期末难点特训(二)和反比例函数综合有关的压轴题(原卷版+解析)

期末难点特训二（和反比例函数综合有关的压轴题）1．如图1，在直角坐标系中，四边形OAPB是矩形，反比例函数（k＞0）经过点P，反比例函数的图象分别交线段AP，BP于C，D两点，连接CD，点G是线段CD上一点．(1)若点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，求反比例函数y（k＞0）的表达式；(2)在（1）的条件下，当∠DPG＝30°时，求点G的坐标；(3)如图2，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC、MD，当DM⊥MC时，请写出MG与CD的数量关系，并说明理由．2．如图，过A(2，0)，B(0，2)的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P(，)，Q(，)两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．(1)求AQ的长；(2)当a为何值时，CE＝AC？(3)设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，点A是反比例函数图象上的点，AB平行于y轴，且交x轴于点，点C的坐标为，AC交y轴于点D，连接BD，．(1)求反比例函数的表达式；(2)设点P是反比例函数图象上一点，点Q是直线AC上一点，若以点O，P，D，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；(3)若点是该反比例函数图象上的点，且满足∠MDB>∠BDC，请直接写a的取值范围．4．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点．(1)求点A，B的坐标；(2)如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若，求的值；(3)如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数的图象于点P，Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于，求m的值．5．反比例函数的图象与直线交点为A、B，点A在点B的左侧．(1)如图1，连结OA、OB，求点A的坐标和△AOB的面积；(2)如图2，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到线段OP，点P在反比例函数（）的图象上，求k的值；(3)如图3，过点A作x轴的平行线与反比例函数（m＜0，x＜0）图象的交点为D，从点D作x轴垂线，垂足为E，连结AE，作点O关于直线AE的对称点，若点到AD的距离等于4时，求m的值．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC为矩形，点A坐标为（6，3），反比例函数y的图像分别与AB，AC交于点D，E，点F为线段DA上的动点，反比例函数y（k≠0）的图像经过点F，交AC于点G，连接FG．(1)求直线DE的函数表达式；(2)将△AFG沿FG所在直线翻折得到△HFG，当点H恰好落在直线DE上时，求k的值；(3)当点F为线段AD中点时，将△AFG绕点F旋转得到△MFN，其中A，G的对应点分别为M，N，当MNDE时，求点N的坐标．7．如图1，直线y＝﹣x+4与x，y轴的交点分别为点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象的两交点分别为点C，D，点M是反比例函数上一动点．(1)求△OCD的面积；(2)是否存在点M，使得△ODM∽△OAD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F，是否存在点M，使得矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．(1)求，的值．(2)当的面积为时，求点的坐标．(3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．9．如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A（8，1）．（1）k＝；m＝；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标．10．如图1，已知直线的图象与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D．(1)直接写出B点坐标；(2)当时，求k的值；(3)若点N在x轴上，连接，且满足的N点有且只有一个，请求出N点的坐标．11．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝上经过C、D两点．（1）a＝，b＝；（2）求反比例函数表达式；（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标．