沪科版九年级数学 22.2 相似三角形的判定（学习、上课课件）

22.2相似三角形的判定第二十二章相似形学习目标课时讲解1相似三角形平行线截三角形相似的定理利用角的关系判定三角形相似的定理利用边角关系判定三角形相似的定理利用三边关系判定三角形相似的定理直角三角形相似的判定逐点导讲练课堂小结作业提升课时流程2知识点相似三角形知1－讲11.定义如果两个三角形中，对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似.数学表达式：如图22.2-1，在△ABC和△A'B'C'中，

△ABC∽△A′B′C′知1－讲2.

相似三角形的表示方法相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.如图22.2-2，△ABC与△A'B'C'相似，记作“△ABC∽△A'B'C'”，读作“△ABC相似于△A'B'C'”.知1－讲特别警示：用符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上.如△ABC∽△A'B'C'表示顶点A与A'，B与B'，C与C'分别对应；如果仅说“△ABC与△A'B'C'

相似”，没有用“∽”连接，则需要分类讨论它们顶点的对应关系.知1－讲

知1－练例1如图22.2-3，已知△ABC∽△ADE，∠A＝70°，∠B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3.解题秘方：紧扣“相似三角形定义中对应角相等，对应边成比例”求解.知1－练

(1)求△ABC与△ADE的相似比；知1－练

(2)求∠AED的度数和DE的长.知1－练感悟新知1-1.如图，已知△ABC∽△ADE，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°.(1)

求∠AED和∠ADE的度数；解：∵∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝95°.

∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠ABC＝95°.知1－练感悟新知(2)求DE的长．知2－讲知识点平行线截三角形相似的定理21.定理平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似.数学表达式：如图22.2-4所示，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.书写两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上.知2－讲2.

作用本定理是相似三角形判定定理的预备定理，它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、对应边成比例.知2－讲特别提醒根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有BC∥DE，图22.2-4①②很像大写字母A，故我们称之为“A”型相似；图22.2-4③很像大写字母X，故我们称之为“X”型相似(也像阿拉伯数字“8”).知2－练如图22.2-5，已知在ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.例2知2－练解题秘方：紧扣“平行线截三角形两边的两种基本图形——‘A’型和‘X’型”进行查找.知2－练

知2－练感悟新知2-1.如图，在ABCD中，E

是AB

延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形(不含全等三角形)共有(

)

A.6对B.5对C.4对D.3对B知2－练如图22.2-6，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为_______米．例37知2－练解题秘方：判断是用“平行线截线段成比例”，还是用“平行线截三角形相似的对应边成比例”解题是关键.

知2－练感悟新知3-1.如图，在ABCD中，AC

与BD相交于点O，E

为OD

的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC=(

)A.1∶4B.1∶3C.2∶3D.1∶2D知3－讲知识点利用角的关系判定三角形相似的定理31.

定理如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似).数学表达式：如图22.2-7所示，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.知3－讲特别提醒由两角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角.一般地，相等的角是对应角．如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.知3－讲2.

常见的相似三角形的类型(1)平行线型：如图22.2-8①，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC；(2)相交线型：如图22.2-8②，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC；知3－讲(3)“子母”型：如图22.2-8③，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC；(4)“K”型：如图22.2-8④，若点A，C，D共线，且∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则△ACB∽△DEC，图形整体像一个横放的字母K，所以称为“K”型相似.知3－练感悟新知如图22.2-9，△ABC是等边三角形，点D，E

分别在CB，AC

的延长线上，∠ADE=60°．求证：△ABD∽△DCE.例4

知3－练感悟新知解题秘方：紧扣“两角分别相等的两个三角形相似”找到两组角对应相等即可．证明：∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠DCE=120°．∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=60°，∠ADB+∠EDC=∠ADE=60°，∴∠DAB=∠EDC．∴△ABD∽△DCE．知3－练感悟新知4-1.

[期末·六安]如图，在△ABC

与△ADE中，∠C=∠E，∠1=∠2，证明：△ABC

∽△ADE.证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE.又∵∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE.知3－练感悟新知

例5知3－练感悟新知解题秘方：先利用勾股定理求出BC

的长，再分类讨论.根据“两角分别相等的两个三角形相似”和“相似三角形的对应边成比例”计算．知3－练感悟新知

知3－练感悟新知答案：D

知3－练感悟新知5-1.如图，在△ABC中，按如下步骤作图：(1)以点B为圆心，BA

长为半径画弧，交BC

于点D；(2)以点C为圆心，CA

长为半径画弧，交CB

于点E．若AB=AC=2，∠B=36°，求ED

的长．知3－练感悟新知解：连接AE，AD.由作图可得BD＝BA＝2，CA＝CE＝2.∵AB＝AC，∠B＝36°，∴∠B＝∠C＝36°，∴∠BAD＝∠ADB＝72°，∠CAE＝∠CEA＝72°，∴∠ADB＝∠CEA，∠BAE＝∠CEA－∠B＝36°，∴AE＝AD，∠BAE＝∠B.∴BE＝AE.∴AE＝BE＝AD.知3－练感悟新知知4－讲知识点利用边角关系判定三角形相似的定理4

知4－讲特别提醒运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的SAS的方法.知4－练

例5

知4－练解题秘方：先紧扣“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解决问题．

知4－练感悟新知6-1.如图，根据图中给出的数据，一定能得到(

)A.△AED∽△CEDB.△ABE∽△ACBC.△ABC∽△EDCD.△AED∽△CBAC知5－讲知识点利用三边关系判定三角形相似的定理5

知5－讲特别提醒1.由三边成比例判定两个三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可.2.应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况，用大边对大边、小边对小边的思路找对应边.感悟新知知5－练[期中·安庆]如图22.2-14，正方形网格中的小正方形的面积都为1，网格中有△ABC

和△DEF(三角形中的每个顶点都在格点上)．这两个三角形相似吗？请说明你的理由．例7知5－练感悟新知解题秘方：先根据勾股定理分别求出△ABC和△DEF的三边长，再判断它们是否对应成比例即可．

知5－练感悟新知

知5－练感悟新知7-1.如图，网格中相似的两个三角形是________．(填序号)①③知6－讲知识点直角三角形相似的判定61.

定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(可简单说成：斜边和一组直角边对应成比例的两个直角三角形相似).知6－讲2.

直角三角形相似的判定方法(1)一组锐角相等的两个直角三角形相似；(2)两组直角边对应成比例的两个直角三角形相似；(3)斜边和一组直角边对应成比例的两个直角三角形相似.知6－讲

知6－讲思路总结判定两个三角形相似的思路：已知平行于三角形一边的直线，直接找两个三角形相似；已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边对应成比例；已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例；已知直角三角形，找一组锐角相等，或两组直角边对应成比例，或斜边和一组直角边对应成比例.知6－练[母题教材P84练习T3]在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中，不能判定这两个三角形相似的是()A.∠A＝55°，∠D＝35°B.

AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C.

AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D.

AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9例8知6－练解题秘方：紧扣“直角三角形相似的判定方法”一一进行验证