8.2消元-解二元一次方程组

8.2消元解二元一次方程组消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。方法一：代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。【基本思路】：未知数由多变少。代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：（变代解求写验）①变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。②代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。③解：解一元一次方程④求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。⑤写：写出方程组的解。⑥验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。方法二加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：（变加减解求写验）①变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。②加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。③求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。④回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。⑤写解：写出方程组的解。⑥检验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。方法三换元法：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。例(x+5)+(y4)=8(x+5)(y4)=4令x+5=m,y4=n原方程可写为m+n=8解得m=6,n=2所以x=1mn=4所以x+5=6,y4=2y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y4之类，换元后可简化方程也是主要原因。解三元一次方程的基本步骤：1.变形（变三元一次为二元一次）2.求解：解二元一次方程组3.回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元一次方程4.求解：解一元一次方程，求出第三个未知数5.写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解。

【题型一】利用代入消元法/加减消元法解二元一次方程组【典题】（2023春·湖南长沙·七年级期中）解方程组：(1)(2)【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用代入消元法解答，即可求解；（2）先整理，然后利用加减消元法解答，即可求解．【详解】（1）解：，把①代入②得：，解得，把代入①得：，则方程组的解为；（2）解：，由②得，③，①+③得，，解得，把代入①得，，解得，则方程组的解为．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法－代入消元法，加减消元法是解题的关键．巩固练习1．（）（2022春·黑龙江大庆·七年级大庆一中校考期末）解下列方程组(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入消元法求解即可；（2）利用加减消元法求解即可．【详解】（1）解：，把①代入②，得，解得：，把代入①，得，所以原方程组的解是；（2）方程组整理得：，①②，得，解得：，把代入①，得，所以原方程组的解是．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法．2．（）（2022春·广东广州·七年级校联考期中）分别用代入法和加减法解方程组：．【答案】【分析】根据代入法和加减消元法解二元一次方程组即可求解．【详解】解：代入法：由①得：③，将③代入②得，解得：，将代入③得，∴原方程组的解为：；加减法：得：解得：，将代入③得，∴原方程组的解为：【点睛】本题考查了代入法和加减法解方程组，掌握代入法和加减法是解题的关键．3．（）（2022春·黑龙江大庆·七年级大庆市第六十九中学校考期末）（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可；（3）利用代入消元法解二元一次方程组即可；（4）先化简，再利用加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】（1）解：由得：把代入②得：解得：该方程组的解为；（2）解：由得：把代入得：∴该方程组的解为；（3）解：把②代入①得：解得：把代入②得：∴该方程组的解为；（4）解：由②变形得：由得：∴把代入①得：解得：∴该方程组的解为．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解决本题的关键．【题型二】二元一次方程组特殊解法【典题】（2022春·山东济宁·七年级统考期末）已知是方程组的解，求的值．【答案】【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入方程组，①+②得到，即可求解．【详解】解：把代入方程组得：，①+②得：，则．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，加减消元法解二元一次方程组，理解二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．巩固练习1．（）（2023春·七年级课时练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：解：由①得将③代入②得：，即把代入③得，∴方程组的解为请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．【答案】【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程将①代入方程②，得到，解得再将代入①得：，即可得出答案．【详解】解：，将①代入②得：，即，将代入①得：，∴原方程组的解为：．【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程．2．（）（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．解方程：解：①②，即③③×16，得④②④，得．把，代入③，得．解得．所以原方程组的解为：(1)请仿照上面的方法解方程组：；(2)请猜想关于x，y的方程组的解，并利用方程组的解加以验证【答案】(1)(2)，验证见解析【分析】（1）仿照题干的方法求解即可；（2）根据题干和（1）中的结果直接猜测即可．【详解】（1），由①②，得，即③，③，得④，②④得，把代入③，得，∴，原方程组的解是．（2）根据题干和（1）的结果，猜测方程组的解是．验证：将代入方程，左边，所以左边=右边．将代入方程，同理可得左边=右边，∴此方程组的解是．【点睛】本题考查了解二元一次方程组：利用代入法或加减消元法把二元一次方程转化为一元一次方程求解，理解题干的方法是解题的关键．3．（）（2021春·浙江宁波·七年级校联考期中）若方程组的解是，求方程组的解．【答案】方程组的解为【分析】将第二个方程组变形为第一个方程组的形式，从而得到，求出的值即可得到答案．【详解】解：将方程组的两个方程的两边同时除以4，得，方程组的解是，，解得：，方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能根据题意得出关于的方程组是解题的关键．4．（）（2023春·七年级课时练习）根据要求，解答下列问题(1)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：①的解为；②的解为；③的解为；(2)以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为．(3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．【答案】(1)①②③(2)x＝y(3)，方程组的解为：【分析】（1）观察方程组发现第一个方程的x系数与第二个方程y系数相等，y系数与第二个方程x系数相等，分别求出解即可；（2）根据每个方程组的解，得到x与y的关系；（3）根据得出的规律写出方程组，并写出解即可．【详解】（1）解：①的解为：；②的解为：；③的解为；故答案为：，，；（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为x＝y；故答案为：x＝y．（3），方程组的解为：．