（其中点E和点A，点C和点B分别是对应点）13．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点和边的中点都在反比例函数的图象上，已知的面积为（1）求反比例函数解析式；（2）点是轴上一个动点，求最大时的值；（3）过点作轴的平行线（如图2），在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图：在中，，，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上．AB的对应线段CB恰好经过点O．（1）求证是等边三角形；（2）求出双曲线的解析式，并判断点C是否在双曲线上．请说明理由；（3）在y轴上是否存在一点P．使的周长最小．若存在．求点P的坐标：若不存在，请说明理由．期末难点特训二（和反比例函数综合有关的压轴题）1．如图1，在直角坐标系中，四边形OAPB是矩形，反比例函数（k＞0）经过点P，反比例函数的图象分别交线段AP，BP于C，D两点，连接CD，点G是线段CD上一点．(1)若点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，求反比例函数y（k＞0）的表达式；(2)在（1）的条件下，当∠DPG＝30°时，求点G的坐标；(3)如图2，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC、MD，当DM⊥MC时，请写出MG与CD的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由见解析【分析】（1）根据点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，得出P点坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，设GN＝x，则GM＝x，再根据S△PCD＝S△PDG＋S△PCG得出x的值，然后计算G点坐标即可；（3）设P点坐标为（a，），则C（，），D（a，），求出直线OP和直线CD的解析式，根据G点是直线CD和直线OP的交点得出G点坐标，根据G点是CD的中点，即可得出MG＝CD．（1）解：∵点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，四边形OAPB是矩形，∴P（6，3），∵反比例函数y（k＞0）经过点P，∴k＝6×3＝18，∴反比例函数y的解析式为y；（2）过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，设MG＝x，∵∠DPG＝30°，∴GN＝MP＝＝x，由（1）知P（6，3），又∵反比例函数y＝的图象分别交线段AP，BP于C，D两点，∴C（6，1），D（2，3），∴PD＝6−2＝4，PC＝3−1＝2，∵S△PCD＝S△PDG＋S△PCG，∴PD•PC＝PD•MG＋PC•GN，即×4×2＝×4x＋×2×x，解得x＝8−4，∴MG＝8−4，GN＝8−12，即G（18−8，4−5）；（3）MG＝CD，理由如下：设P点坐标为（a，），则C（，），D（a，），设直线OP的解析式为y＝rx，代入P点坐标得＝ra，∴r＝，即直线OP的解析式为y＝x，即直线CD的解析式为y＝sx＋t，代入C点和D点的解析式得：，解得：，即直线CD的解析式为y＝x＋，∵点G是直线OP和直线CD的交点，∴x＝x＋，解得x＝，∴G（，），∵D（，），C（a，），∴线段CD的中点坐标为（，），∴点G是线段CD的中点，又∵∠CMD＝90°，∴MG＝CD．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质、一次函数的性质、矩形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质、一次函数的性质等知识是解题的关键．2．如图，过A(2，0)，B(0，2)的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P(，)，Q(，)两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．(1)求AQ的长；(2)当a为何值时，CE＝AC？(3)设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)当时，CE=AC；(3)存在，点C的坐标为或或【分析】（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．证明△ANQ是等腰直角三角形，可得结论；（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．用a表示出CE，OC，OE，利用勾股定理，构建方程求解即可；（3）存在．分三种情形：①如图2中，当EF=OF时，②如图3中，当OE=OF时，③当OE=EF时，分别利用等腰三角形的性质，构建方程求解即可．