数学互动课堂：两角和与差的正弦、余弦、正切公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1.两角和的余弦公式比较cos(α-β)与cos(α+β)，并且注意到α+β与α-β之间的关系：α+β=α—（—β）,则由两角差的公式得cos（α+β）=cos[α-(-β)］=cosαcos(-β）+sinαsin(-β）=cosαcosβ—sinαsinβ，即cos（α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ。(C（α+β））2。两角和与差的正弦公式sin(α-β)=cos(—α+β）=cos［(—α）+β]=cos（—α）cosβ—sin(-α)sinβ=sinαcosβ—cosαsinβ，即sin(α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ.（S(α-β）)在上式中,以—β代β可得sin(α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.（S（α+β）)3。正确理解和差角的正弦公式(1）公式对于任意的角α、β都成立.(2)搞清sin（α±β）的意义。例如sin(α+β)是两角α与β的和的正弦，它表示角α+β终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比。在一般情况下,sin(α+β）≠sinα+sinβ，如α=，β=时,sin（+)=sin=1,sin+sin=+=≠1.∴sin(+）≠sin+sin。只有在某些特殊情况下,sin(α+β)=sinα+sinβ，例如，当α=0,β=时,sin（0+)=sin=,sin0+sin=0+=，∴sin（0+）=sin0+sin.在学习时一定要注意：不能把sin（α+β)按分配律展开.(3)牢记公式并能熟练左、右两边互化。例如化简sin20°cos50°—sin70°cos40°，要能观察出此式等于sin（20°—50°)=—sin30°=-。(4）灵活运用和(差)角公式.例如化简sin（α+β）cosβ-cos(α+β）sinβ,不要将sin（α+β),cos（α+β）展开,而应就整个式子,直接运用公式sin[(α+β）-β］=sinα,这也是公式的逆用。4.两角和与差的正切公式的推导当cos（α+β)≠0时,将公式S（α+β），C（α+β）的两边分别相除,有tan(α+β)=.当cosα·cosβ≠0时，将上式的分子、分母分别除以cosα·cosβ，得tan(α+β）=（T（α+β）).由于tan(-β）==—tanβ。在T(α+β)中以—β代β,可得tan（α—β)=（T（α-β))。5.关于两角和与差的正切公式要注意几个问题(1)公式适用范围。因为y=tanx的定义域为x≠+kπ，k∈Z.所以T(α±β）只有在α≠+kπ，β≠+kπ,α±β≠+kπ时才成立,否则不成立，这是由任意角的正切函数的定义域所决定的.当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T（α±β）处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法。例如,化简tan(-β),因为tan的值不存在，不能利用公式T(α-β）,所以改用诱导公式.(2）注意公式的逆向运用=tan［（α+β)—β］=tanα,=tan(45°+α）.(3）变形应用tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ)，tanα—tanβ=tan（α—β）（1+tanαtanβ）,如tanα+tanβ+tanαtanβtan（α+β）=tan（α+β),tan（α+β)—tanα-tanβ=tanαtanβtan（α+β）.活学巧用1.在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则此三角形的外心位于它的（)A。内部B。外部C。一边上D.不确定解析：cosAcosB—sinAsinB＞0,即cos（A+B)＞0，∴-cosC＞0.∴cosC＜0.∴C为钝角.∴△ABC为钝角三角形。∴三角形的外心位于它的外部。答案:B2。化简下列各式：(1)cos（80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)cos(55°-3α）；(2）sin（x+)+2sin（x-）—cos（-x);（3)。解析：(1)原式=cos(80°+3α）cos(35°+3α）+sin（80°+3α)sin(35°+3α）=cos［(80°+3α）-（35°+3α）］=cos45°=。（2）原式=sinxcos+cosxsin+2sinxcos-2cosxsin-coscosx—sinsinx=sinx—cosx+cosx-sinx=0.（3）原式===tan(α—β).答案:(1）；（2)0;（3）tan(α—β）.3。已知cos（α+β）=-，cos2α=-,α、β均为钝角,求sin(α—β)。解析：∵α、β∈(90°,180°)，∴α+β，2α∈(180°,360°）。∵cos（α+β）=—＜0，cos2α=—＜0。∴α+β,2α∈（180°，270°).∴sin（α+β)=,sin2α=。∴sin(α-β)=sin[2α-（α+β）]=sin2αcos(α+β）-cos2α·sin(α+β）=（-)×（-)-(—)(）=.答案：.4。求下列各式的值.（1）（2）（3).解：（1)原式=tan(75°—15°）=tan60°=。（2)原式===tan(55°-25°）=tan30°=。（3==tan（60°-15°)=tan45°=1。答案:(1）3；(2）;(3)1。5。化简求值:（3+tan30°tan40°+tan40°tan50°+tan50°tan60°）·tan10°。解：原式=(1+tan30°tan40°+1+tan40°tan50°+1+tan50°tan60°）·tan10°，因为tan10°=tan（40°—30°)=所以1+tan40°tan30°=.同理，1+tan40°tan50°=，1+tan50°tan60°=.所以原式=(++）·tan10°=tan40°—tan30°+tan50°-tan40°+tan60°—tan50