专题19函数(原卷版+解析)

专题19函数目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一常量与变量 2考点二自变量与函数值 4考点三函数的图像 4知识导航知识导航必备知识点1.常量与变量名称概念区别变量在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量“变量”是可以变化的，而“常量”是已知数在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量温馨提示(1)常量是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量不能认为式子中出现的字母都是变量，如不是变量，而是常量;(2)数值是否发生变化是判断一个量是变量还是常量的重要依据。区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变(即是否会取不同的数值)函数的识别方法对于函数的定义，其中两个变量是前提，它们的对应关系是基础，必须明确:两个变量之间的对应关系，即一个自变量值对应一个函数值，也可以是两个不同的自变量值对应一个函数值，但绝不能是一个自变量值对应两个不相同的函数值。3.利用函数图象正确描述实际问题对已知的函数图象，要弄清楚函数图象上点的意义，对于实际问题，要正确分清图象的横、纵坐标表示的意义，以及横、纵坐标的单位，图象的变化趋势等，从而表达所反映的实际意义。4.画函数图象的一般步骤(1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。(2)描点:在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。(3)连线:按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。注意1)列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数图象能反映出函数的全貌。2)描点时要以表中每对对应值为坐标，取得的点越多，图象越准确。3)连线时要用平滑的曲线把所描的点从左到右顺次连接起来.函数的图象形象直观地反映两个变量之间的对应关系。5.动点的图像问题动点的图像问题是中考的常考题型，做此类题需要弄清横纵坐标的代表量，并观察确定图像分为几段，弄清每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势，主要是正负增减及变化的快慢等.匀速变化呈现直线段的形式，平行于x轴的直线代表未发生变化，成曲线的形式需要看切线的坡度的大小确定变化的快慢。考点一常量与变量1．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据温度/℃﹣20﹣100102030声速/m/s318324330336342348下列说法错误的是（

）A．这个问题中，空气温度和声速都是变量B．空气温度每降低10℃，声速减少6m/sC．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710mD．由数据可以推测，在一定范围内，空气温度越高，声速越快2．已知一辆汽车行驶的速度为，它行驶的路程（单位：千米）与行驶的时间（单位：小时）之间的关系是，其中常量是（

）A． B． C． D．和3．为积极响应党和国家精准扶贫的号召，某扶贫工作队步行前往扶贫点开展入户调查。队员们先匀速步行一段时间，途中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时间到达目的地。设行进时间为t（单位：min），行进的路程为s（单位：m），则能近似刻画s与t之间的函数关系的大致图象是（

）A． B．C． D．4．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如表：t（小时）0123y（升）12011210496由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶_____小时，油箱的余油量为0．5．计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系式是_____，其中变量是_____，常量是_____．6．如图所示，梯形的上底长是厘米，下底长是厘米，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化．（）在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________．（）梯形的面积与高（厘米）之间的关系式为__________．（）当梯形的高由厘米变化到厘米时，梯形的面积由__________变化到__________．考点二自变量与函数值7．函数y中，自变量x的取值范围是(

)A．x＝－5 B．x≠－5 C．x＝0 D．x≠08．有一平行四边形，它的周长为m（），如果一边长为x，那么相邻的另一边长y与x之间的函数关系是（

）A． B．C． D．9．函数y=+中自变量x的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．10．已知是的函数，且当自变量的值为2时函数值为1，则该函数的解析式可以是（

）A． B． C． D．11．对于正数x，规定，例如，则的值是（

）A．8 B．8.5 C．9 D．9.512．函数中，自变量x的取值范围是__________；中，自变量x的取值范围是_______；中，自变量x的取值范围是_________．13．函数的定义域是______.14．已知函数，当时，函数值为______．考点三函数的图像15．在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，你认为正确的结论是（