（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．∵Q（），∴QN=，∵∠BOA=90°，OA=OB=2，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴AQ=QN=；（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．∵∠OAB=45°，CD⊥AB，∴△CDA是等腰直角三角形，∴DG=CA=a，∵DE⊥OB，∴四边形OEDG是矩形，∴OE=DG=a，∵CE=AC，∴（2-a）2+（a）2=a2，解得，（舍去），或，∴当时，CE=AC；（3）存在．由（2）可知，C（2-a，0），E（0，），∴直线CE的解析式为y=，∵Q（），∴直线OQ的解析式为y=，由，解得，，①如图2中，当EF=OF时，过点F作FH⊥OE于点H，则OH=OE，∴，解得，a=0（舍去）或a=，∴C（，0）．②如图3中，当OE=OF时，则OF=a，过点F作FH⊥OC于点H．∵，∴FH=OH，∴FH=OF=，∴解得，a=0（舍去）或a=∴C（，0）．③当OE=EF时，过点E作EK⊥OF于点K，FH=OH，则OK=OF=FH，EK⊥OF，，又，△EOK∽△OFH，，OE=OK=5FH，即FH=OE，∴，解得，a=0（舍去）或a=∴C（，0），综上所述，满足条件的点C的坐标为点C的坐标为或或．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．3．如图，点A是反比例函数图象上的点，AB平行于y轴，且交x轴于点，点C的坐标为，AC交y轴于点D，连接BD，．(1)求反比例函数的表达式；(2)设点P是反比例函数图象上一点，点Q是直线AC上一点，若以点O，P，D，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；(3)若点是该反比例函数图象上的点，且满足∠MDB>∠BDC，请直接写a的取值范围．【答案】(1)(2)，，(3)或【分析】（1）由AB∥y轴，AD=可得AC，BC=2，再利用勾股定理即可求得AB，得出点A(1，4)，运用待定系数法即可求得答案；（2）利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=2x+2，设Q(m，2m+2)，分类讨论：当OD为平行四边形的边时，运用平行四边形对边平行且相等建立方程求解即可；当OD为平行四边形的对角线时，运用平行四边形对角线互相平分建立方程求解即可；（3）分两种情况：当点M(a，b)在第三象限时，设直线AC与双曲线在第三象限的交点为E，求得点E的横坐标即可得出答案；当点M(a，b)在第一象限时，如图4，将△DBC沿着DB翻折得到△DBE，过点B当点M(a，b)在第一象限时，如图|4，将△DBC沿着DB翻折得到△DBE，过点B作BK⊥CD于点K，过点E作EF⊥x轴于点F，延长DE与双曲线在第一象限的交点为G，运用翻折的性质和相似三角形性质求出点E的坐标，再运用待定系数法求得直线DE的解析式，求出直线DE与双曲线的交点横坐标即可得出答案．【详解】（1）解：∵，C∴OB=OC=1∵AB∥y轴，AD=∴AC，BC=2∵∠ABC=90°∴AB=∴A（1，4）∵点A是反比例函数图象上的点∴解得k=4∴反比例函数的解析式是（2）解：设直线AC的解析式为y=ax+b，∵A(1，4)，C(-1，0)∴解得∴直线AC的解析式为y=2x+2设Q（m，2m+2）当OD为平行四边形的边时，如图1，则PQ∥OD，PQ=OD，∴∴PQ=|2m+2-|在Rt△CDO中，OD=∴|2m+2-|=2解得或∵点P在第一象限∴m>0∴或∴，，当OD为平行四边形的对角线时，如图2则∵所在直线AC的解析式为y=2x+2∴所在的直线的解析式为y=2x联立可得2x=∴∵点P在第一象限∴∵四边形是平行四边形∴PK=DK，∴解得∴综上，点Q的坐标为，，．（3）当点M（a，b）在第三象限，如图，设直线ACAC与双曲线在第三象限的交点为E，由，解得x=1或x=-2∴E（-2，-2）∵a<-2当点M（a，b）在第一象限时，如图4将△DBC沿着DB翻折得到△DBE，过点B做BK⊥CD于K，过点E作EF⊥x轴于F，延长DE与双曲线在第一象限的交点为G，∵∴∴DK=由翻折知：∠DBE=∠DBC，∠DEB=∠DCB，∠BDE=∠BDC，BE=BC=2∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD=CD∴BD=CD△∴∠DBC=∠DCB∴∠DBE=∠DBC=∠DEB=∠DCB∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°，∠DBC+∠DBE+∠EBF=180°∴∠EBF=∠BDC∵∠BFE=∠BKD=90°∴△BEF∽△DBK∴即∴BF=，EF=∴OF=OB+BF=1+∴设直线DE的解析式为y=cx+d∵D（0，2），∴解得∴直线DE的解析式是由，解得∴综上，a的取值范围是或．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．