【期末复习】专题03用二元一次方程组、分式方程解决实际问题共40题(原卷版+解析)

专题03用二元一次方程组、分式方程解决实际问题【考点一解决实际问题列二元一次方程组】1．（2021·全国·八年级单元测试）《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为__________．2．（2022·江西吉安·八年级期末）中国古代的数学专著《九章算术》有方程组问题“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，则根据题意，可得方程组为_______________．3．（2022·江苏·徐州市新城实验学校一模）《九章算术》原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?译文：现有一些人共买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，则还差4钱，问共多少人，物品价格多少钱?设共有x人，物品的价格是y钱，则可列方程组为____________·4．（2022·广东·广州市番禺区教师进修学校（广州市番禺区教师发展中心）七年级期末）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元．设甲服装的成本是元，乙服装的成本是元，根据题意可列方程组为______________．5．（2021·吉林四平·七年级期末）新冠疫情得到有效控制后，妈妈去药店为即将开学的杨光和已经复工的爸爸购买口罩．若买50只一次性医用口罩和15只N95口罩需付325元；若买60只一次性医用口罩和30只N95口罩需付570元．设一只一次性医用口罩元，一只N95口罩元，根据题意，可列方程组为____________．6．（2021·广东·湛江市雷阳实验学校七年级阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元，问共有几个人购买此物品？设有人共同购买，则列出的方程是______________7．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）某校为美化校园，计划对一些区域进行绿化，安排了甲、乙两个工程队完成，两队共完成了面积为400m2区域的绿化．已知甲队每天能完成绿化的面积是10m2，乙队每天能完成绿化的面积是5m2，甲队比乙队晚10天完成任务．设甲队和乙队分别完成的绿化面积为xm2和ym2，根据题意列出方程组：______________．8．（2022·四川·九年级专题练习）某商店购进A、B两种商品共50件．已知这两种商品的进货单价与销售单价如表所示，且将这两种商品销售完毕共可获利660元．设商店购进A种商品x件，购进B种商品y件，则根据题意可列方程组______．商品类别进货单价（元/件）销售单价（元/件）A3040B4055【考点二解决实际问题列分式方程】1．（2022·山东潍坊·一模）为提升晚高峰车辆的通行速度，某市设置潮汐车道，首条潮汐车道从市政府广场到人民公园，全程约3千米．该路段实行潮汐车道设置后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提升25%，行驶时间平均减少2分钟．设实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则可列方程为__________．2．（2022·辽宁鞍山·一模）某高科技企业要完成6000个零件的生产任务，按原计划工作一天后，为了尽快完成该项任务，延长了工作时间，之后每天生产的零件数量是原计划的倍，结果提前3天完成任务，求原计划每天生产零件多少个？设原计划每天生产零件x个，则可列方程为______．3．（2022·四川眉山·八年级期中）“绿水青山就是金山银山”，为改善环境，某村计划在荒山上种植960棵树苗，实际比原计划每天多种20棵树苗，结果提前4天完成任务，原计划每天种树苗多少棵？设原计划每天种树苗x棵，根据题意可列出方程为____________．4．（2022·山东青岛·一模）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360公里的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3小时．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x公里/小时，则根据题意可得方程____________．5．（2022·云南·云大附中模拟预测）疫情无情人有情，某制药厂要为抗击疫情第一线捐赠一种急救药品，有两种包装，大瓶比小瓶可多装20克该药品，已知120克这一药品单独装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶瓶数的1.5倍．设小瓶每个可装这一药品x克，则可列方程为_______．6．（2022·山东·青岛大学附属中学一模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径．针对疫苗应急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工厂不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．设该厂当前参加生产的工人有x人，根据题意可列方程为：________．7．（2022·广西南宁·八年级期末）“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平培育的杂交水稻解决了全球多个国家的温饱问题．某试验基地现有、两块试验田，分别种植甲、乙两种杂交水稻，今年两块实验田分别收获了24吨和30吨水稻．已知甲种杂交水稻的亩产量是乙种杂交水稻的亩产量的1.2倍，块试验田比块试验田少10亩，设乙种杂交水稻的亩产量是吨，则可列得的方程为___________．8．（2022·吉林四平·八年级期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小敏通过AB时的速度．设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为_____．【考点三用二元一次方程组解决实际问题】1．（2022·海南·陵水黎族自治县教研培训中心一模）为了更好地提高业主垃圾分类的意识，某小区管理处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买3个温馨提示牌和5个垃圾箱共需要490元，且每个温馨提示牌比垃圾箱便宜50元．求购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需要多少元．2．（2022·海南省直辖县级单位·一模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共，其中桥梁长度比隧道长度的9倍少，求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．3．（2022·海南华侨中学一模）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买100瓶免洗手消毒液和150瓶84消毒液，供需花费1500元；如果购买120瓶免洗手消毒液和160瓶84消毒液，供需花费1720元．每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？4．（2021·上海·复旦二附中期末）《九章算术》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？5．