023·河北·九年级专题练习）一块直角三角板如图所示放置，，，，测得边在平面的中心投影长为，则长为________，的面积是________．例题3．（2023·全国·九年级专题练习）某兴趣小组开展课外活动．如图，，两地相距12米，小明从点出发沿方向匀速前进，2秒后到达点，此时他（）在某一灯光下的影长为，继续按原速行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点，此时他（）在同一灯光下的影长为（点，，在一条直线上）．（1）请在图中画出光源点的位置，并画出他位于点时在这个灯光下的影长（不写画法）；（2）求小明原来的速度．同类题型归类练1．（2023秋·陕西榆林·九年级统考期末）如图，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”）．2．（2023·全国·九年级专题练习）小杰与小明身高相同．一天晚上，两人站在路灯下交流学习内容，小明恰好站在小杰头顶影子的位置．请在图中分别画出此时小杰、小明的影子．（用线段表示）3．（2023秋·山西太原·九年级山西大附中校考期末）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答：(1)如图1，白天在阳光下，小彬将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段．①若木杆的长为，则其影子的长为___________；②在同一时刻同一地点，将另一根木杆直立于地面，请画出表示此时木杆在地面上影子的线段：(2)如图2，夜晚在路灯下，小桃将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段．①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点；②若木杆的长为，经测量木杆距离地面，其影子的长为，则路灯距离地面的高度为___________．4．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）如图，小明同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为3米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了6米到处（即米），此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知小明身高1.6米，路灯高8米）．(1)小明站在处在路灯下的影子是线段______；(2)计算小明站在处在路灯下的影长．题型三：正投影典型例题例题1．（2022春·九年级单元测试）如图，是线段在投影面上的正投影，，，则投影的长为（）A． B． C． D．例题2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，平面内的两条直线、点、在直线上，过点、两点分别作直线的垂线，垂足分别为、，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记作或,特别地，线段在直线上的正投影就是线段，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角中，，，则=；（2）如图2，在中，，,，求的面积；（3）如图3，在钝角中，，点边上，，，，求.同类题型归类练1．（2022·浙江·九年级专题练习）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·陕西延安·九年级统考期末）三角形铁板的正投影的形状可能是______写出一种即可题型四：视点，视角与盲区典型例题例题1．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）如图，从点观测建筑物的视角是（

）A． B． C． D．例题2．（2022秋·全国·九年级专题练习）现有，两堵墙，两个同学分别站在处和处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示)________．例题3．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，点的对面是一面东西走向的墙，某人在点观察一辆自西向东行驶的汽车，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题：(1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积；(2)当汽车行驶到位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？同类题型归类练1．（2022秋·宁夏中卫·九年级校考期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（

）A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度2．（2022秋·九年级课时练习）当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是()A．AB B．BC C．CD D．DE3．（2022秋·九年级课时练习）我国《道路交通安全法》第四十七条规定“机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人通过人行横道，应当停车让行”．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到行人时刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°，如果斑马线的宽度是AB＝3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？题型五：判断几何体的三视图角度1：判断简单几何体的三视图典型例题例题1．（2023秋·重庆大渡口·七年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）如图所示的几何体的俯视图是（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图是一根空心方管，它的左视图是（

）A． B． C． D．例题3．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，是一个由正方体和正三棱柱组成的几何体，则其俯视图是（）A． B． C． D．角度2：判断简单组合体的三视图典型例题例题1．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形，它的俯视图是（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·山东德州·九年级校考期末）下面图中所示几何体的左视图是（

）A． B． C．D．例题3．（2023秋·北京·七年级校联考期末）我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它从正面看是（

）A． B． C． D．角度3：判断非实心几何体的三视图典型例题例题1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，空心圆柱在指定方向上的主视图是（）A． B．C． D．例题2．（2022秋·九年级单元测试）一个几何体的形状如图所示，它的左视图是（

）A． B． C． D．例题3．（2022秋·广东茂名·九年级广东高州中学校考阶段练习）如图是一根空心方管，它的俯视图是（

）A． B． C． D．角度4：已知一种或两种视图，判断其它视图典型例题例题1．（2023·全国·九年级专题练习）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（）A． B．C． D．例题2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（

）A． B． C． D．例题3．（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）如图，是由一些相同的正方体小木块搭建成的几何体的从左面和从上面看到的形状图．其中小正方形中的数字表示在该位置的正方体小木块的个数．请根据从左面看到的形状图将从上面看到的形状图中的数字补充完整，并在网格中画出从正面看到的这个几何体的形状图．题型五同类题型归类练1．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图所示的几何体的左视图是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·河南漯河·九年级校考期末）如图，小明从图中几何体的某个方向观察看到如图所示的结果，则小明是从该几何体的方向观察的．（

）A．正面 B．上面 C．左面 D．右面3．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的左视图是（

）A． B．C． D．4．（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）一个圆柱和正三棱柱组成的几何体如图水平放置，其主视图是（）A． B． C． D．5．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期末）如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是（