4．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点．(1)求点A，B的坐标；(2)如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若，求的值；(3)如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数的图象于点P，Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于，求m的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）联立得，再解方程组即可；（2）先求出，再证，求出，再得出，，即可得到答案；（3）设平移后，由四边形ABQP的面积恰好等于m2，得到PQ=-，再由，得到，列方程求解即可.（1）解：有题意得，∴解得，，，∴，（2）解：∵交x轴于点C∴，∵，∴，∴∴∵，，∴，，∴，，∴（3）解：设平移后，如图，过点D作DF⊥PQ于点F,则ED=m,DF=∴，∴PQ=-有题意得，解得，，，∴QH=x1-x2=,∴,∴=-∴，∴解得（舍），，即【点睛】本题主要考查了反比例函数，一次函数，三角形的相似，列方程组求解等知识，解题的关键是证明三角形相似和列出方程组求解.5．反比例函数的图象与直线交点为A、B，点A在点B的左侧．(1)如图1，连结OA、OB，求点A的坐标和△AOB的面积；(2)如图2，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到线段OP，点P在反比例函数（）的图象上，求k的值；(3)如图3，过点A作x轴的平行线与反比例函数（m＜0，x＜0）图象的交点为D，从点D作x轴垂线，垂足为E，连结AE，作点O关于直线AE的对称点，若点到AD的距离等于4时，求m的值．【答案】(1)A（2，6），16；(2)；(3)或．【分析】（1）联立反比例函数和一次函数求出A点和B点的坐标，设直线AB与x轴交于点E，根据S△AOB=S△AOE-S△BOE计算即可；（2）过点P作OP的垂线交OA的延长线于点F，过点P作y轴的平行线与x轴交点为G，过点F作x轴的平行线交直线GP于点H，根据AAS证△POG≌△FPH，设P点坐标为（a，b），再用a和b表示出F点的坐标，得出OA的解析式，联立方程组求出a、b的值即可得出P点坐标，最后用待定系数法求出k值即可；（3）过O'作AD的垂线，垂足为M，连接OO'交AE于点N，过点N作x轴的垂线，垂足为Q，分O'点在AD上方和AD下方两种情况分别求m的值即可．（1）解：，解得A（2，6），B（6，2），设直线AB与x轴交点为E，则E点坐标（8，0），由，∴；（2）解：过点P作OP的垂线，与OA的延长线交于点F，过点P作y轴的平行线，与x轴交点为G，过点F作x轴的平行线，与直线GP的交点为H，∵∠AOP＝45°，∠OPF＝90°，∴△POF为等腰直角三角形，OP＝PF，∵∠GPO＋∠HPF＝∠HPF＋∠HFP＝90°，∴∠GPO＝∠HFP，在△POG和△FPH中，，∴△POG≌△FPH，∴OG＝HP，PG＝HF，设P点坐标为（a，b），则OG＝HP＝－a，PG＝HF＝b，∴，点F的坐标为（a＋b，b－a），由题意可得：，直线OA的解析式为𝑦＝3𝑥，∴，解得，∴P点坐标为，将P点坐标代入反比例函数（），得；（3）解：过O'作AD的垂线，垂足为M，连接OO'交AE于点N，过点N和A作x轴的垂线，垂足为Q和C，由题知，O'M=4，O'A=OA==2，∴AM==2，①若点在AD下方，如图，∴O'的坐标为（2-2，2），∵AE垂直平分OO'，∴N点的坐标为（1-，1），∴NQ=1，∵NQ∥AC，∴△ENQ∽△EAC，∴，∴，得，∴E点坐标为，∴D点坐标为，将D点坐标代入反比例函数解析式得；②若点在AD上方，如图，∴O'的坐标为（2-2，10），∵AE垂直平分OO'，∴N点的坐标为（1-，5），∴NQ=5，∵NQ∥AC，∴△ENQ∽△EAC，∴，∴=5，∴EQ=5×（+1）=5+5，∴E点坐标为（-6-4，0），∴D点坐标为（-6-4，6），将D点坐标代入反比例函数解析式得m=（-6-4）×6=-36-24，∴点到AD的距离等于4，或．【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC为矩形，点A坐标为（6，3），反比例函数y的图像分别与AB，AC交于点D，E，点F为线段DA上的动点，反比例函数y（k≠0）的图像经过点F，交AC于点G，连接FG．(1)求直线DE的函数表达式；(2)将△AFG沿FG所在直线翻折得到△HFG，当点H恰好落在直线DE上时，求k的值；(3)当点F为线段AD中点时，将△AFG绕点F旋转得到△MFN，其中A，G的对应点分别为M，N，当MNDE时，求点N的坐标．