微专题4　天体运动与航天 教学设计

微专题4天体运动与航天类型一对双星系统的理解1．双星模型如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫作“双星”．2．双星模型的特点(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．(3)两星的运动周期、角速度都相同．(4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L.【例1】(多选)图甲是一对相互环绕旋转的质量不等的双黑洞系统，其示意图如图乙所示．双黑洞A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若双黑洞的质量之比mA∶mB＝n∶1，则()A．黑洞A、B做圆周运动的角速度之比为1∶1B．黑洞A、B做圆周运动的向心力大小之比为n2∶1C．黑洞A、B做圆周运动的半径之比为1∶nD．黑洞A、B做圆周运动的线速度之比为1∶n2[解析]由于二者绕连线上同一点做匀速圆周运动，二者角速度相等，又由彼此间的万有引力提供向心力，二者做圆周运动的向心力之比为1∶1，故有mArAω2＝mBrBω2，解得eq\f(rA,rB)＝eq\f(mB,mA)＝eq\f(1,n)，故A、C正确，B错误；由线速度与角速度的关系可知，当角速度相同时，二者做圆周运动的线速度与半径成正比，故二者线速度之比为1∶n，故D错误．[答案]AC【例2】如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G.(1)求A星球做圆周运动的半径R和B星球做圆周运动的半径r；(2)求两星球做圆周运动的周期；(3)如果把星球A质量的eq\f(1,2)搬运到B星球上，并保持A和B两者中心之间距离仍为L.则组成新的稳定双星后星球A半径和周期如何变化？[解析](1)令A星的轨道半径为R，B星的轨道半径为r，则由题意有L＝r＋R两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有Geq\f(mM,L2)＝mReq\f(4π2,T2)Geq\f(mM,L2)＝Mreq\f(4π2,T2)，可得eq\f(R,r)＝eq\f(M,m)，又因为L＝R＋r所以可以解得R＝eq\f(M,M＋m)L，r＝eq\f(m,M＋m)L；(2)根据(1)可以得到Geq\f(mM,L2)＝meq\f(4π2,T2)R，R＝eq\f(M,M＋m)L两式联立解得T＝eq\r(\f(4π2L3,（M＋m）G))＝2πeq\r(\f(L3,G（M＋m）))；(3)根据R＝eq\f(M,M＋m)L，知M变大，R变大根据T＝eq\r(\f(4π2L3,（M＋m）G))＝2πeq\r(\f(L3,G（m＋M）))，知周期不变．[答案](1)eq\f(M,M＋m)Leq\f(m,M＋m)L(2)2πeq\r(\f(L3,G（M＋m）))(3)半径变大周期不变[针对训练1]宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统中A、B两星绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若A星轨道半径较大，则()A．星球A的质量大于B的质量B．星球A的线速度大于B的线速度C．星球A的角速度大于B的角速度D．星球A的周期大于B的周期解析：选B.根据万有引力提供向心力有mAω2rA＝mBω2rB，因为rA＞rB，所以mA＜mB，即A的质量一定小于B的质量，故A错误；双星角速度相等，则周期相等，根据v＝ωr可知，vA＞vB，故B正确，C、D错误．[针对训练2](多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的大小远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．两颗星球组成的双星A、B，A、B的质量分别为m1、m2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2.则可知()A．A与B做圆周运动的角速度之比为2∶3B．A与B做圆周运动的线速度之比为2∶3C．A做圆周运动的半径为eq\f(2,5)LD．B做圆周运动的半径为eq\f(2,5)L解析：选BC.双星靠相互间的万有引力提供向心力，相等的时间内转过相同的角度，则角速度相等，故A错误；向心力大小相等，有：m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2，因为质量之比为m1∶m2＝3∶2，则轨道半径之比r1∶r2＝2∶3，所以A做圆周运动的半径为eq\f(2,5)L，B做圆周运动的半径为eq\f(3,5)L，故C正确，D错误；根据v＝ωr，角速度相等，双星的线速度比等于半径比为2∶3，故B正确．类型二卫星变轨问题卫星在运动中的“变轨”有两种情况：离心运动和向心运动．当万有引力恰好提供卫星所需的向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)时，卫星做匀速圆周运动；当某时刻速度发生突变，所需的向心力也会发生突变，而突变瞬间万有引力不变．(1)制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，卫星做近心运动，轨道半径将变小．所以要使卫星的轨道半径变小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动．(2)加速变轨：卫星的速率变大时，使得万有引力小于所需向心力，即Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，卫星做离心运动，轨道半径将变大．