）A． B． C． D．6．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示是一个放在水平面上的几何体，它的主视图是（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·九年级专题练习）用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示．请你画出从正面看到的几何体的形状图.（画出两种即可）题型六：画三视图典型例题例题1．（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体．(1)该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；(2)该几何体的表面积（含下底面）为．例题2．（2022秋·江西吉安·七年级统考期末）如图是由七个小正方体堆成的一个立体图形，请你画出它的三种视图．例题3．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图是由7个棱长为1的小正方体搭成的几何体．(1)请分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；(2)用小正方体搭一几何体，使得从上面和左面看到的形状图与你在（1）中所画的图形一致，则搭这样的几何体最多要______________个小正方体．例题4．（2022秋·江苏·七年级专题练习）把边长为1厘米的10个相同正方体如图摆放．(1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；(2)该几何体的表面积为cm3；(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加个小正方体．同类题型归类练1．（2022秋·全国·九年级期末）如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体．请在方格中画出该几何体的三个视图．2．（2022秋·江苏·七年级期末）图①是一个的简单几何体．请在图②的4×4方格纸中分别画出它的主视图、左视图和俯视图（请将所画线加粗）．3．（2022秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第四十三中学校考期中）（1）如图是由10个同样大小的小正方体搭成的几何体，请分别画出它的主视图和左视图；（2）在不改变主视图和左视图的情况下，你认为最多还可以添加________个小正方体．4．（2022·浙江·九年级专题练习）如图是由5个边长为1的正方体叠放而成的一个几何体，请画出这个几何体的三视图．（用铅笔描黑）题型七：由三视图还原几何体典型例题例题1．（2023·全国·九年级专题练习）一个立体图形，从上面看到的平面图形，从左面看到的平面图形，搭成这样的几何体所需要的小正方体个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．5或6例题2．（2023·安徽·九年级专题练习）一个水平放置的几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（

）A．B．C．D．例题3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图．(1)写出这个几何体的名称；(2)若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积．同类题型归类练1．（2023·全国·九年级专题练习）如图是某几何体的三视图，该几何体是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·安徽合肥·七年级统考期末）一个几何体由13个大小相同的小立方块搭成．从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体的搭法共有______种．3．（2023秋·陕西榆林·九年级统考期末）如图是一个组合（由两种常见的几何体组合）几何体的两种视图．(1)请写出这个组合几何体是由哪两种几何体组成的；(2)画出该组合几何体的左视图．题型八：三视图的相关计算角度1：求边长典型例题例题1．（2022·安徽安庆·安庆市第四中学校考模拟预测）如图是三棱柱的三视图，其中，在中，，，，则的值为（

）A． B． C． D．例题2．（2022春·九年级课时练习）三棱柱的三视图如图所示，在俯视图中，，，，则左视图中的长为_______．角度2：求面积典型例题例题1．（2023秋·四川眉山·八年级校考阶段练习）图2是图1中长方体的三视图，用表示面积，则（）A． B． C． D．例题2．（2023秋·河北邯郸·九年级邯郸市翰光学校校考期末）如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·河北唐山·九年级校考期末）如图所示为一几何体的三种视图．（单位：）(1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的，；(2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积．角度3：求体积典型例题例题1．（2023·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期中）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·河北保定·七年级校考期末）由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的从正面看的图和从左面看的图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个例题3．（2023春·江苏·七年级开学考试）如图，分别是从正面、左面和上面看到的一个几何体的形状图，根据图中所标数据，该几何体的体积为___．角度4：求个数（含最值问题）典型例题例题1．（2023秋·四川达州·七年级校考期末）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要_____个小立方块．例题2．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）.一个几何体是由一些大小相同的小立方块摆成的，如下图是从正面、左面、上面看这个几何体得到的平面图形，那么组成这个几何体所用的小立方块的个数是________．例题3．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）若一个几何体由若干大小相同的小立方体搭成，如图分别是从它的左视图与俯视图，该几何体所用小立方体的个数是，则的最小值是______．题型八同类题型归类练1．（2023·河北·九年级专题练习）如图是一个长方体的主视图和左视图，其中左视图的面积是．则（1）用表示图中长方体的高为______．（2）用表示其俯视图的面积______．2．（2023·全国·八年级专题练习）某公司设计的木制护栏如图2，护栏俯视图的一部分如图1，m是左侧主柱，两侧主柱之间有11根长方体栏杆，栏杆的截面是5cm的正方形（图中a1，a2，…a11），每两根栏杆之间的距离为12.5cm，根据有关标准要求，栏杆间距不得大于11cm，在不增加材料的前提下，能否通过改变安装方案，使栏杆间距符合要求？说明理由．（≈1.41，≈1.73，≈2.24）3．（2023秋·宁夏中卫·九年级统考期末）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是（用含的代数式表示）________．4．（2023·全国·九年级专题练习）某长方体的三视图如图所示，则这个长方体