专题02截长补短模型(原卷版+解析)

专题02截长补短模型基本模型：①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS）.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），例题精讲例1．（截长型）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（）A．21 B．24 C．27 D．30例2．（补短型）【问题背景】如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出结论．【探索延伸】如图2，若在四边形中，，、分别是，上的点，上述结论是否仍然成立【学以致用】如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长．课后训练1．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE＝3，CE＝4，S△ACE＝14，则S△ACD＝________．2.如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）3．如图△ABC中，已知∠A＝60°，角平分线BD、CE交于点O．（1）求∠BOC的度数；（2）判断线段BE、CD、BC长度之间有怎样的数量关系，请说明理由．4.如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：（1）；（2）．5.如图中，分别平分相交于点．（1）求的度数；（2）求证：6．初步探究：(1)如图1，在四边形中，，点E在边上，过A作交边于点D，若，，，试探究与之间的关系，请写出你的的结论并进行证明；拓展延伸：(2)聪明的小丽同学进行了进一步的探究，如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，她想按照（1）中的思路探究与之间的数量关系，请你帮她判断（1）中的结论是否仍成立，并说明理由．7．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．专题02截长补短模型基本模型：①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS）.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），例题精讲例1．（截长型）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（）A．21 B．24 C．27 D．30【答案】C【详解】解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△CBD和△EBD中，，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，∵∠C＝2∠CDB，∴∠CDE＝∠DEB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，故选：C．例2．（补短型）【问题背景】如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出结论．【探索延伸】如图2，若在四边形中，，、分别是，上的点，上述结论是否仍然成立【学以致用】如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长．【答案】【问题背景】；【探索延伸】结论仍然成立；理由见解析；【学以致用】10【详解】（1）【问题背景】解：如图1，在和中，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴；故答案为：．（2）【探索延伸】解：结论仍然成立；理由：如图2，延长到点．连接，在和中，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴；（3）【学以致用】解：如图3，延长到点，连接，在与中，∵，∴，∴，．∵，，∴，∴，在与中，∵，∴，∴，∴的周长．课后训练1．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE＝3，CE＝4，S△ACE＝14，则S△ACD＝________．【答案】8【详解】在AE上截取AM＝AD，连接CM，∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2，在△AMC和△ADC中，，∴△AMC≌△ADC（SAS），∴，∵∠B＋∠D＝180°，，∴，∵CE⊥AB，∴，在和中，，∴△EMC≌△EBC（AAS），∴ME＝EB＝3，∵CE＝4，S△ACE＝14，∴，∴AM＝AE-EM=7-3=4，∴，∴．故答案为：８．2.如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）【答案】180°-2x【解析】解：在CD上截取CE=CB，如图所示，在△ABC和△AEC中，，∴△ABC≌△AEC(SAS)∴AE=AB，∠B=∠AEC,∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°∴∠DAB+∠BCD=360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x，故答案为：180°-2x3．如图△ABC中，已知∠A＝60°，角平分线BD、CE交于点O．（1）求∠BOC的度数；（2）判断线段BE、CD、BC长度之间有怎样的数量关系，请说明理由．【答案】（1）120°；（2）BC＝BE＋CD，理由见解析【详解】解：（1）在△ABC中，∠A＝60°，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC＋∠OCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°．（2）BC＝BE＋CD．理由如下：在BC上截取BF＝BE，连接OF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO，在△OBE和△OBF中，，∴△OBE≌△OBF（SAS），∴∠BOE＝∠BOF，∵∠BOC＝120°，∴∠BOE＝60°，∴∠BOF＝∠COF＝∠COD＝60°，∵OC＝OC，∠OCD＝∠OCF，∴△COD≌△COF（ASA）．∴CF＝CD，∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD．4.如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明：∵BQ是的角平分线，∴．∵，且，，∴，∴，∴，∴；（2）证明：延长AB至M，使得，连结MP．∴，∵△ABC中，，∴，∵BQ平分，∴，∴，∵，∴，∵AP平分，∴，在△AMP和△ACP中，∵，∴△AMP≌△ACP，∴，∵，，∴5.如图中，分别平分相交于点．（1）求的度数；（2）求证：【答案】（1）∠CPD=60°；（2）详见解析【解析】解：（1）∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，又∵AD、CE分别平分，∴，∴，又∵∠CPD是△ACP的外角，∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°，∴∠CPD=60°．（2）如图，在AC上截取AF=AE，连接PF，∵∠CPD=60°，∴∠APC=120°，∠APE=60°∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE在△APE与△APF中，∴△APE≌△APF（SAS）∴∠APF=∠APE=60°，∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°，在△CFP与△CDP中，∴△CFP≌△CDP（ASA）∴CD=CF∴AC=AF+CF=AE+CD，即．6．初步探究：(1)如图1，在四边形中，，点E在边上，过A作交边于点D，若，，，试探究与之间的关系，请写出你的的结论并进行证明；拓展延伸：(2)聪明的小丽同学进行了进一步的探究，如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，她想按照（1）中的思路探究与之间的数量关系，请你帮她判断（1）中的结论是否仍成立，并说明理由．【答案】(1)，证明见解析(2)结论仍成立，理由见解析【解析】(1)，证明过程如下：∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴在和中，，∴，∴，∴∵，∴，∴(2)结论仍成立，理由如下：如图，延长到点G，使．连接∵

，∴在与中：，∴，∴，，∵，∴在与中：，∴，∴，∴∵，∴，∴7．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，见解析；（3）不成立，EF＝BE﹣FD，见解析【详解】解：（1）EF＝BE+FD，理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BG+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD，故答案为：EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠3＝∠2，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠2+∠4＝∠EAF，∴