北师版九年级数学 2.3.用公式法求解一元二次方程（学习、上课课件）

3用公式法求解一元二次方程第二章一元二次方程逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2用公式法解一元二次方程一元二次方程根的判别式知识点用公式法解一元二次方程知1－讲1

知1－讲

知1－讲特别提醒1.公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法.2.只有当方程ax2＋bx＋c=0中的a≠0，b2－4ac≥0时，才能使用求根公式.知1－练例1用公式法解下列方程：解题秘方：按照公式法解一元二次方程的步骤求解.注意：求b2－4ac

的值时，若代入的字母的值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“－”号.知1－练(1)2x2－7x＋4=0；

知1－练

知1－练(3)x2－2x＋3=0.解：这里a=1，b=－2，c=3.∵b2－4ac=(－2)2－4×1×3=－8<0，∴方程无实数根.知1－练知1－练1-1.用公式法解下列方程：(1)y2－2y－2=0；知1－练(2)3x2－2x=4；知1－练(3)x2＋6=2(x＋1)；解：原方程可化为x2－2x＋4＝0.这里a＝1，b＝－2，c＝4.∵b2－4ac＝－12<0，∴方程无实数根．知1－练

知2－讲知识点一元二次方程根的判别式21.定义：一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a

≠0)的根的情况可由b2－4ac

来判定.我们把b2－4ac

叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a

≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ=b2－4ac.知2－讲2.根的情况与根的判别式之间的关系一元二次方程ax2＋bx＋c=0Δ=b2－4ac=0方程有两个相等的实数根Δ=b2－4ac<0方程没有实数根知2－讲特别说明：(1)由Δ=b2－4ac

的符号可判定ax2＋bx＋c=0(a

≠0)的根的情况.反之，由ax2＋bx＋c=0(a

≠0)的根的情况也可得到Δ=b2－4ac

的符号.(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时Δ=b2－4ac

≥0，切勿丢掉“等号”.知2－讲特别提醒确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a

，b，c

后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0.知2－练对于任意实数k，关于x

的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1=0的根的情况为(

)A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不等的实数根D.无法判断例2知2－练思路导引：解：∵a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，∴Δ=b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－1)=8＋8k2>0.∴方程有两个不等的实数根.当方程中的a，b，c含有字母时，求出Δ=b2－4ac后，再对含字母的代数式进行分析，从而确定根的情况.答案：C知2－练2-1.一元二次方程x2－3x＋3=0根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能判定C知2－练2-2.[中考·河南]关于x的一元二次方程x2＋mx－8=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根A知2－练

例3知2－练解题秘方：根据一元二次方程的定义及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系即可解答.

答案：D知2－练

D知2－练工人师傅要用一根铁丝围成一个周长为56cm的矩形框，请帮他解决以下问题：例4思路导引：知2－练(1)当矩形框的面积为180cm2

时，长、宽分别为多少(长边为长，短边为宽)？解：设矩形框的长为x

cm，则宽为(28－x)cm.(1)依题意得x(28－x)=180，即x2－28x＋180=0，解得x1=10(舍去)，x2=18，∴28－x

=28－18=10.∴长为18cm，宽为10cm.知2－练(2)能围成面积为200cm2的矩形框吗？请说明理由.解：不能.理由如下：若能围成面积为200cm2的矩形框，则可列方程为x(28－x)=200，即x2－28x＋200=0.∵Δ=(－28)2－4×1×200=－16<0，∴原方程无实数根.∴不能围成面积为200cm2

的矩形框.知2－练另解：易得围成的矩形框的面积S=x(28－x)=－(x－14)2＋196(cm2).∵－(x－14)2≤0，∴－(x－14)2＋196≤196.∴当x=14时，S

最大=196cm2，即围成的矩形框的面积不可能是200cm2.知2－练4-1.【新视角方案设计题】学校为了美化校园环境，计划在一块长为40m，宽为20m的矩形空地上新建一个长为9m，宽为7m的矩形花圃.(1)若要在这块空地上设计一个矩形花圃，使它的面积比学校计划的面积多1m2.请给出你认为合适的三种不同的设计方案.知2－练解：学校计划新建的花圃的面积为9×7＝63(m2)，比它多1m2的矩形面积为64m2.因此，可设计以下方案：方案一：长和宽都为8m；方案二：长为10m，宽为6.4m；方案三：长为20m，宽为3.2m.知2－练(2)在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积能否增加2m2

？如果能，请求出矩形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.解：不能．理由如下：假设在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积能增加2m2.计划新建的矩形花圃的周长为2×(9＋7)＝32(m)．设面积增加后的矩形花圃的长为xm，则宽为(16－x)m.知2－练根据题意，得x(16－x)＝9×7＋2.整理，得x2－