湘教版九年级数学 4.4 解直角三角形的应用（学习、上课课件）

4.4解直角三角形的应用第四章锐角三角函数学习目标课时讲解1解直角三角形在实际中的应用解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用解直角三角形在解方向角问题中的应用逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时流程2知识点解直角三角形在实际中的应用知1－讲11.

利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.知1－讲2.

解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示：图形关系式图形关系式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BEBC＝DC－BD＝AD·(tanα

－tanβ

)知1－讲续表图形关系式图形关系式AB＝DE＝AE·tanβ，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)知1－讲续表图形关系式图形关系式知1－讲特别提醒1.当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解.2.在解直角三角形时，若相关的角不是直角三角形的内角，应利用平行线的性质或互余、互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识求解.3.问题中有两个或两个以上的直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式，运用方程求解.知1－练如图4.4-1所示，某居民楼Ⅰ高20m，窗户朝南，该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2m，窗户CD高1.8m.现计划在居民楼Ⅰ的正南方30m处新建一居民楼Ⅱ.当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使居民楼Ⅱ的影子不影响居民楼Ⅰ所有住户的采光，新建居民楼Ⅱ最高只能建多少米？例1知1－练解题秘方：解本题的关键是将实际中的相关数据，通过建立数学模型，归结到直角三角形中，再用三角函数(正切)求解.解：设正午时，太阳光线正好照在居民楼Ⅰ一楼住户的窗台处，此时新建居民楼Ⅱ高xm，如图4.4-1所示，过点C作CF⊥l于F，则∠EFC=90°.知1－练

知1－练感悟新知1-1.如图，某居民小区有一栋朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°(参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55)

.知1－练感悟新知(1)冬至正午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？解：冬至正午时，超市以上的居民住房采光有影响．理由：如图，延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为点G.则∠AGF＝90°，∠AFG＝29°.由题意得，GF＝BC＝20米，GB＝FC.知1－练感悟新知知1－练感悟新知(2)若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？(结果保留整数)知1－练

例2知1－练解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜为直法”解含公共直角边的直角三角形.知1－练

知1－练

计算结果必须根据题目要求进行保留.知1－练方法点拨解直角三角形的实际应用问题的求解方法：1.根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；2.若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.知1－练感悟新知2-1.

[二模·滁州]如图，在修建公路AD

时，需要挖掘一段隧道BC，已知点A，B，C，D

在同一条直线上，CE⊥AD，∠ABE=143°，BE=1500米.知1－练感悟新知(1)求隧道两端B，C之间的距离.(精确到个位，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)知1－练感悟新知(2)原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B，C

两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？知1－练知2－讲知识点解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用21.

仰角和俯角的定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角.知2－讲特别提醒◆仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”.◆实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线.知2－讲解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用2.

示图(如图4.4-3)：感悟新知知2－练[中考·长沙]2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图4.4-4所示，在发射的过程中，飞船从地面O

处发射，当飞船到达A

点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是例3知2－练感悟新知8km，仰角为30°；10s后飞船到达B

处，此时测得仰角为45°．(1)求点A

离地面的高度AO；(2)求飞船从A

处到B

处的平均速度．(结果精确到

0.1km/s，参考数据：3≈1.73)知2－练感悟新知解题秘方：结合题目中的“仰角”将实际问题转化为解直角三角形求解.知2－练感悟新知(1)求点A

离地面的高度AO；

知2－练感悟新知

知2－练感悟新知

知2－练感悟新知3-1.

[中考·张家界]“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB

的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P

点，测得奇楼顶端A

的俯角为15°，再将无人机沿知2－练感悟新知水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B

的俯角为45°，求奇楼AB

的高度．(结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)解：如图，延长BA交PQ的延长线于点C，则∠ACQ＝90°.由题意得，BC＝225m，PQ＝200m，知2－练感悟新知知3－讲知识点解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用31.

坡角与坡度(坡比)的定义：(1)坡角：坡面与水平面的夹角，如图4.4-5中的α.知3－讲解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用

知3－讲解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用

知3－讲特别提醒1.坡度是两条线段长的比值，不是度数.2.表示坡度时，通常把比的前项取作1，后项可以是小数.3.物体的倾斜程度通常可用物体的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓.知3－练感悟新知暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，如图4.4-6所示，由山底A

处先步行300m到达B

处，再由B

处乘坐登山缆车到达山顶D

处.已知点A，B，D，E，F

在同一平面内，山坡AB

的坡角为30°，缆车行驶路线BD

与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计)．例4

知3－练感悟新知(1)求登山缆车上升的高度DE；(2)若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A

处到达山顶D

处大约需要多少分钟.(结果精确到0.1min，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)知3－练感悟新知解题秘方：将分散的条件集中到△BDE，通过解直角三角形求解.知3－练感悟新知(1)求登山缆车上升的高度DE；解：如图4.4-6，过点B作BM⊥AF于点M，则∠AMB＝90°.由题意可知，∠A

＝30°，∠DBE

＝53°，DF

＝600m，AB

＝300m.知3－练感悟新知

知3－练感悟新知(2)若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A

处到达山顶D

处大约需要多少分钟.(结果精确到0.1min，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)知3－练感悟新知

知3－练感悟新知

5米感悟新知知4－讲知识点解直角三角形在解方向角问题中的应用4名称定义举例方向角方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南方向为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角.目标方向线OA，OB

，

OC

的方向角可以分别表示为北偏东30°，南偏东45°，北偏西45°，其中南偏东45°习惯上又叫作东南方向，北偏西45°习惯上又叫作西北方向.

知4－讲感悟新知特别提醒1.方向角通常以南北方向线为主，分南偏东(或西)和北偏东(或西)，观察点不同，所得的方向角也不同，但各个观察点的南北方向线是分别互相平行的.2.解决实际问题时，可利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形来求解.感悟新知知4－练如图4.4-7所示，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B

处，测得灯塔A

在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C

处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？(参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.600)例5知4－练感悟新知解题秘方：根据题意作AD⊥BC，构造直角三角形，设AD=x

海里，根