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期中）2022北京冬奥会已圆满结束，北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”引起广大网友的喜爱．王老师想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共需310元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．求两种纪念品的单价．6．（2022·重庆市巴川中学校七年级期中）草场收割队每小时需要割草54亩，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型弓的割草机来完成这项工作（两种都要租），已知该公司一台甲型割草机与一台乙型割草机每小时共割草14亩，5台甲型收割机与3台乙型收割机恰好能完成每小时的收割量．(1)求每台甲型收割机与每台乙型收割机每小时各割草多少亩？(2)该收割队恰好完成每小时的割草量，请设计该收割队的租用方案．7．（2022·广西崇左·七年级期末）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：甲种货车（辆）乙种货车（辆）物资总量（吨）第一次2110第二次1211(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？(2)现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？8．（2022·山东菏泽·八年级期末）面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，筹款为贫因地区捐赠了一批消毒液．现要将消毒液运往该区．已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨．计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？(2)请你帮我们设计租车方案；(3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．9．（2022·浙江·台州市书生中学七年级期中）在我校艺术节的各项比赛中，七年级某班同学取得了优秀的成绩，为了表彰同学们，王老师特意到新华书店买书给学生作为奖励，书城二楼专设折售书架，销售文教类图书，部分书籍和标价如下表：文教类图书原价（元）中国历史故事50名人名言20幻夜25(1)若王老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共本，共付了元钱，请求出这两种书王老师各买了多少本？(2)若王老师买了以上三种书每种都有本，共付了元钱，求王老师的购买方案？10．（2020·浙江嘉兴·七年级期中）某市教育局捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）300400500(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？(2)为了节省运费，该教育局打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？(3)求出哪种方案的运费最省？最省运费是多少元？11．（2022·湖北十堰·七年级期中）为更好落实“双减”精神，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定本学期开设更多运动项目，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．(1)七（1）班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学，请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价；(2)由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根(其中a＞15)，恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则最多可以买多少根跳绳？【考点四用二元一次方程组和分式方程解决实际问题】1．（2022·江苏·二模）今年的3月12日植树节当天，某学校组织了该校九年级学生参加“用劳动创造美，让校园更绿色”的主题教育活动．本次主题教育活动学校购买了相同数量的桃树、梨树树苗，已知购买的桃树和梨树的树苗分别花费了210元和180元，且已知购买的桃树树苗单价比梨树的树苗单价多5元，问桃树的单价是多少？2．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校一模）2022年春季的疫情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生1800万个口罩支援疫区，为尽快把口罩发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少万个口罩？3．（2022·福建莆田·一模）为了更好开展劳动教育，某校采购了一批木板供学生组装成课桌和椅子．该校共采购类木板400块；类木板500块．已知一张课桌需要2块类木块和1块木块，一把椅子需要1块类木板和2块类木板．(1)这批木板可以组装成多少张课桌和多少把椅子？(2)现安排正在上劳动实践课的九年（1）班的30名学生来组装课桌和椅子，已知一名学生组装一张课桌需要10分钟，组装一把椅子需要7分钟．应当如何分组，才能最快完成全部组装任务？4．（2022·江苏宿迁·二模）学校趣味运动会组织跳绳项目，购买跳绳经费最多95元．某商店有A，B，C三个型号的跳绳，跳绳价格如下表所示，已知B型长度是A型两倍，C型长度是A型三倍（同个型号跳绳长度一样），用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根．规格A型B型C型单价（元/条）469(1)求三种型号跳绳的长度．(2)若购买三种跳绳经费刚好用完，其中A型和B型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为120米，求购买A型跳绳的数量．5．（2022·湖南常德·一模）常德市某校购进一批甲、乙两种中考排球，已知一个甲种排球的价格与一个乙种排球的价格的和为元，用元购进甲种排球的个数与用元购进乙种排球的个数相同．(1)求每个甲种、乙种排球的价格分别是多少元？(2)该校计划用元购买甲、乙两种排球，由于采购人员把甲、乙两种排球的个数互换了，结果需元，求该校原计划购进甲、乙两种排球各多少个？6．（2022·山东青岛·一模）为厉行节能减排，倡导绿色出行，“共享单车”登陆某市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享单车”，这批自行车包括A，B两种不同款型．请解决下列问题：(1)该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两型自行车各50辆，投放成本共计20500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，求A，B两型自行车的成本单价各是多少？(2)该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“共享单车”，乙街区每1500人投放2a辆“共享单车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有12万人，试求a的值．7．（2021·上海·九年级专题练习）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？