）①这次比赛的全程是米；②乙队先到达终点；③比赛中两队从出发到分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快；④乙与甲相遇时乙的速度是米/分钟；⑤在分钟时，乙队追上了甲队.A．①③④ B．①②⑤ C．①②④ D．①②③④⑤16．小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是A． B． C． D．17．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满.18．已知：y=（m﹣1）x|m|+4，当m= _________ 时，图象是一条直线．19．已知二次函数．（1）完成下表x…0123…y…0____________________…（2）根据（1）的结果在平面直角坐标系中利用描点法画出此抛物线．（3）结合函数图象，当时，x的取值范围是________．20．某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数y＝|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：X…﹣4﹣3﹣2﹣101234…Y…32.5m1.511.522.53…（1）其中m＝．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）当2＜y≤3时，x的取值范围为．21．如图，小明的爸爸去参加一个重要会议，小明坐在汽车上用所学知识绘制了一张反映小车速度与时间的关系图，第二天，小明拿着这张图给同学看，并向同学提出如下问题，你能回答吗？（1）在上述变化过程中，图象表示了那两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）小车共行驶了多少时间？最高时速是什么？停止了几分钟？（3）小车在哪段时间保持匀速行驶？匀速行驶了多少千米？专题19函数目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一常量与变量 2考点二自变量与函数值 6考点三函数的图像 11知识导航知识导航必备知识点1.常量与变量名称概念区别变量在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量“变量”是可以变化的，而“常量”是已知数在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量温馨提示(1)常量是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量不能认为式子中出现的字母都是变量，如不是变量，而是常量;(2)数值是否发生变化是判断一个量是变量还是常量的重要依据。区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变(即是否会取不同的数值)函数的识别方法对于函数的定义，其中两个变量是前提，它们的对应关系是基础，必须明确:两个变量之间的对应关系，即一个自变量值对应一个函数值，也可以是两个不同的自变量值对应一个函数值，但绝不能是一个自变量值对应两个不相同的函数值。3.利用函数图象正确描述实际问题对已知的函数图象，要弄清楚函数图象上点的意义，对于实际问题，要正确分清图象的横、纵坐标表示的意义，以及横、纵坐标的单位，图象的变化趋势等，从而表达所反映的实际意义。4.画函数图象的一般步骤(1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。(2)描点:在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。(3)连线:按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。注意1)列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数图象能反映出函数的全貌。2)描点时要以表中每对对应值为坐标，取得的点越多，图象越准确。3)连线时要用平滑的曲线把所描的点从左到右顺次连接起来.函数的图象形象直观地反映两个变量之间的对应关系。5.动点的图像问题动点的图像问题是中考的常考题型，做此类题需要弄清横纵坐标的代表量，并观察确定图像分为几段，弄清每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势，主要是正负增减及变化的快慢等.匀速变化呈现直线段的形式，平行于x轴的直线代表未发生变化，成曲线的形式需要看切线的坡度的大小确定变化的快慢。考点一常量与变量1．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据温度/℃﹣20﹣100102030声速/m/s318324330336342348下列说法错误的是（

）A．这个问题中，空气温度和声速都是变量B．空气温度每降低10℃，声速减少6m/sC．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710mD．由数据可以推测，在一定范围内，空气温度越高，声速越快【答案】B【解析】【分析】根据表格中两个变量的数据变化情况，逐项判断即可．【详解】解：这个问题中，空气温度和声速都是变量，因此选项A不符合题意；在一定的范围内，空气温度每降低10℃，声速减少6m/s，表格之外的数据就不一定有这样规律，因此选项B符合题意；当空气温度为20℃时，声速为342m/s，声音5s可以传播342×5＝1710m，因此选项C不符合题意；从表格可得，在一定范围内，空气温度越高，声速越快，因此选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查变量之间的关系，理解自变量、因变量之间的变化关系是正确判断的前提．2．已知一辆汽车行驶的速度为，它行驶的路程（单位：千米）与行驶的时间（单位：小时）之间的关系是，其中常量是（