所以要使卫星的轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动．【例3】2021年10月16日，我国“神舟十三号”载人飞船入轨后顺利完成与“天和”核心舱的交会对接(如图)．假设核心舱与“神舟十三号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与核心舱的对接，下列措施可行的是()A．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后飞船加速追上核心舱实现对接B．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后核心舱减速等待飞船实现对接C．飞船先在比核心舱半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比核心舱半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接[解析]使飞船与核心舱在同一轨道上运行时，若使飞船加速，飞船所需向心力大于万有引力，做离心运动，偏离原来的轨道，不可能与核心舱对接，相反，若减速做向心运动，也不可能实现对接，故A、B错误；飞船先在比核心舱半径小的轨道上加速，则其做离心运动，可使飞船逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接，故C正确；飞船先在比核心舱半径小的轨道上减速，则其做向心运动，不可能与核心舱实现对接，故D错误．[答案]C【例4】2021年6月17日，“神舟十二号”载人飞船与“天和”核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入“天和”核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站．对接过程如图所示，“天和”核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ，“神舟十二号”飞船沿着半径为r1的圆轨道Ⅰ运动到Q点时，通过一系列变轨操作，沿椭圆轨道Ⅱ运动到P点与“天和”核心舱对接．已知“神舟十二号”飞船沿圆轨道Ⅰ运行周期为T1，则下列说法正确的是()A．“神舟十二号”飞船沿轨道Ⅰ运行的周期大于“天和”核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期B．“神舟十二号”飞船在轨道Ⅰ的Q点需要加速才能进入轨道ⅡC．“神舟十二号”飞船沿轨道Ⅱ运动到对接点P点的过程中，其速度不断增大D．“神舟十二号”飞船沿轨道Ⅱ从Q到P运动时间为t＝T1eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r3,2r1)))3)[解析]根据开普勒第三定律，轨道Ⅰ的轨道半径小于轨道Ⅲ的轨道半径，则飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于“天和”核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，故A错误；由低轨道进入高轨道，即由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要加速做离心运动，故B正确；“神舟十二号”载人飞船沿轨道Ⅱ运动到对接点P的过程中，根据开普勒第二定律，速度越来越小，故C错误；根据开普勒第三定律eq\f(req\o\al(3,1),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(（\f(r1＋r3,2)）3,Teq\o\al(2,2))，解得T2＝T1eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r3,2r1)))\s\up12(3))，从Q到P运动时间为t＝eq\f(T2,2)＝eq\f(T1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r3,2r1)))\s\up12(3))，故D错误．[答案]B[针对训练3]一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度大小减小为原来的eq\f(1,2)，则变轨前后卫星的()A．周期之比为1∶8B．角速度大小之比为2∶1C．向心加速度大小之比为4∶1D．轨道半径之比为1∶2解析：选A.根据万有引力充当卫星绕地球运动的向心力：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，卫星的线速度v＝eq\r(\f(GM,r))，由题知，速度大小减小为原来的eq\f(1,2)，则轨道半径增大到原来的4倍，即变轨前后轨道半径之比为1∶4；卫星的角速度ω＝eq\f(v,r)＝eq\r(\f(GM,r3))，可得变轨前后角速度大小之比为8∶1；卫星的向心加速度a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(GM,r2)，可得变轨前后向心加速度大小之比为16∶1；卫星的周期T＝eq\f(2π,ω)，可得变轨前后周期之比为1∶8，故B、C、D错误，A正确．[针对训练4]2021年6月7日，搭载“神舟十二号”载人飞船的运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射．“神舟十二号”飞船入轨后，成功与“天和”核心舱对接，3名航天员顺利进入“天和”核心舱，标志着中国人首次进入自己的空间站．飞船运动过程的简化示意图如图所示，飞船先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3完成对接任务．