8．（2022·江苏·八年级专题练习）某糕点加工点受资金和原料保质期等因素影响，在购买主要原料面包粉和蛋糕粉时需分次购买．下表是该店最近三次购进原料的数量与总金额，其中前两次是按原价购买，第三次享受了优惠．第一次第二次第三次面包粉（袋）235蛋糕粉（袋）458总金额（元）520700912(1)第三次购买的总金额比按原价购买节省了多少钱？(2)该店第四次购买原料时，按照第三次购买的经验，预算912元，仍需购买5袋面包粉和8袋蛋糕粉．在接洽的过程中，发现优惠方式又发生了变化，相较于原价，每袋蛋糕粉降低的价格是每袋面包粉降低的价格的两倍，这时用576元能够买到面包粉的袋数是蛋糕粉袋数的．预算够吗？9．（2021·浙江宁波·七年级期末）端午节前夕，肉粽的单价比蜜枣粽的单价多4元，用200元购买肉粽与用100元购买蜜枣粽的只数相同．（1）肉粽和蜜枣粽的单价分别是多少元？（2）某商铺端午节前夕用800元购买了肉粽和蜜枣粽；端午节后由于肉粽单价打了6折，蜜枣粽的单价打了5折，该商铺又买了与节前同样数量的肉粽和蜜枣粽，只花了420元，求该商铺每次购买肉粽和蜜枣粽的只数．【答案】（1）肉粽的单价为8元，蜜枣粽的单价为4元；（2）每次购买肉粽25只，购买蜜枣粽150只【解析】【分析】（1）设蜜枣粽的单价为元，则肉粽的单价为元，再根据用200元购买肉粽与用100元购买蜜枣粽的只数相同，列方程，解方程可得答案；（2）设每次购买肉粽只，购买蜜枣粽只，再利用节前的两种粽子的总价之和为800元，节后两种粽子的总价之和为420元，列方程组，再解方程组可得答案.【详解】解：（1）设蜜枣粽的单价为元，则肉粽的单价为元由题意得：，解得：，经检验得：是原方程的根，∴答：肉粽的单价为8元，蜜枣粽的单价为4元．（2）设每次购买肉粽只，购买蜜枣粽只由题意得：，解得：．答：每次购买肉粽25只，购买蜜枣粽150只．【点睛】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程组的应用，理解题意，确定好相等关系是解题的关键.10．（2021·浙江湖州·七年级期末）为开展“光盘行动”，某学校食堂规定，每天午餐“光盘”的学生，餐后可获得免费香蕉一只或免费橘子两只作为奖励．在两天时间里，学校食堂花费1800元采购了单价相同的香蕉若干千克，花费1500元采购了单价相同的橘子若干千克用于奖励，并刚好全部奖励完．已知这两天采购的香蕉比橘子多75千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低20%．（1）求橘子的采购单价；（2）若平均每千克香蕉有8只，每千克橘子有12只，第二天获得奖励的学生人数比第一天的3倍少100人，问这两天分别有多少学生获得奖励？【答案】（1）橘子的采购单价为每千克10元；（2）第一天，第二天获得奖励的学生人数分别为700人，2000人【解析】【分析】（1）设橘子的采购单价为每千克元，则香蕉的价格为每千克元，然后根据这两天采购的香蕉比橘子多75千克，列出方程求解即可；（2）先求出香蕉和橘子的熟练，然后设第一天，第二天获得奖励的学生人数分别为a人，b人，根据，第二天获得奖励的学生人数比第一天的3倍少100人，列出方程求解即可．【详解】解：（1）设橘子的采购单价为每千克元，则香蕉的价格为每千克元，依题意，可得，，

解得，

经检验，是原方程的解且符合题意．

答：橘子的采购单价为每千克10元；（2）香蕉的数量为（只），

橘子的数量为（只），

设第一天，第二天获得奖励的学生人数分别为a人，b人，依题意，可得，，

解得，，

答：第一天，第二天获得奖励的学生人数分别为700人，2000人．【点睛】本题主要考查了分式方程和二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列方程求解．11．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）某车行经营A，B两种型号的电瓶车，已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和2500元．（1）该车行去年A型车销售总额为8万元，今年A型车每辆售价比去年降低200元，若今年A型车的销售量与去年相同，则A型车销售额将比去年减少10%，求去年每辆A型车的售价．（2）今年第三季度该车行计划用3万元再购进A，B两种型号的电瓶车若干辆，问：①一共有几种进货方案；②在（1）的条件下，已知每辆B型车的利润率为24%，①中哪种方案利润最大，最大利润是多少？（利润＝售价﹣成本，利润率＝利润÷成本×100%）．【答案】（1）去年每辆A型车的售价为2000元；（2）①一共有3种进货方案；②方案3的利润最大，最大利润是6900元．【解析】【分析】（1）设去年每辆A型车的售价为x元，则今年每辆A型车的售价为（x−200）元，利用数量＝总价÷单价，结合今年A型车的销售量与去年相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）①设购进A型车m辆，B型车n辆，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各进货方案；②利用总利润＝每辆的利润×销售数量，即可分别求出选择各方案的总利润，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设去年每辆A型车的售价为x元，则今年每辆A型车的售价为（x−200）元，依题意得：＝，解得：x＝2000，经检验，x＝2000是原方程的解，且符合题意．答：去年每辆A型车的售价为2000元；（2）①设购进A型车m辆，B型车n辆，依题意得：1500m＋2500n＝30000，∴m＝20−n．又∵m，n均为正整数，∴或或，∴一共有3种进货方案，方案1：购进A型车15辆，B型车3辆；方案2：购进A型车10辆，B型车6辆；方案3：购进A型车5辆，B型车9辆．②选择方案1的利润为（2000−200−1500）×15＋2500×24%×3＝6300（元）；选择方案2的利润为（2000−200−1500）×10＋2500×24%×6＝6600（元）；选择方案3的利润为（2000−200−1500）×5＋2500×24%×9＝6900（元）．∵6300＜6600＜6900，∴方案3的利润最大，最大利润是6900元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①找准等量关系，正确列出二元一次方程；②利用总利润＝每辆的利润×销售数量，求出选择各方案的总利润．12．（2021·浙江金华·七年级期末）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类比B类多2平方米．建A类，B类摊位每平方米的费用分别为40元，30元．若用60平方米建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的．（1）求每个A，B类摊位的占地面积．（2）已知该社区规划用地70平方米建摊位，且刚好全部用完．①请写出建A，B两类摊位个数的所有方案，并说明理由．②请预算出该社区建成A，B两类摊位需要投入的最大费用．【答案】（1）每个A类摊位的占地面积为5平方米，则每个A类摊位的占地面积为3平方米；（2）①见解析；②2650元【解析】【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平方米，由题意：若用60平方米建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的．列出分式方程，解方程即可；（2）①设建A类摊位a个，B类摊位b个，由题意：该社区规划用地70平方米建摊位，且刚好全部用完．列出二元一次方程，求出正整数解即可；②求出建成A、B两类摊位需要投入的费用为-30b+2800，b越小，费用越大，即可求解．