【答案】(1)y＝x+(2)(3)点N的坐标为（，）或（，）【分析】（1）根据反比例函数y＝的图象分别与AB，AC交于点D，E，求得的坐标，然后待定系数法求解析式即可；（2）连接AH交FG于点K，求得直线FG的解析式为y＝x++3，则FG∥DE，根据翻折的性质可得，AH⊥FG，AK＝HK，根据点F、G分别为AD、AE的中点，建立方程，解方程求解即可；（3）①如图2，过点M作MT⊥AB于点T，过点N作NR⊥MT于点R，证明△MFT∽△FGA，△MNR∽△FMT，根据相似三角形的性质求得MR＝，NR＝，根据RT＝MT+M即可求得的坐标，②如图3，过点M作MT⊥AB于点T，过点N作NR⊥MT于点R，方法同①，根据RT＝MT﹣MR即可求得的坐标．【详解】（1）解：∵反比例函数y＝的图象分别与AB，AC交于点D，E，∴D（1，3），E（6，），设直线DE的函数表达式为y＝ax+b，则，解得：，∴直线DE的函数表达式为y＝x+；（2）如图1，连接AH交FG于点K，∵反比例函数y＝（k≠0）的图象交AB于点F，交AC于点G，∴F（，3），G（6，），∴AF＝6﹣，AG＝3﹣，设直线FG的解析式为y＝a′x+b′，则，解得：，∴直线FG的解析式为y＝x++3，∴FG∥DE，∵将△AFG沿FG所在直线翻折得到△HFG，∴AH⊥FG，AK＝HK，∴，∴点F、G分别为AD、AE的中点，∴＝，解得：k＝；（3）①如图2，过点M作MT⊥AB于点T，过点N作NR⊥MT于点R，∵MN∥DE，FG∥DE，点F为线段AD中点∴MN∥FG，AF＝，AG＝，在Rt△FGA中，FG＝＝＝，由旋转得：△FMN≌△FAG，∴∠FMN＝∠FAG＝90°，∠MFN＝∠AFG，FM＝AF＝，MN＝AG＝，FN＝FG＝，∴∠MFA+∠AFG＝90°，∵∠FGA+∠AFG＝90°，∴∠MFA＝∠FGA，∵∠MTF＝90°＝∠FAG，∴△MFT∽△FGA，∴＝＝，即＝＝，∴MT＝，FT＝，∵∠MRN＝90°＝∠FMN，∴∠NMR+∠FMT＝∠NMR+∠MNR＝90°，∴∠MNR＝∠FMT，∴△MNR∽△FMT，∴＝＝，即＝＝，∴MR＝，NR＝，∴RT＝MT﹣MR＝﹣＝，∴点N的横坐标为：++＝，纵坐标为：3+＝，∴N（，）；②如图3，过点M作MT⊥AB于点T，过点N作NR⊥MT于点R，∵DE∥FG，MN∥DE，∴MN∥FG，∴∠MFG＝∠FMN＝90°，∴∠MFT+∠AFG＝90°，∵∠AGF+∠AFG＝90°，∴∠MFT＝∠AGF，∴△MFT∽△FGA，∴＝＝，即＝＝，∴MT＝，FT＝，∵∠MRN＝90°＝∠FMN，∴∠NMR+∠FMT＝∠NMR+∠MNR＝90°，∴∠MNR＝∠FMT，∴△MNR∽△FMT，∴＝＝，即＝＝，∴MR＝，NR＝，∴RT＝MT﹣MR＝﹣＝，∴点N的横坐标为：+-＝，纵坐标为：3-＝，∴N（，）；综上，点N的坐标为（，）或（，）．【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形、一次函数，待定系数法求解析式，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．7．如图1，直线y＝﹣x+4与x，y轴的交点分别为点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象的两交点分别为点C，D，点M是反比例函数上一动点．(1)求△OCD的面积；(2)是否存在点M，使得△ODM∽△OAD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F，是否存在点M，使得矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)8(2)存在，M(3)存在，M(2，3)或M(3，2)【分析】（1）先求点B的坐标为(0，)，点C坐标为，点D坐标为，过点D作DH⊥OB于点时，得；（2）存在点M，使得△ODM∽△OAD，假设存在点M，使得△ODM∽△OAD，此时∠MDO=45°，以OD为直角边构建等腰直角△NOD，过点N作NP⊥OB于点P，过点D作DQ⊥OA于点Q，先证明△NPO∽△DQO，得点N的坐标为(-，3)，先求直线DN的函数关系式为：，再解方程组：，得点M坐标为，再通过计算得AD:OA=DM:OD，且∠MDO=∠DAO=45°，即可证出△MOD∽△DOA；（3）如图，重叠面积为四边形MSOT，设点M坐标为(m，)，先表示出点T的坐标为(m，m)，点S的坐标为，根据矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于，得方程，即可求解．（1）解：当时，∴，∴点B的坐标为(0，)，解方程组：得：或∴点C坐标为，点D坐标为，过点C作CG⊥OB于点G，过点D作DH⊥OB于点H，∴；（2）存在点M，使得△ODM∽△OAD，假设存在点M，使得△ODM∽△OAD，此时∠MDO=∠A=45°，以OD为直角边构建等腰直角△NOD，过点N作NP⊥OB于点P，过点D作DQ⊥OA于点Q，∴∠NOP+∠POD=∠DOQ+∠POD=90°，∴∠NOP=∠DOQ，∵∠NPO=∠DQO=90°，NO=DO，∴△NPO≌△DQO（AAS），∴PN=QD=，PO=QO=3，∴点N的坐标为(-，3)，设直线DN的关系式为：y=kx+b，把点D(3，)，N(-，3)代入，得’解得：，直线DN的函数关系式为：，解方程组：，解得：或’∴点M坐标为，∴，，，，∴AD：OA=2：=：4；．