）A． B． C． D．和【答案】B【解析】【分析】根据常量的定义即可得答案．【详解】∵汽车行驶的速度为，是不变的量，∴关系式中，常量是50，故选：B．【点睛】此题主要考查了常量与变量，正确理解常量与变量的定义是解题关键．3．为积极响应党和国家精准扶贫的号召，某扶贫工作队步行前往扶贫点开展入户调查。队员们先匀速步行一段时间，途中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时间到达目的地。设行进时间为t（单位：min），行进的路程为s（单位：m），则能近似刻画s与t之间的函数关系的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据行进的路程和时间之间的关系，确定图象即可得到答案．【详解】解：根据题意得，队员的行进路程s（单位：m）与行进时间t（单位：min）之间函数关系的大致图象是故选：A【点睛】本题考查函数图象，正确理解函数自变量与因变量的关系及其实际意义是解题的关键．4．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如表：t（小时）0123y（升）12011210496由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶_____小时，油箱的余油量为0．【答案】15【解析】【分析】由表格可知油箱中有油120升，每行驶1小时，耗油8升，则可求解．【详解】解：由表格可知，每行驶1小时，耗油8升，∵t＝0时，y＝120，∴油箱中有油120升，∴120÷8＝15小时，∴当行驶15小时时，油箱的余油量为0，故答案为：15．【点睛】本题考查了变量与常量，解题的关键是注意贮满120L油的汽车，最多行驶的时间就是油箱中剩余油量为0的时的t的值．5．计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系式是_____，其中变量是_____，常量是_____．【答案】

a，n

50【解析】由变量和常量的定义可知，单价a和购买的总数n是变量，50元是常量。关系式为。6．如图所示，梯形的上底长是厘米，下底长是厘米，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化．（）在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________．（）梯形的面积与高（厘米）之间的关系式为__________．（）当梯形的高由厘米变化到厘米时，梯形的面积由__________变化到__________．【答案】

梯形的高

梯形的面积

90

9【解析】【分析】（1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断；（2）根据梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2，代入相应数值，进行计算即可；（3）把x=10，x=1分别代入函数解析式进行计算．【详解】解：(1)自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积；(2)梯形的面积y(cm²)与高x(cm)之间的关系式为：y=(5+13)x×=9x；(3)当梯形的高是l0cm时，y=9×10=90，当梯形的高是l0cm时，y=9×1=9，梯形的面积由90cm²变化到9cm²．故答案为梯形的高，梯形的面积，y=9x，90，9．【点睛】此题主要考查了列函数关系式，以及求函数值，关键是掌握梯形的面积公式．考点二自变量与函数值7．函数y中，自变量x的取值范围是(

)A．x＝－5 B．x≠－5 C．x＝0 D．x≠0【答案】B【解析】【分析】根据分式的意义的条件：分母不等于0，可以求出x的范围．【详解】解：根据题意得：x+5≠0，解得：x≠-5．故选B．【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8．有一平行四边形，它的周长为m（），如果一边长为x，那么相邻的另一边长y与x之间的函数关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的周长公式可得2（x+y）=m，变形可得y=，再根据x＞0，y＞0可得x的取值范围．【详解】解：由题意得：2（x+y）=m∴y=又x＞0，y＞0∴故选A【点睛】此题主要考查了由实际问题列函数关系式，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等．9．函数y=+中自变量x的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】C【解析】【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．【详解】解：由题意，得，解得x≤3且x≠2，故选C．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式组是解题关键．10．已知是的函数，且当自变量的值为2时函数值为1，则该函数的解析式可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】把x=2代入各函数解析式，函数值为1的就是答案．【详解】A、当x=2时，y=22=4，故本选项不符合题意；B、当x=2时，y=2-1=1，故本选项符合题意；C、当x=2时，y=2×2=4，故本选项不符合题意；D、当x=2时，y=-=-1，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了函数的定义及求函数值，解题的关键是能够分清楚自变量x和函数值y．11．对于正数x，规定，例如，则的值是（

）A．8 B．8.5 C．9 D．9.5【答案】B【解析】【分析】根据，，进而进行求解即可．【详解】∵且，∴，故选：B．【点睛】本题考查了运算的规律，分式的混合运算，函数值的计算，正确读懂运算的规律是解题的关键．12．函数中，自变量x的取值范围是__________；中，自变量x的取值范围是_______；中，自变量x的取值范围是_________．【答案】