【详解】解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平方米，由题意得：，解得：x=3，经检验，x=3是原方程的解，则x+2=5，答：每个A类摊位的占地面积为5平方米，则每个A类摊位的占地面积为3平方米；（2）①有4个方案，理由如下：设建A类摊位a个，B类摊位b个，由题意得：5a+3b=70，则a=14-b，∵a、b为正整数，∴或或或，∴共有4个方案：A类摊位11个，B类摊位5个；A类摊位8个，B类摊位10个；A类摊位5个，B类摊位15个；A类摊位2个，B类摊位20个；②建成A、B两类摊位需要投入的费用为：40×5a+30×3b=200（14-b）+90b=-30b+2800，∵b越小，费用越大，∴当b=5时，费用最大值=-30×5+2800=2650（元），即该社区建成A、B两类摊位需要投入的最大费用为2650元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程的应用等知识；找准等量关系，列出分式方程和二元一次方程是解题的关键．专题03用二元一次方程组、分式方程解决实际问题【考点一解决实际问题列二元一次方程组】1．（2021·全国·八年级单元测试）《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为__________．【答案】【解析】【分析】根据两种乘车方式，找出等量关系，由此建立方程组即可．【详解】依题意，得：．故答案为：【点睛】本题考查了列二元一次方程组，依据题意，正确找出等量关系是解题关键．2．（2022·江西吉安·八年级期末）中国古代的数学专著《九章算术》有方程组问题“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，则根据题意，可得方程组为_______________．【答案】【解析】【分析】根据五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重列出方程即可．【详解】解：设每只雀、燕的重量各为x两，y两，由根据题意得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．3．（2022·江苏·徐州市新城实验学校一模）《九章算术》原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?译文：现有一些人共买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，则还差4钱，问共多少人，物品价格多少钱?设共有x人，物品的价格是y钱，则可列方程组为____________·【答案】【解析】【分析】找出题中的等量关系，列出相应的的方程组，即可得．【详解】解：根据题意得，故答案为：．【点睛】本题考查了列方程组解应用题，解题的关键是理解题意，找出题中的等量关系．4．（2022·广东·广州市番禺区教师进修学校（广州市番禺区教师发展中心）七年级期末）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元．设甲服装的成本是元，乙服装的成本是元，根据题意可列方程组为______________．【答案】【解析】【分析】设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，根据“甲、乙两件服装的成本共500元，”“共获利157元”，列方程组解决问题．【详解】解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，由题意得，故答案为：．【点睛】此题考查从实际问题中抽出二元一次方程组，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．5．（2021·吉林四平·七年级期末）新冠疫情得到有效控制后，妈妈去药店为即将开学的杨光和已经复工的爸爸购买口罩．若买50只一次性医用口罩和15只N95口罩需付325元；若买60只一次性医用口罩和30只N95口罩需付570元．设一只一次性医用口罩元，一只N95口罩元，根据题意，可列方程组为____________．【答案】【解析】【分析】根据买50只一次性医用口罩和15只N95口罩需付325元；买60只一次性医用口罩和30只N95口罩需付570元．列二元一次方程组即可.【详解】解：由题意得：，故答案为：.【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准题中等量关系列方程是解题关键．6．（2021·广东·湛江市雷阳实验学校七年级阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元，问共有几个人购买此物品？设有人共同购买，则列出的方程是______________【答案】【解析】【分析】设共有x个人合买物品，该物品的价格是y元，根据“每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组即可．【详解】解：设共有x个人合买物品，该物品的价格是y元，依题意，得：，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）某校为美化校园，计划对一些区域进行绿化，安排了甲、乙两个工程队完成，两队共完成了面积为400m2区域的绿化．已知甲队每天能完成绿化的面积是10m2，乙队每天能完成绿化的面积是5m2，甲队比乙队晚10天完成任务．设甲队和乙队分别完成的绿化面积为xm2和ym2，根据题意列出方程组：______________．【答案】【解析】【分析】两队共完成了面积为400m2区域的绿化．已知甲队每天能完成绿化的面积是10m2，乙队每天能完成绿化的面积是5m2，甲队比乙队晚10天完成任务．列出方程组即可；【详解】设甲队和乙队分别完成的绿化面积为xm2和ym2，根据题意可得：，故答案为：【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8．（2022·四川·九年级专题练习）某商店购进A、B两种商品共50件．已知这两种商品的进货单价与销售单价如表所示，且将这两种商品销售完毕共可获利660元．设商店购进A种商品x件，购进B种商品y件，则根据题意可列方程组______．商品类别进货单价（元/件）销售单价（元/件）A3040B4055【答案】【解析】【分析】根据题意即可直接列出方程组．【详解】设商店购进A种商品x件，购进B种商品y件，则根据题意可列方程组，故答案为：．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．【考点二解决实际问题列分式方程】1．（2022·山东潍坊·一模）为提升晚高峰车辆的通行速度，某市设置潮汐车道，首条潮汐车道从市政府广场到人民公园，全程约3千米．该路段实行潮汐车道设置后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提升25%，行驶时间平均减少2分钟．设实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则可列方程为__________．【答案】【解析】【分析】实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则实行潮汐车道后，在晚高峰期间通过该路段的车辆的行驶速度为千米/小时，根据实行潮汐车道前后的时间关系建立方程即可，注意时间要化成小时．【详解】由题意得，实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则实行潮汐车道后，在晚高峰期间通过该路段的车辆的行驶速度为千米/小时，则列出方程：，故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象成分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．