∴AD:OA=DM:OD，且∠MDO=∠DAO=45°，∴△MOD∽△DOA，此时M点坐标为；（3）如图，重叠面积为四边形MSOT，设点M坐标为(m，)，根据点D坐标为(3，)，得OD的关系式为：，当x=m时，，∴点T的坐标为(m，m)，∴OE=m，TE=m根据点C坐标为(，3)，得OC的关系式为：y=3x，当y=时，3x=，解得：∴点S的坐标为，∴，∵矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于，∴化简得，，解得：m=土2或土3，∵m>0，∴m=2或3，∴m点坐标为(2，3)或(3，2)．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，三角形面积求法，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，解题关键是构建等腰直角三角形，运用方程思想解决问题．8．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．(1)求，的值．(2)当的面积为时，求点的坐标．(3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．【答案】(1)3(2)(3)或【分析】将点代入，求得，进而求得，将点坐标代入求得；表示出的长，根据求得，进而得出点的坐标；分为是边，点在轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点在轴正半轴上时，过点作轴，作，证明≌，进而得出，从而求得的值，另外两种情况类似方法求得．（1）解：直线过点，，，直线过点，，，过点，；（2）解：，，，，，，，，；（3）解：如图，，，，当是边，点在轴正半轴上，作于，作于，，，，，，，≌，，，，，，舍去，如图，当点在轴的负半轴上时，由上知：，，，当是对角线时，当是对角线时，可得：，，，，，综上所述：或．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．9．如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A（8，1）．（1）k＝；m＝；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标．【答案】（1），8；（2）；（3）【分析】(1)将A(8,1)代入解析式中，利用待定系数法即可解决问题；(2)设C(a，a-3)(0＜a＜8)，则D(a，)，根据四边形的面积构建方程即可求出C点坐标；(3)根据一次函数，利用方程组求出点O’的坐标，再根据平移规律即可求出D’坐标．【详解】解：(1)把点A（8，1）分别代入y＝kx﹣3和中，得：1＝8k﹣3，1＝，解得：k＝，m＝8，故答案为，8；(2)设C(a，a﹣3)（0＜a＜8），则D(a，)，∴CD＝-a+3，设A、C的横坐标分别用表示，∴，∵S四边形ADOC＝24，即，∴a2+6a-16＝0，∴a1＝-8，a2＝2，经检验：a1＝﹣8，a2＝2是原方程的解，∵0＜a＜8，∴a＝2，代回C点坐标中，∴C(2，﹣2)，故答案为：C(2，﹣2)；(3)由平移可知：OO′∥AB，∴直线OO′的解析式为y＝x，由，解得或(舍去)，∴O′(4，2)，即O(0,0)通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O′(4，2)，又由(2)中知D坐标为(2，4)，∴D(2，4)往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D′(6，6)，故答案为：D′(6，6)．【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，点的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．10．如图1，已知直线的图象与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D．(1)直接写出B点坐标；(2)当时，求k的值；(3)若点N在x轴上，连接，且满足的N点有且只有一个，请求出N点的坐标．【答案】(1)(4，0)(2)(3)（2，0）【分析】（1）将y＝0代入y＝kx﹣4k中，即可得出点B的坐标；（2）作CG⊥y轴于G，DH⊥y轴于H，得△ACG∽△ADH，则，设C（m，），则D（3m，），由点C，D在直线y＝kx﹣4k上，得，解方程组即可求解；（3）由直线y＝kx﹣4k与双曲线y＝的交点为C，D点，得kx﹣4k＝，设C、D两点的横坐标为m、n，则m+n＝4，mn＝﹣，设N（x，0），则，化简得x2﹣4x﹣＝0，当Δ＝b2﹣4ac＝k2+2k+1＝0时，可知k＝﹣1时，存在唯一的点N，满足∠CND＝90°，从而解决问题．【详解】（1）解：对于直线，令，则，解得，∴点B的坐标为(4，0)．