且

【解析】【分析】根据分式有意义的条件及二次根式有意义的条件即可得答案．【详解】∵有意义，∴，解得：．∵有意义，∴，解得：且．∵有意义，∴，解得：．故答案为：；且；【点睛】本题考查分式有意义的条件及二次根式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0；要使二次根式有意义，被开方数为非负数．13．函数的定义域是______.【答案】且【解析】【分析】根据二次根式的意义和分母非0的条件进行分析.【详解】由已知可得所以且故答案为且【点睛】考核知识点：函数有意义的条件.理解相关式子有意义的条件是关键.14．已知函数，当时，函数值为______．【答案】5【解析】【分析】根据x的值确定函数解析式代入求y值.【详解】解：因为>0,所以故答案为5【点睛】本题考查了函数表达式，正确选择相应自变量范围内的函数表达式是解题的关键.考点三函数的图像15．在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，你认为正确的结论是（

）①这次比赛的全程是米；②乙队先到达终点；③比赛中两队从出发到分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快；④乙与甲相遇时乙的速度是米/分钟；⑤在分钟时，乙队追上了甲队.A．①③④ B．①②⑤ C．①②④ D．①②③④⑤【答案】C【解析】【分析】由横纵坐标可直接判断①、②；观察图象比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的图象在甲图象的下面可判断③；由图象得乙队在1.1至1.9分钟的路程为300米，可判断④；分别求出在1.8分钟时，甲队和乙队的路程，可判断⑤．【详解】解：①由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是500m，故①正确；②由横坐标可以看出，乙队先到达终点，故②正确；③∵比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的图象在甲图象的下面，∴乙队的速度比甲队的速度慢，故③错误；④∵由图象可知，乙队在1.1分钟后开始加速，加速的总路程是500-200=300（米），加速的时间是1.9-1.1=0.8（分钟），∴乙与甲相遇时，乙的速度是300÷0.8=375（米/分钟），故④正确．⑤甲队：500÷2×1.8=450（米），乙队：200+（500-200）÷（1.9-1.1）×（1.8-1.1）=462.5（米），故⑤错误．故选C．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与实际应用，准确识图是解题的关键.16．小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先将各选项代入计算看是否在直线上即可.【详解】A选项，当代入故在直线上.B选项，当代入故在直线上.C选项，当代入故在直线上.D选项，当代入故不在直线上.故选D.【点睛】本题主要考查直线上的点满足直线方程，是考试的基本知识，应当熟练掌握.17．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满.【答案】4【解析】【分析】根据函数图像可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm,所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案.【详解】解：由题意可得:12秒时,水槽内水面的高度为10cm,12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为10cm；没有立方体时,水面上升从10cm到20cm,所用的时间为:28-12=16秒前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒将正方体铁块取出,又经过4秒恰好将此水槽注满.故答案：4【点睛】本题主要考查一次函数的图像及应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键.18．已知：y=（m﹣1）x|m|+4，当m= _________ 时，图象是一条直线．【答案】±1【解析】【分析】根据一次函数与常值函数的图象都是一条直线可得当m=±1，原函数的图象都是一条直线.【详解】解：当m=1时，原函数为y=4，其图象是一条直线；当m=﹣1时，原函数为y=﹣2x+4，其图象是一条直线.故答案为±1.【点睛】本题主要考查函数图象，解此题的关键在于熟记一次函数与常值函数的图象均为一条直线.19．已知二次函数．（1）完成下表x…0123…y…0____________________…（2）根据（1）的结果在平面直角坐标系中利用描点法画出此抛物线．（3）结合函数图象，当时，x的取值范围是________．【答案】（1）-3，-4，-3,0；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）将各已知的横坐标代入解析式求解出函数值即可；（2）先在直角坐标系中描出表格中各个点，再用光滑的曲线连接即可；（3）由函数图像得，当时，．【详解】解：（1）当x=0时，；当x=1时，；当x=2时，；当x=3时，；故答案为：-3，-4，-3,0（2）图象如图所示：（3）由函数图像得，该抛物线的开口向上，∵∴故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数图像与不等式的关系．20．某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数y＝|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下：（1）自变量x的取