2．（2022·辽宁鞍山·一模）某高科技企业要完成6000个零件的生产任务，按原计划工作一天后，为了尽快完成该项任务，延长了工作时间，之后每天生产的零件数量是原计划的倍，结果提前3天完成任务，求原计划每天生产零件多少个？设原计划每天生产零件x个，则可列方程为______．【答案】【解析】【分析】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为个，根据提前3天完成任务，列方程即可．【详解】解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为个，由题意得，．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．3．（2022·四川眉山·八年级期中）“绿水青山就是金山银山”，为改善环境，某村计划在荒山上种植960棵树苗，实际比原计划每天多种20棵树苗，结果提前4天完成任务，原计划每天种树苗多少棵？设原计划每天种树苗x棵，根据题意可列出方程为____________．【答案】【解析】【分析】根据题意，找出等量关系式：原计划所用天数-实际所用天数=4，进而列出方程．【详解】解：由题意，得故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的实际问题，找到等量关系式是解决问题的关键．4．（2022·山东青岛·一模）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360公里的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3小时．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x公里/小时，则根据题意可得方程____________．【答案】【解析】【分析】设普通列车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度是3x千米/时，根据乘坐高铁比乘坐普通列车少用3h，列出分式方程即可．【详解】解：设普通列车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度是3xkm/h，根据题意得：．故答案为：．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程．5．（2022·云南·云大附中模拟预测）疫情无情人有情，某制药厂要为抗击疫情第一线捐赠一种急救药品，有两种包装，大瓶比小瓶可多装20克该药品，已知120克这一药品单独装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶瓶数的1.5倍．设小瓶每个可装这一药品x克，则可列方程为_______．【答案】【解析】【分析】设小瓶每个可装这一药品x克，则大瓶每个可装这一药品(x＋20)克，根据“120克这一药品单独装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶瓶数的1.5倍”即可列出方程．【详解】解：设小瓶每个可装这一药品x克，则大瓶每个可装这一药品(x＋20)克，由题意得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意，找到合适的等量关系列方程是解决问题的关键．6．（2022·山东·青岛大学附属中学一模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径．针对疫苗应急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工厂不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．设该厂当前参加生产的工人有x人，根据题意可列方程为：________．【答案】【解析】【分析】设当前参加生产的工人有x人，然后根据计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂，列出方程即可．【详解】解：设当前参加生产的工人有x人，依题意得：．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程．7．（2022·广西南宁·八年级期末）“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平培育的杂交水稻解决了全球多个国家的温饱问题．某试验基地现有、两块试验田，分别种植甲、乙两种杂交水稻，今年两块实验田分别收获了24吨和30吨水稻．已知甲种杂交水稻的亩产量是乙种杂交水稻的亩产量的1.2倍，块试验田比块试验田少10亩，设乙种杂交水稻的亩产量是吨，则可列得的方程为___________．【答案】【解析】【分析】设乙种杂交水稻的亩产量是x吨，则甲种杂交水稻的亩产量1.2x吨，根据“A块试验田比B块试验田少10亩”作为等量关系列方程．【详解】解:设乙种杂交水稻的亩产量是x吨，则甲种杂交水稻的亩产量1.2x吨，根据题意得，故答案为．【点睛】本题考查列分式方程，解决问题的关键是确定满足题意的等量关系．8．（2022·吉林四平·八年级期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小敏通过AB时的速度．设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为_____．【答案】【解析】【分析】设小敏通过AB时的速度是x米/秒，则通过BC的速度是1.2x米/秒，根据题意列出分式方程解答即可．【详解】解：设小敏通过AB时的速度是x米/秒，依题意可得：，故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【考点三用二元一次方程组解决实际问题】1．（2022·海南·陵水黎族自治县教研培训中心一模）为了更好地提高业主垃圾分类的意识，某小区管理处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买3个温馨提示牌和5个垃圾箱共需要490元，且每个温馨提示牌比垃圾箱便宜50元．求购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需要多少元．【答案】购买1个温馨提示牌需要30元，购买1个垃圾箱需要80元【解析】【分析】设购买1个温馨提示牌需要x元，购买1个垃圾箱需要y元，根据买3个温馨提示牌和5个垃圾箱共需要490元，且每个温馨提示牌比垃圾箱便宜50元列出方程，解方程即可求出答案．【详解】设购买1个温馨提示牌需要x元，购买1个垃圾箱需要y元．根据题意得：