（2）解：如图，作CG⊥y轴于G，DH⊥y轴于H，∴CG∥DH，∴△ACG∽△ADH，∴，∵AD＝3AC，∴DH＝3CG，设C（m，），则D（3m，），∵点C，D在直线y＝kx﹣4k上，∴，解得m＝1，k＝﹣，∴k＝﹣；（3）解：∵直线y＝kx﹣4k与双曲线y＝的交点为C，D点，∴kx﹣4k＝，∴kx2﹣4kx﹣2＝0，设C、D两点的横坐标为m、n，则m+n＝4，mn＝﹣，作CP⊥x轴于P，DQ⊥x轴于Q，当∠CND＝90°时，△CPN∽△NQD，∴，设N（x，0），则，∴x2﹣4x﹣＝0，当Δ＝b2﹣4ac＝k2+2k+1＝0时，∴k＝﹣1时，存在唯一的点N，满足∠CND＝90°，此时x2﹣4x+4＝0，∴，∴N（2，0）．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式求解．11．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝上经过C、D两点．（1）a＝，b＝；（2）求反比例函数表达式；（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．【答案】（1）﹣1；﹣2；（2）y＝；（3）Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；（4）为定值，等于．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值；（2）故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（3）由（2）知k=4可知反比例函数的解析式为y＝，再由点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；（4）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT由此即可得出结论．【详解】（1）∵a、b满足+（a+b+3）2＝0，则，解得，故答案是：﹣1；﹣2；（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E为AD中点，∴xD＝1，设D（1，t），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴C（2，t﹣2）．∴t＝2t﹣4．∴t＝4．∴D（1，4），∵D（1，4）在双曲线y＝上，∴k＝xy＝1×4＝4．∴反比例函数的解析式为y＝；（3）∵点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（x，），①当AB为边时：如图1所示：若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；如图2所示：若ABQP为平行四边形，则﹣＝x，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；②如图3所示：当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；∴﹣＝，解得x＝﹣1，∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；（4）如图4，连接NH、NT、NF，∵MN是线段HT的垂直平分线，∴NT＝NH，∵四边形AFBH是正方形，∴∠ABF＝∠ABH，在△BFN与△BHN中，BF＝BH，∠ABF＝∠ABH，BN＝BN，∴△BFN≌△BHN（SAS），∴NF＝NH＝NT，∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，所以，∠ATN+∠AHN＝180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．∴MN＝HT，∴=．即为定值，等于．【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标．（其中点E和点A，点C和点B分别是对应点）【答案】（1）a=1，b=3，k=4；（2）（8，），或（2，）【分析】（1）把点A的坐标代入可求得k的值，根据△AOB的面积求得点B坐标，把点A，B的坐标代入，可求得a，b，的值；（2）分两种情况（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△，（ii）作△关于x轴的对称图形△，进行解答．【详解】解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4故双曲线的函数表达式为设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有解得，于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）所以点B的坐标为（，）因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以，解得（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以设抛物线（a0）与x轴负半轴