轨道2分别与轨道1、轨道3相切于A点、B点．则飞船()A．在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期B．在轨道2运动过程中，经过A点时的速率比B点大C．在轨道2运动过程中，经过A点时的加速度比B点小D．从轨道2进入轨道3时需要在B点处减速解析：选B.根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可得T＝2πreq\r(\f(r,GM))，可知飞船在轨道1的运行周期小于在轨道3的运行周期，故A错误；根据开普勒第二定律可知，飞船在轨道2运动过程中，经过A点时的速率比B点大，故B正确；根据a＝eq\f(GM,r2)可知飞船在轨道2运动过程中，经过A点时的加速度比B点大，故C错误；飞船从轨道2进入轨道3时需要在B点处加速，故D错误．[A级——合格考达标练]1．如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是()A．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的速度都相同B．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度解析：选B.从轨道1变轨到2，需要加速逃逸，A错误；根据公式Geq\f(Mm,R2)＝ma可得a＝Geq\f(M,R2)，故只要到地心距离相同，加速度则相同，由于卫星在轨道1做椭圆运动，到地心距离、引力的方向均在变化，所以运行过程的加速度在变，B正确，C错误；卫星在轨道2做匀速圆周运动，过程中的速度方向时刻在变，所以不同位置处速度不同，D错误．2．如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是()A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大C．c加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的cD．b、c向心加速度相等，且大于a的向心加速度解析：选B.人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝ma，解得卫星线速度v＝eq\r(\f(GM,r))，由图可知，ra＜rb＝rc，则b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度，故A错误；由v＝eq\r(\f(GM,r))知，a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大，故B正确；c加速要做离心运动，不可以追上同一轨道上的b；b减速要做近心运动，不可以等候同一轨道上的c，故C错误；由向心加速度a＝eq\f(GM,r2)知，b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度，故D错误．3．(多选)图为两颗人造卫星绕地球运动的轨道示意图，Ⅰ为圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，C、D为两轨道交点．已知轨道Ⅱ上的卫星运动到C点时速度方向与AB平行，则下列说法正确的是()A．两颗卫星的运动周期相同B．卫星在Ⅰ轨道的速率为v0，卫星在Ⅱ轨道B点的速率为vB，则v0<vBC．两个轨道上的卫星运动到C点时的加速度相同D．两个轨道上的卫星运动到C点时的向心加速度大小相等解析：选AC.由轨道Ⅱ上的卫星运动到C点时速度方向与AB平行可知CD为椭圆短轴的两个端点，由于圆的圆心与椭圆的左焦点重合，则由几何关系可知圆的半径与椭圆的半长轴相等，故由开普勒第三定律可知两卫星运行周期相等，A正确；设有一个与椭圆相切于B点、以地球为圆心的圆轨道Ⅲ，卫星在轨道Ⅱ上从B点进入该圆轨道Ⅲ则需要加速，而由v＝eq\r(\f(GM,r))可知卫星在轨道Ⅲ的速度必小于在轨道Ⅰ上的速度，故v0>vB，B错误；卫星在C点时的加速度(不是向心加速度)由牛顿第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝ma，即加速度a＝Geq\f(M,r2)与卫星质量无关、与轨道形状无关，C正确；卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，加速度即为向心加速度；卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动，在C点，其加速度沿垂直于速度方向上的分量才是向心加速度，故卫星在轨道Ⅱ上C点的向心加速度小于卫星在轨道Ⅰ上C点的向心加速度，D错误．4．如图所示，在赤道发射场发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则()A．该卫星在P点的速度大于11.2km/sB．卫星在轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9km/sC．卫星在Q点需要适当加速，才能够由轨道Ⅰ进入轨道ⅡD．卫星在轨道Ⅱ上经过Q点时的加速度大于在轨道Ⅰ上经过Q点时的加速度解析：选C.11.2km/s是卫星脱离地球束缚的最小发射速度，由于同步卫星仍然绕地球运动，则在P点的速度小于11.2km/s，故A错误；7.9km/s是卫星在地球表面飞行的环绕速度，根据万有引力提供向心力，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)可知v＝eq\r(\f(GM,r))，卫星在轨道Ⅱ上，半径变大，则运行速度小于7.9km/s，故B错误；卫星需要加速，让卫星做离心运动，才能由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故C正确；根据eq\f(GMm,r2)＝ma可知a＝eq\f(GM,r2)，则卫星在轨道Ⅱ上经过Q点时的加速度等于在轨道Ⅰ上经过Q点时的加速度，故D错误．