解得答：购买1个温馨提示牌需要30元，购买1个垃圾箱需要80元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，能够找到等量关系是解决问题的关键．2．（2022·海南省直辖县级单位·一模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共，其中桥梁长度比隧道长度的9倍少，求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．【答案】港珠澳大桥的桥梁长度49km，隧道长度6km【解析】【分析】设港珠澳大桥隧道长度为，桥梁长度为，由桥梁和隧道全长共，得，桥梁长度比隧道长度的9倍少，得，然后列出方程组，解方程组即可．【详解】解：设港珠澳大桥隧道长度为，桥梁长度为，根据题意得：由题意列方程组得：，解得：，答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为和．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．3．（2022·海南华侨中学一模）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买100瓶免洗手消毒液和150瓶84消毒液，供需花费1500元；如果购买120瓶免洗手消毒液和160瓶84消毒液，供需花费1720元．每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？【答案】每瓶免洗手消毒液的价格为9元，每瓶84消毒液的价格为4元【解析】【分析】设每瓶免洗手消毒液的价格为x元，每瓶84消毒液的价格为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组求解即可．【详解】解：设每瓶免洗手消毒液的价格为x元，每瓶84消毒液的价格为y元，依题意，得：，解得：答：每瓶免洗手消毒液的价格为9元，每瓶84消毒液的价格为4元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．4．（2021·上海·复旦二附中期末）《九章算术》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？【答案】甲有37.5钱，乙有25钱【解析】【分析】设甲有x钱，乙有y钱，根据题意，列出方程组，即可求解．【详解】解：设甲有x钱，乙有y钱，依题意得：，解得：答：甲有37.5钱，乙有25钱．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．5．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期中）2022北京冬奥会已圆满结束，北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”引起广大网友的喜爱．王老师想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共需310元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．求两种纪念品的单价．【答案】冰墩墩的单价是55元，雪容融的单价是40元【解析】【分析】设“冰墩墩”的单价是x元，“雪容融”的单价是y元，根据题意：购买2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共需310元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元即可列出二元一次方程组，然后解方程组即可得到答案.【详解】解：设“冰墩墩”的单价是x元，“雪容融”的单价是y元，依题意得：，解得：．答：“冰墩墩”的单价是55元，“雪容融”的单价是40元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是审清题意，找到等量关系列出二元一次方程组.6．（2022·重庆市巴川中学校七年级期中）草场收割队每小时需要割草54亩，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型弓的割草机来完成这项工作（两种都要租），已知该公司一台甲型割草机与一台乙型割草机每小时共割草14亩，5台甲型收割机与3台乙型收割机恰好能完成每小时的收割量．(1)求每台甲型收割机与每台乙型收割机每小时各割草多少亩？(2)该收割队恰好完成每小时的割草量，请设计该收割队的租用方案．【答案】(1)甲型号的割草机每小时割草6亩，乙型号的割草机每小时割草8亩；(2)可以租用5台甲型割草机，3台乙型割草机；或租用1台甲型割草机，6台乙型割草机．【解析】【分析】（1）设甲型号的割草机每小时割草x亩，乙型号的割草机每小时割草y亩，根据“一台甲型割草机与一台乙型割草机每小时共割草14亩，5台甲型割草机与3台乙型割草机每小时共割草54亩”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出答案；（2）设租用m台甲型割草机、n台乙型割草机，根据每小时共割草54亩，即可得出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数即可得出租方用案．(1)解：设甲型号的割草机每小时割草x亩，乙型号的割草机每小时割草y亩．根据题意得：，解得：．答：甲型号的割草机每小时割草6亩，乙型号的割草机每小时割草8亩．(2)设租用m台甲型割草机，n台乙型割草机．根据题意得：6m+8n＝54，化简得：3m+4n＝27，∴m＝9n．∵m、n均为正整数（两种都要租，m、n均不能为0），∴或．答：可以租用5台甲型割草机，3台乙型割草机；或租用1台甲型割草机，6台乙型割草机．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据每小时共割草54亩结合m、n均为正整数，找出各租用方案．7．（2022·广西崇左·七年级期末）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：甲种货车（辆）乙种货车（辆）物资总量（吨）第一次2110第二次1211(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？(2)现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？【答案】(1)甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨；(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车；方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车．【解析】【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意，可以列出相应的二元一次方程，然后根据辆数为整数，即可写出相应的租车方案；(1)设甲种货车每辆能装货吨，乙种货车每辆能装货吨，依题意得：，解得：，答：甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨；(2)设租用甲种货车辆，乙种货车辆，依题意得：，又，均为非负整数，或或，共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车；方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车．【点睛】本题考查二元一次方程（组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组或方程．8．（2022·山东菏泽·八年级期末）面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，筹款为贫因地区捐赠了一批消毒液．现要将消毒液运往该区．已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨．计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？