专题09设多元未知数解决情景较复杂的问题(原卷版+解析)

七年级数学下册解法技巧思维培优专题09设多元未知数解决情景较复杂的问题典例题型：1．（2020•台湾）某场音乐会贩卖的座位分成一楼与二楼两个区域．若一楼售出与未售出的座位数比为4：3，二楼售出与未售出的座位数比为3：2，且此场音乐会一、二楼未售出的座位数相等，则此场音乐会售出与未售出的座位数比为何？（）A．2：1 B．7：5 C．17：12 D．24：172．（2020•资阳期末）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种袋装粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种袋装粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A、B、C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为71.5元，利润率为30%，乙种粗粮利润率为20%，则乙种粗粮每袋的售价为__________元．（利润率=售价−成本3．（2020•永州期末）为节约能源，优化电力资源配置，提高电力供应的整体效益，国家实行了错峰用电．某地区的居民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价．某户5月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，6月份白天时段用电量比5月份白天时段用电量少60%，结果6月份的总用电量比5月份的总用电量多20%，但6月份的电费却比5月份的电费少20%，则该地区晚间时段居民用电的单价比白天时段的单价低的百分数为（）A．62.5% B．50% C．40% D．37.5%4．（2020•沙坪坝区校级期中）一间手工作坊，分成了两块区域，第一块区域里摆了一张四方桌（四条腿）和若干圆凳（三脚凳），第二块区域里摆了一张圆形桌（六条腿）和若干方凳（四脚凳）现有若干学生来到作坊进行手工创作比赛，每人分别落座后，将多余的凳子撤出手工作坊，他们分别围坐在方桌和圆桌旁开始今天的创作．此时，一位在场的学生发现整个手工作坊里人脚加桌脚加凳脚共有38条（包括观察者本身）．最后统计发现第一块区域的参赛学生平均每人完成了10件作品，第二块区域的参赛学生平均每人完成了5件作品，那么所有参加本次比赛的学生平均每人完成__________件作品．5．（2020•南岸区校级月考）重阳佳节来临之际，某糕点店对桂圆味，核桃味、绿豆味重阳糕（分别记为A、B、C）进行混装，推出了甲、乙两种盒装重阳糕，盒装重阳糕的成本是盒中所有A、B、C的成本与盒装包装成本之和，每盒甲装有6个A，2个B，2个C，每盒乙装有2个A，4个B，4个C，每盒甲中所有A、B、C的成本之和是1个A成本的15倍，每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的43倍．每盒乙的利润率为20%，每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%．当该店销售这两种盒装重阳糕的总销售额为31000元，总利润率为24%时，销售甲种盒装重阳糕的总利润是__________6．（2020•北碚区校级月考）新学期伊始，西大附中的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共80人捐书，丙班有40人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的35，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书__________巩固练习1．（2020•万州区期末）万州某企业捐资购买了一批重120吨的物资支援贫困乡镇，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每车的运载能力和运费如下（假设每辆车均满载）：甲载重5吨，运费400元/车，乙载重8吨，运费500元/车，丙载重10吨，运费600元/车，该公司计划用甲、乙、丙三种车型同时参与运送并完成任务，已知它们的总辆数为15辆，要使费用最省，所使用的甲、乙、丙三种在型的辆数分别是__________．2．学校组织同学们看电影，排队在街上匀速行走，有位同学注意到从背后每隔4分钟过一辆公共汽车，而迎面每隔12分钟有一辆公共汽车驶过，已知车站发车的时间间隔是相同的，那么车站每隔__________分钟发一辆车．3．（2020•西湖区校级月考）一块锡铅合金，在空气中称得的质量为115千克，在水中称得的质量为103千克，已知在空气中15千克的锡在水中为13千克，在空气中35千克的铅在水中为32千克．问合金中的锡__________千克，铅__________千克．4．（2020•盐田区期末）购甲、乙两种笔记本共用70元．若甲种笔记本单价5元，乙种笔记本单价15元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购笔记本的方案有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种5．40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中，共有26个头和298只脚，若40只脚的蜈蚣有1个头，则3个头的龙有__________只脚？6．（2020•奉化区期中）为了奖励疫情期间线上学习表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在两种球类都购买且资金恰好用尽的情况下，购买方案有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种七年级数学下册解法技巧思维培优专题09设多元未知数解决情景较复杂的问题典例题型：1．