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，找出题目中二元一次方程组及其解的规律是解题的关键．【题型三】二元一次方程组错解复原【典题】（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值．【答案】；【分析】把代入②中，把代入①中，联立方程求解可得到，的值，再代入所求的式子运算即可．【详解】根据题意得：，解得：，∴，，，，【点睛】本题主要考查积的乘方，解二元一次方程组，解答本题的关键是对相应知识的掌握与运用．巩固练习1．（）（2022春·湖南怀化·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组，甲同学由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙同学由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．(1)求出原题中a和b的正确值是多少？(2)求这个方程组的正确解是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）甲同学看错了a，但是所得的方程组的解是满足方程②，乙同学看错了b，但是所得的方程组的解满足①，由此得到关于a，b的方程；（2）根据（1）所求得到原方程组为，利用加减消元法求解即可．【详解】（1）解：由题意得，∴；（2）解：由（1）得原方程组为，用得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程组的解为．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意得到关于a，b的方程是解题的关键．2．（）（2022春·辽宁葫芦岛·七年级校考期中）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到了方程组的解为；乙把字母b看错了得到方程组的解为．(1)求的值；(2)求原方程组的解．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意将x＝2，y＝代入方程②可得b的值，将x＝2，y＝﹣1代入方程①可得a的值，进而可得结果；（2）结合（1）将a和b的值代入原方程组，解方程组即可．【详解】（1）解：根据题意可知：将x＝2，y＝代入方程②，得，解得b＝4，将x＝2，y＝﹣1代入方程①，得2a﹣3＝1，解得a＝2，∴；（2）由（1）知方程组为：，①×2②，得y＝，把y＝代入②得，x＝，∴原方程组的解为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，掌握加减消元法是解题的关键．3．（）（2022春·山东日照·七年级校考期中）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得，王超抄错了m，得．请根据李明和王超两位同学的对话，求a，b，m的数值．【答案】，，．【分析】把李明和王超计算结果代入方程，得到关于与的方程组，求出方程组的解得到，的值，将代入，求得的值即可．【详解】解：把和代入得：，①②得：，把代入①得：，解得：．将代入，得，解得：，答：，，．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【题型四】构造二元一次方程组求解【典题】（2022春·海南海口·七年级校考期中）已知，当时，；当时，，则(1)求k、b的值；(2)求时，y的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据题意，可得关于k、b的二元一次方程组，应用加减消元法，求出k、b的值即可；（2）应用代入法，求出时，y的值是多少即可．【详解】（1）解：根据题意，可得：，①②，可得，解得，把代入①，可得：，解得，∴原方程组的解是；（2）解：由（1）得，当时，．【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．巩固练习1．（）（2022春·湖南邵阳·七年级校考期中）对于有理数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，那么的值是多少？【答案】【分析】根据新运算定义先列方程组求解a，b，再根据新运算直接计算即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，解得，∴，∴．【点睛】本题考查新运算定义问题，解题的关键是理解新定义先列方程求解a，b．2．（）（2023春·全国·七年级期中）已知实数的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根．【答案】6【分析】根据已知条件列出关于的方程组，然后解方程组，求出的值，最后代入计算，最后再求算数平方根．【详解】解：由题可知解方程组得将代入得则∴的算术平方根为【点睛】本题考查了二元一次方程组、平方根、立方根、算数平方根、掌握相关知识并正确计算是解题关键．3．（）（2021春·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求，的值．【答案】【分析】当，时，的值是；当，时，的值是分别代入得出关于a、b的二元一次方程组，解方程即可．【详解】解：∵在代数式中，当，时，它的值是11；当，时，它的值是，∴①+②×5得，，解得，将代入②得，，解得，∴【点睛】本题考查了解二元一次方程组，将已知条件代入建立关于a、b的二元一次方程组是解题关键．【题型五】已知二元一次方程组解的情况求参数【典题】（2021春·山东济南·七年级济南十四中校考期中）已知方程组的解和互为相反数，求的值．【答案】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，得出方程组的解，再根据、互为相反数，可得m的方程，解方程即可求解．【详解】解：，得：，解得：，把代入②得：，解得：，又∵、互为相反数，∴，解得：．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．巩固练习1．（）（2022春·北京·七年级校考期中）已知关于，的方程组的解中与的和为，求的值及此方程组的解．【答案】，【分析】根据题意先用含的代数式表示出和，再根据与的和为求出的值，代入，即可求解．【详解】解：，解得：，，又与的和为，，解得：，把代入，解得：，方程组的解为：，的值为，方程组的解为：．【点睛】本题考查了方程组的解的定义，以及解二元一次方程组，正确求得的值是解决本题的关键．2．（）（2021春·宁夏吴忠·七年级校考期中）方程组的解满足，求的值．【答案】0【分析】将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组的解满足可得，解一元一次方程即可得．【详解】解：，由①②得：，方程组的解满足，即满足，，解得．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，正确发现方程组与其解满足的等式之间的联系是解题关键．3．（）（2022春·江西赣州·七年级校考期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．(1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由；(2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．【答案】(1)是，理由见解析(2)或【分析】（1）由方程组中变形可得，即满足，说明该方程组的解，满足，即该方程组的解与具有“邻好关系”；（2）利用原方程组中的第一个方程减第二个方程得：，再根据“邻好关系”的定义，即得出，解出m的值即可．（1）解：，由②得：，即满足．∴方程组的解，具有“邻好关系”；（2）解：方程组，①－②得：，即．∵方程组的解，具有“邻好关系”，∴，即，∴或．【点睛】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，理解“邻好关系”是解题关键．【题型六】同解方程组【典题】（2022春·河北邯郸·七年级邯郸市第二十三中学校考期中）已知方程组与有相同的解，求a，b的值．【答案】a=，b=【分析】根据题意得出方程组，进而得出x，y的值代入另两个方程求出a，b的值即可．【详解】解：将第一个方程组中的第一个方程和第二个方程组中的第一个方程联立，组成新的方程组，解得：，将代入第一个方程组中的第二个方程和第二个方程组中的第二个方程，得，6a45=4，309b=1．解得，a=，b=．【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解，根据题意得出两方程的同解方程是解题关键．巩固练习1．（）（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的方程组和有相同解，求值．【答案】【分析】因为两个方程组有相同的解，故只