(2)请你帮我们设计租车方案；(3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送2吨，3吨；(2)共有3种租车方案：租8辆A型车，1辆B型车；租5辆A型车，3辆B型车；租2辆A型车，5辆B型车；(3)方案租2辆A型车，5辆B型车最省钱，最少租车费为730元【解析】【分析】（1）设1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送x吨，y吨，然后根据用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨列出方程求解即可；（2）根据（1）所求，结合题意可知，然后求出满足题意的a、b的值即可得到答案；（3）分别算出三种方案的花费即可得到答案．(1)解：设1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送x吨，y吨，由题意得，解得，∴1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送2吨，3吨；(2)解：由题意得，∴，∵a、b都是整数，∴当时，，当时，，当时，，∴一共有3种租车方案：租8辆A型车，1辆B型车；租5辆A型车，3辆B型车；租2辆A型车，5辆B型车；(3)解：方案租8辆A型车，1辆B型车的花费为元，方案租5辆A型车，3辆B型车的花费为元，方案租2辆A型车，5辆B型车的花费为元，∵，∴方案租2辆A型车，5辆B型车最省钱，最少租车费为730元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意列出式子是解题的关键．9．（2022·浙江·台州市书生中学七年级期中）在我校艺术节的各项比赛中，七年级某班同学取得了优秀的成绩，为了表彰同学们，王老师特意到新华书店买书给学生作为奖励，书城二楼专设折售书架，销售文教类图书，部分书籍和标价如下表：文教类图书原价（元）中国历史故事50名人名言20幻夜25(1)若王老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共本，共付了元钱，请求出这两种书王老师各买了多少本？(2)若王老师买了以上三种书每种都有本，共付了元钱，求王老师的购买方案？【答案】(1)购买《中国历史故事》5本，《名人名言》15本；(2)《中国历史故事》买了1本，《名人名言》买了15本，《幻夜》买了4本【解析】【分析】（1）设购买《中国历史故事》x本，《名人名言》y本，根据题中相等关系可得，解方程组可得答案；（2）设三种书分别买了x本、y本、z本，根据题中相等关系可得：，再利用方程组的解为正整数，从而可得答案．(1)解：设购买《中国历史故事》x本，《名人名言》y本，根据题意得：，解得：，答：购买《中国历史故事》5本，《名人名言》15本；(2)设三种书分别买了x本、y本、z本，根据题意得：，消去z得：20x-4y=-40，∴y=5x+10，∵x、y都是正整数，∴∴《中国历史故事》买了1本，《名人名言》买了15本，《幻夜》买了4本．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系列方程组是解本题的关键．10．（2020·浙江嘉兴·七年级期中）某市教育局捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）300400500(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？(2)为了节省运费，该教育局打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？(3)求出哪种方案的运费最省？最省运费是多少元？【答案】(1)甲车8辆，乙车10辆；(2)甲车6辆，乙车5辆，丙车5辆，或甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆；(3)方案2甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆运费最省，需运费6200元.【解析】【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费6400元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；（2）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，列出等式，再根据车辆数均为正整数，求出，的值，从而得出答案；（3）根据（2）中得出的两种方案得出运费比较厚即可解答．(1)解：设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得，，解得，答：甲车8辆，乙车10辆；(2)解：设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（16﹣a﹣b）辆，由题意得，5a+8b+10（16﹣a﹣b）=120，化简得5a+2b=40，即a=8﹣b，∵a，b，14﹣a﹣b均为正整数，∴当b=5，从而a=6，16﹣a﹣b=5，或当b=10，从而a=4，16﹣a﹣b=2，∴甲车6辆，乙车5辆，丙车5辆或甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆；(3)解：由（2）知分两种情况分别来求运费：方案1：甲车6辆，乙车5辆，丙车5辆，需运费300×6+400×5+500×5=6300（元）；方案2：甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆，需运费300×4+400×10+500×2=6200（元）；，∴方案2甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆运费最省，答：方案2甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆运费最省，需运费6200元．【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程.11．（2022·湖北十堰·七年级期中）为更好落实“双减”精神，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定本学期开设更多运动项目，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．(1)七（1）班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学，请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价；(2)由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根(其中a＞15)，恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则最多可以买多少根跳绳？【答案】(1)100元、20元(2)24根【解析】【分析】(1)设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组解可；(2)由题意得80a+15b=1800(a>15),当全买足球时，可买足球的数量为22.5,对a、b的值进行讨论得两种方案即可．(1)解：（1）设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，由题意得：，解得：，答：足球和跳绳的单价分别为100元、20元；(2)解：由题意得：80a+15b＝1800，∴（a＞15），∵b＞0，∴，解得a＜22.5，∴15＜a＜22.5，且a为整数，当a＝18时，b＝24；当a＝21时，b＝8；a为其它整数时，b均不是整数，∴只能购进足球18个，跳绳24根或购进足球21个，跳绳8根，答：最多可买跳绳24根．