5．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起．如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的()A．质量之比mA∶mB＝2∶1B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2C．线速度大小之比vA∶vB＝2∶1D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1解析：选A.双星绕连线上的一点做匀速圆周运动，其角速度相同，周期相同，两者之间的万有引力提供向心力，有F＝mAω2rA＝mBω2rB，所以mA∶mB＝2∶1，B、D错误，A正确；由v＝ωr可知，线速度大小之比vA∶vB＝1∶2，C错误．6．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统中的A、B两星球绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示．现测得两星球球心之间的距离为L，运动周期为T，已知引力常量为G，若RA>RB，则()A．两星球的总质量等于eq\f(4π2L3,GT3)B．星球A的向心力大于星球B的向心力C．星球A的线速度一定小于星球B的线速度D．双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期减小解析：选D.由题可知，双星的角速度相等，根据v＝ωr，且RA>RB，则vA>vB，C错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律知它们的向心力大小相等，B错误；根据万有引力提供向心力，对A有Geq\f(MAMB,L2)＝MAeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)RA，对B有Geq\f(MAMB,L2)＝MBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)RB，其中L＝RA＋RB，解得T＝eq\r(\f(4π2L3,G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(MA＋MB))))，MA＋MB＝eq\f(4π2L3,GT2)，故当双星的质量一定，双星之间的距离减小时，其转动周期减小，D正确，A错误．7.如图，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，引力常量为G，则()A．甲星所受合外力为eq\f(5GM2,4R2)B．乙星所受合外力为eq\f(GM2,R2)C．甲星和丙星的线速度相同D．甲星和丙星的加速度相同解析：选A.运动的甲与丙都是在其余两颗星的引力作用下围绕乙做圆周运动的，所受合力F＝eq\f(GM2,R2)＋eq\f(GM2,（2R）2)＝eq\f(5GM2,4R2)，A正确；乙星在甲与丙的作用下保持静止，合力为零，B错误；由于甲与丙二者的连线始终通过圆心时才能保证合力充当向心力，故二者必在任意时刻都处于同一直径的端点，即角速度相同、线速度与加速度的大小相等，方向相反，C、D错误．[B级——等级考增分练]8．2021年10月16日“神舟十三号”载人飞船与空间站对接的情景可近似如图所示，半径为r的圆形轨道Ⅰ为空间站运行轨道，半长轴为a的椭圆轨道Ⅱ为载人飞船的运行轨道，飞船在两个轨道相切点A与空间站交会对接，已知飞船与空间站均绕地球运动，引力常量为G，地球质量为M，下列说法中正确的是()A．空间站的运行速度大于第一宇宙速度B．在A点对接时飞船应沿运行速度方向喷气C．飞船与空间站运行周期之比为eq\r(\f(r3,a3))D．飞船在轨道Ⅱ经过A点，喷气变轨前一刻的速度小于eq\r(\f(GM,r))解析：选D.第一宇宙速度是物体绕地球做圆周运动的最大速度，所以空间站的运行速度不可能大于第一宇宙速度，故A错误；载人飞船与空间站对接需向高轨道做离心运动，则需要向后点火加速，即飞船应沿运行速度相反方向喷气，故B错误；设飞船的运行周期为T1，空间站的运动周期为T2，根据开普勒第三定律得eq\f(a3,Teq\o\al(2,1))＝eq\f(r3,Teq\o\al(2,2))，则eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(a3,r3))，故C错误；以r为半径做圆周运动的物体，根据万有引力提供向心力得Geq\f(mM,r2)＝meq\f(v2,r)，得以r为半径做圆周运动的物体的速度为v＝eq\r(\f(GM,r))，飞船在轨道Ⅱ经过A点后做近心运动，喷气变轨前一刻的速度小于eq\r(\f(GM,r))，故D正确．9．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作卫星均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置(如图所示)．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R.不计卫星间的相互作用力．则以下判断正确的是()A．这两颗卫星的加速度大小相等，均为eq\f(Rg,r)B．卫星1向后喷气就一定能追上卫星2C．卫星1由位置A运动到位置B所需的时间为eq\f(πr,3R)eq\r(\f(r,g))D．卫星1中物体的速度为eq\r(gr)解析：