（2020•台湾）某场音乐会贩卖的座位分成一楼与二楼两个区域．若一楼售出与未售出的座位数比为4：3，二楼售出与未售出的座位数比为3：2，且此场音乐会一、二楼未售出的座位数相等，则此场音乐会售出与未售出的座位数比为何？（）A．2：1 B．7：5 C．17：12 D．24：17【点睛】设一楼座位总数为7x，二楼座位总数为5y，分别表示出一、二楼售出、未售出的座位数，由一、二楼未售出的座位数相等得到y关于x的表达式，再列式表示此场音乐会售出与未售出的座位数比，将y代入化简即可得．【详解】解：设一楼座位总数为7x，则一楼售出座位4x个，未售出座位3x个，二楼座位总数为5y，则二楼售出座位3y个，未售出座位2y个，根据题意，知：3x＝2y，即y=32则4x+3y3x+2y故选：C．2．（2019春•资阳期末）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种袋装粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种袋装粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A、B、C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为71.5元，利润率为30%，乙种粗粮利润率为20%，则乙种粗粮每袋的售价为96元．（利润率=售价−成本【点睛】设B粗粮每千克的成本价为x元，C粗粮每千克的成本价为y元，乙种粗粮每袋售价为z元，根据利润＝售价﹣成本，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设B粗粮每千克的成本价为x元，C粗粮每千克的成本价为y元，乙种粗粮每袋售价为z元，依题意，得：71.5−(6×3+x+y)=30%×(6×3+x+y)z−(6+2x+2y)=20%×(6+2x+2y)解得：x+y=37z=96故答案为：96．3．（2020•永州期末）为节约能源，优化电力资源配置，提高电力供应的整体效益，国家实行了错峰用电．某地区的居民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价．某户5月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，6月份白天时段用电量比5月份白天时段用电量少60%，结果6月份的总用电量比5月份的总用电量多20%，但6月份的电费却比5月份的电费少20%，则该地区晚间时段居民用电的单价比白天时段的单价低的百分数为（）A．62.5% B．50% C．40% D．37.5%【点睛】分别假设出白天的单价为每度a元，晚间的单价比白天低的百分数为x，可以表示出晚间的单价，这样可以表示出5，6月份的白天与晚间电费，即可列出方程，求出未知数即可．【详解】解：设白天的单价为每度a元，晚间的单价比白天低的百分数为x，即晚间的单价为每度（1﹣x）a元，又设5月份晚间用电量为n度，则：5月份白天用电量为：（1+50%）＝1.5n度，5月份电费为：1.5na+（1﹣x）na＝（2.5﹣x）na元，6月份白天用电量为：1.5n（1﹣60%）＝0.6n度，6月份晚间用电量为：（n+1.5n）（1﹣20%）﹣0.6n＝2.4n度，6月份电费为：0.6na+2.4（1﹣x）na＝（3﹣2.4x）na元，根据题意得：（3﹣2.4x）na＝（2.5﹣x）（1﹣10%）na．整理得：1.5x＝0.75，解得：x＝0.625＝62.5%．答：该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数为62.5%．故选：A．4．（2020•沙坪坝区校级期中）一间手工作坊，分成了两块区域，第一块区域里摆了一张四方桌（四条腿）和若干圆凳（三脚凳），第二块区域里摆了一张圆形桌（六条腿）和若干方凳（四脚凳）现有若干学生来到作坊进行手工创作比赛，每人分别落座后，将多余的凳子撤出手工作坊，他们分别围坐在方桌和圆桌旁开始今天的创作．此时，一位在场的学生发现整个手工作坊里人脚加桌脚加凳脚共有38条（包括观察者本身）．最后统计发现第一块区域的参赛学生平均每人完成了10件作品，第二块区域的参赛学生平均每人完成了5件作品，那么所有参加本次比赛的学生平均每人完成7件作品．【点睛】根据题意可以得到相应的二元一次方程，然后根据人数必须是正整数，即可得到该二元一次方程的解，从而可以计算出所有参加本次比赛的学生平均每人完成的作品数．【详解】解：设第一块区域有学生a人，第二块区域有学生b人，（4+3a+2a）+（6+4b+2b）＝38化简，得5a+6b＝28，∵a、b均为正整数，∴a＝2，b＝3∴所有参加本次比赛的学生平均每人完成：（2×10+3×5）÷（2+3）＝7（件），故答案为：7．5．（2020•南岸区校级月考）重阳佳节来临之际，某糕点店对桂圆味，核桃味、绿豆味重阳糕（分别记为A、B、C）进行混装，推出了甲、乙两种盒装重阳糕，盒装重阳糕的成本是盒中所有A、B、C的成本与盒装包装成本之和，每盒甲装有6个A，2个B，2个C，每盒乙装有2个A，4个B，4个C，每盒甲中所有A、B、C的成本之和是1个A成本的15倍，每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的43倍．每盒乙的利润率为20%，每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%．