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识;理解题意,列出方程组和方程是解题的关键．【考点四用二元一次方程组和分式方程解决实际问题】1．（2022·江苏·二模）今年的3月12日植树节当天，某学校组织了该校九年级学生参加“用劳动创造美，让校园更绿色”的主题教育活动．本次主题教育活动学校购买了相同数量的桃树、梨树树苗，已知购买的桃树和梨树的树苗分别花费了210元和180元，且已知购买的桃树树苗单价比梨树的树苗单价多5元，问桃树的单价是多少？【答案】35元【解析】【分析】设桃树树苗的单价为x元，则梨树的单价为(x-5)元，以购买了相同数量的桃树、梨树为等量关系，列出方程求解，再检验即可．【详解】解：设桃树树苗的单价为x元，则梨树的单价为(x-5)元，根据题意，得解这个方程，得x=35经检验，x=35是所列方程的根，且符合题意，答：桃树树苗的单价为35元．【点睛】本题考查分式方程的应用，读懂题意，找出先等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键．2．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校一模）2022年春季的疫情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生1800万个口罩支援疫区，为尽快把口罩发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少万个口罩？【答案】原计划每天生产200万个口罩【解析】【分析】设原计划每天生产x万个口罩，根据工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务，利用时间做为等量关系列方程求解即可．【详解】解：设原计划每天生产x万个口罩，则依据题意，得：，解得：x=200，把x代入原方程，成立，∴x=200是原方程的解，且符合题意．答：原计划每天生产200万个口罩．【点睛】

本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键读懂题意，找出列方程利用的等量关系，注意解分式方程需要检验．3．（2022·福建莆田·一模）为了更好开展劳动教育，某校采购了一批木板供学生组装成课桌和椅子．该校共采购类木板400块；类木板500块．已知一张课桌需要2块类木块和1块木块，一把椅子需要1块类木板和2块类木板．(1)这批木板可以组装成多少张课桌和多少把椅子？(2)现安排正在上劳动实践课的九年（1）班的30名学生来组装课桌和椅子，已知一名学生组装一张课桌需要10分钟，组装一把椅子需要7分钟．应当如何分组，才能最快完成全部组装任务？【答案】(1)100张课桌，200把椅子(2)13名学生组装课桌，17名学生组装椅子，才能最快完成组装任务【解析】【分析】（1）根据A，B类木板的总数相等列出方程组，求出解即可；（2）列出关于时间的分式方程，再讨论比较即可．(1)设这批木板可以组装成x张课桌，y把椅子，根据题意，得，解得，所以这批木板可以组装成100张课桌，200把椅子；(2)设需要a名学生组装课桌，则有（30-a）名学生组装椅子，根据题意，令解得：；经检验，该值为原方程的解，由于实际问题中a应为整数，∴取a=12或a=13分别讨论；当a=12时，组装课桌用时为（分钟），组装椅子用时（分钟），所以完成任务时间为分钟，当a=13时，组装课桌用时（分钟），组装椅子用时（分钟）；所以完成任务的时间为分钟．因为，所以应安排13名学生组装课桌，17名学生组装椅子才能最快完成全部组装任务．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和分式方程的应用，解决本题的关键是理解题意，并选取特殊值进行讨论．4．（2022·江苏宿迁·二模）学校趣味运动会组织跳绳项目，购买跳绳经费最多95元．某商店有A，B，C三个型号的跳绳，跳绳价格如下表所示，已知B型长度是A型两倍，C型长度是A型三倍（同个型号跳绳长度一样），用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根．规格A型B型C型单价（元/条）469(1)求三种型号跳绳的长度．(2)若购买三种跳绳经费刚好用完，其中A型和B型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为120米，求购买A型跳绳的数量．【答案】(1)A型跳绳的长度为4米，B型跳绳的长度为8米，C型跳绳的长度为12米(2)5【解析】【分析】（1）设A型跳绳的长度为x米，则B型跳绳的长度为2x米，C型跳绳的长度是3x米，由题意：用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根．列出分式方程，解方程即可；（2）设购买A型跳绳a条，则购买B型跳绳a条，购买C型跳绳b条，由题意：购买三种跳绳经费刚好用完，其中A型和B型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为120米，列出二元一次方程组，解方程组即可．(1)设A型跳绳的长度为x米，则B型跳绳的长度为2x米，C型跳绳的长度是3x米，由题意得：，解得x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，则2x＝8，3x＝12，答：A型跳绳的长度为4米，B型跳绳的长度为8米，C型跳绳的长度为12米．(2)设购买A型跳绳a条，则购买B型跳绳a条，购买C型跳绳b条，由题意可得：，解得：，答：购买A型跳绳5条．【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．5．（2022·湖南常德·一模）常德市某校购进一批甲、乙两种中考排球，已知一个甲种排球的价格与一个乙种排球的价格的和为元，用元购进甲种排球的个数与用元购进乙种排球的个数相同．(1)求每个甲种、乙种排球的价格分别是多少元？(2)该校计划用元购买甲、乙两种排球，由于采购人员把甲、乙两种排球的个数互换了，结果需元，求该校原计划购进甲、乙两种排球各多少个？【答案】(1)每个甲种排球进价是15元，每个乙种排球进价是25元(2)原计划购进甲种排球150个、乙种排球个【解析】【分析】（1）设每个甲种排球进价元，则每个乙种排球进价为元．根据题意列出分式方程并求解即可．（2）设购进甲种排球个，购进乙种排球个．根据题意列出二元一次方程组并求解即可．(1)解：设每个甲种排球进价元，则每个乙种排球进价为元．根据题意得．解得．经检验是原方程的解．所以．答：每个甲种排球进价是15元，每个乙种排球进价是25元．(2)解：设购进甲种排球个，购进乙种排球个根据题意得解得答：原计划购进甲种排球150个、乙种排球个．【点睛】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键．6．（2022·山东青岛·一模）为厉行节能减排，倡导绿色出行，“共享单车”登陆某市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享单车”，这批自行车包括A，B两种不同款型．请解决下列问题：(1)该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两型自行车各50辆，投放成本共计20500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，求A，B两型自行车的成本单价各是多少？(2)该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“共享单车”，乙街区每1500人投放2a辆“共享单车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投