当该店销售这两种盒装重阳糕的总销售额为31000元，总利润率为24%时，销售甲种盒装重阳糕的总利润是2500【点睛】设A的单价为x元，B的单价为y元，C的单价为z元，每盒甲的盒装包装成本为k，则每盒乙的盒装包装成本是43k，当销售这两种盒装重阳糕的销售利润率为24%时，该店销售甲的销售量为a盒，乙的销售量为b盒，甲每盒装的重阳糕的成本是15x＝6x+2y+2z，即y+z＝4.5x，乙每盒装的重阳糕的成本是2x+4y+4z＝2x+4（y+z）＝20x，得出乙每盒的成本是甲每盒的成本的43，设甲每盒的成本为m，则乙每盒的成本为43m，乙每盒的售价为1.6m，求出甲每盒的售价为43m，根据甲乙的利润得（43m﹣m）a+（1.6m−43m）b＝（ma+43b）×24%，得出b=【详解】解：设A的单价为x元，B的单价为y元，C的单价为z元，每盒甲的盒装包装成本为k，则每盒乙的盒装包装成本是43k，当销售这两种盒装重阳糕的销售利润率为24%时，该店销售甲的销售量为a盒，乙的销售量为b甲每盒装的重阳糕的成本是：15x＝6x+2y+2z，化简得：y+z＝4.5x，乙每盒装的重阳糕的成本是：2x+4y+4z＝2x+4（y+z）＝2x+4×4.5x＝20x，∵20x15x∴乙每盒的成本是甲每盒的成本的43设甲每盒的成本为m，则乙每盒的成本为43m乙每盒的售价为：43m（1+20%）＝1.6m∵每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%，∴甲每盒的售价为：1.6m1+20%=根据甲乙的利润得：（43m﹣m）a+（1.6m−43m）b＝（ma化简得：0.28ma＝0.16mb，∴b=74∵43ma+1.6mb∴43ma+1.6m×7解得：ma＝7500，∴销售甲种盒装重阳糕的总利润是：43ma﹣ma=13故答案为：2500．6．（2020•北碚区校级月考）新学期伊始，西大附中的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共80人捐书，丙班有40人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的35，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书1080【点睛】根据设间接未知数列三元一次方程组求各班人均捐书数，然后再求三个班共捐书即可解答．【详解】解：设甲班的人均捐书数量为x本，乙班的人均捐书数量为（x+5）本，丙班的人均捐书数量为x2设甲班有y人，乙班有（80﹣y）人．根据题意，得xy+（x+5）（80﹣y）+x2解得：y=可知x为2且5的倍数，故x＝10，y＝64共捐书10×64+15×16+5×40＝1080．答：甲、乙、丙三班共捐书1080本．故答案为1080．巩固练习1．（2020•万州区期末）万州某企业捐资购买了一批重120吨的物资支援贫困乡镇，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每车的运载能力和运费如下（假设每辆车均满载）：甲载重5吨，运费400元/车，乙载重8吨，运费500元/车，丙载重10吨，运费600元/车，该公司计划用甲、乙、丙三种车型同时参与运送并完成任务，已知它们的总辆数为15辆，要使费用最省，所使用的甲、乙、丙三种在型的辆数分别是甲车4辆，乙车5辆，丙车6辆．【点睛】设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（15﹣a﹣b）辆，列出等式，再根据a、b、15﹣a﹣b均为正整数，求出a，b的值，从而得出答案．【详解】解：设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（15﹣a﹣b）辆，由题意得5a+8b+10（15﹣a﹣b）＝120，即a＝6−25∵a、b、15﹣a﹣b均为正整数，∴b等于5，从而a＝4，15﹣a﹣b＝6，b等于10，从而a＝2，15﹣a﹣b＝3，∴甲车4辆，乙车5辆，丙车6辆，或甲车2辆，乙车10辆，丙车3辆则需运费400×4+500×5+600×6＝7700（元），400×2+500×3+600×10＝8300（元），答：甲车4辆，乙车5辆，丙车6辆，需运费7700元．故答案为：甲车4辆，乙车5辆，丙车6辆2．学校组织同学们看电影，排队在街上匀速行走，有位同学注意到从背后每隔4分钟过一辆公共汽车，而迎面每隔12分钟有一辆公共汽车驶过，已知车站发车的时间间隔是相同的，那么车站每隔6分钟发一辆车．【点睛】设该同学步行的速度为x米/分钟，公共汽车的速度为y米/分钟，根据路程＝速度×时间结合相邻两辆公共汽车之间的距离相等，即可得出关于x，y的二元一次方程，得出y＝2x，得出发车间隔时间＝相邻两车间的距离÷公共汽车的速度即可求出发车间隔时间．【详解】解：设该同学步行的速度为x米/分钟，公共汽车的速度为y米/分钟，根据题意得：12（y﹣x）＝4（x+y），∴y＝2x，∴12(y−x)y故答案为：6．3．（2020•西湖区校级月考）一块锡铅合金，在空气中称得的质量为115千克，在水中称得的质量为103千克，已知在空气中15千克的锡在水中为13千克，在空气中35千克的铅在水中为32千克．问合金中的锡45千克，铅70千克．【点睛】设合金中的锡x千克，铅y千克；根据题意列方程组，解方程组即可得到结论．【详解】解：设合金中的锡x千克，铅y千克；根据题意得，x+y=11513解得：x=45y=70答：合金中的锡45千克，铅70千克；故答案为：45，70．4．（2020•盐田区期末）购甲、乙两种笔记本共用70元．若甲种笔记本单价5元，乙种笔记本单价15元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购笔记本的方案有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【点睛】设购买甲种笔记本x个，则乙种笔记本y个，利用购甲、乙两种笔记本共用70元得到x＝14﹣3y，利用14−3yy=14y−【详解】解：设购买甲种笔记本x个，则乙种笔记本y个，根据题意得5x+15y＝70，则x＝14﹣3y，因为14−3yy而14−3yy所以y＝1，2，7，14，当y＝1时，x＝11；当y＝2时，x＝8；y＝7和y＝14舍去，所以购笔记本的方案有2种．故选：A．5．40只脚的