2025届吉林某中学高三数学上学期期初考试卷（附答案解析）

2025届吉大附中实验高三数学上学期期初考试卷

考试时间：120分钟试卷满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求的.

1若集合人=卜1«<3},5={/=31,“川，则AC6=

A.0B.{3,6,9}C.{2,5,8}D.{-1,2,5,8}

2.上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图,

则下述大小关系正确的为（）.

外•珅••

相关系数〃“°相关系数,2X°相关系数,3X

、.丫\＞丫2＞丫3B.马〉与〉4C.马D.马＞彳

3.已知。＞0,则“a＞3”是“废＞43”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.’一?）展开式中％项的系数为（）

孙

A.80B.-80C.40D.-40

5.已知。＞0,且awl,则函数y=log0[x+：]的图象一定经过（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

6.下列函数中，其图象与函数y=/（2x—1）的图象关于直线X=1对称的是（）

A.y=/（-2x-l）B.y=/（-2%+l）C.y=/（-2x+3）D.y=2-

7.我校某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.

甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙

说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能

的种数是（）

1

A.12B.13C.24D.26

8.已知实数0bw(l,+8),且2(a+b)=e2"+21nb+l,e为自然对数的底数，则()

A.l<b<aB.a<b<2aC.2a<b<eaD-ea<b<e2a

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数A40(例如若

=°，“2，%，%，。8，“9=L则A=0101001110),已知见伏=1,2,-,10)出现“0”的概

率为‘，出现"1”的概率为一，记X=a,+%+。6+。8+a10，则当程序运行一次时()

44

3

A.X服从二项分布B.尸(X=l)=——

1024

C.E(X)=—D.D(X)=—

44

10.暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了

180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图.已知

n^ad-bey

z2=n=a+b+c+d,附

a0.10.050.010.0050001

6635

Za2.7063.8417.87910.828

在被调查者中，下列说法正确的是()

男生女生

A.男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多

B.男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人

C.经常锻炼者中男生的频率小于不经常锻炼者中男生的频率的2倍

D.根据小概率值a=0.01的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关

2

11.已知三次函数/（彳）=尤3+加+5+2有三个不同的零点七,马，七（石<%2<演），若函数

g（x）=/（x）—1也有三个不同的零点则下列等式或不等式一定成立的有（）

2

A.b<3cB.t3>X3C.再+%2+%3=%+%2+%3D.*^2^3t]t2t31

三、填空题：本题共3小题，每小题.5分，共15分.

12.在本次考试的8道单选题中，你前桌的小张同学对其中5道题有思路，3道题完全没有思路，假设有

3

思路的题能做对的概率为一，没有思路的题仅能随机猜，你恰好看到了他一道题的答案，这个答案是正

4

确的概率为.（诚信考试，诚实做人，拒绝抄袭，从我做起）

3x+l

13.已知正数x,V满足无+y=L则---的最小值为.

盯

14.在一个3x3的“乘法幻方”中，每个空格中都填上一个正数，使得每一行、每一列以及每条对角线的

各数之积均相等.则％=.

5

4X

1

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设数列｛4｝的前几项和为S“，已知％=2,S“+i=4a〃+2.

⑴设a=。“+1-2a“，证明：数列｛bn｝是等比数列；（2）求数列||^-1的前〃项和T,,.

16.在刚刚结束的巴黎奥运会中，国球再创辉煌，包揽全部5枚金牌，其中最惊险激烈的就是男单1/4

决赛，中国选手樊振东对战日本选手张本智和.比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分.

（1）樊振东首局失利，第二局比赛双方打到8：8平，此时张本智和连续发球2次，然后樊振东连续发

球2次，根据以往比赛结果统计，樊振东发球时他自己得分的概率为06张本智和发球时樊振东得分的

概率为0.5,各球的结果相互独立，遗憾的是该局比赛樊振东最终以9：H落败，求其以该比分落败的概

率；

（2）在本场比赛中，张本智和先以2:0领先，根据以往比赛结果统计，在后续每局比赛中樊振东获

胜的概率为|,张本智和获胜的概率为一，且每局比赛的结果相互独立，

33

3

（i）假设两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望.

（ii）最后樊振东以4:3拿下了本场比赛，成功晋级半决赛，有媒体报道樊振东从0:2到4:3实现了

,惊天逆转”，同学们也认同这个说法么？请结合本题中的数据简要说明你的理由.

17.在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE为菱形，现沿AC进行翻折，使得A3J_平面ACDE,

过点E作瓦7/A5,且跖连接FD,FB,BD,所得图形如图②所示，其中G为线段的

2

中点，连接EG.

（1）求证：平面A3。；

若AC=A£>=2,直线尸G与平面BCD所成角的正弦值为立，求平面ABC与平面BED所成

(2)

7

角的余弦值.

18.已知函数/（%）=ahix+二,Q£R.

x

⑴若4=2^,求〃龙）的极小值；（2）若过原点可以作两条直线与曲线y=/（x）相切，求。的取值

范围.

19.已知双曲线。：七一二=1（。〉01〉0）两条渐近线分别为4：y=2x和4：y=-2x,右焦点坐

ab

标为为坐标原点.

（1）求双曲线的标准方程;

（2）直线y=4x—6与双曲线的右支交于点4,耳（A在用的上方），过点4,男分别作&4的平行

4

线，交于点片，过点4且斜率为4的直线与双曲线交于点4,外（4在坊的上方），再过点人2,4分别

作L'l的平行线，交于点鸟,•，这样一直操作下去，可以得到一列点匕舄，,Pn,n＞3,neN*.

（i）证明：耳，2，，与共线；

（ii）判断用2_山匕小—["eN*）是否为定值，若是定值求出定值；若不是定值，说明理

由.

2025届吉大附中实验高三数学上学期期初考试卷

考试时间：120分钟试卷满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求的.

L若集合人中小才,B={x|x=3n-l,nGN）；则AcB=（）

A.0B.{3,6,9}c.{2,5,8}D.{-1,2,5,8}

【答案】C

【解析】

【分析】求得集合人=[0,9],可求得AcB.

【详解】依题得A={x[«＜3}=[0,9],则Ac3={2,5,8}.

故选：C.

2.上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，

则下述大小关系正确的为（）.

歹本•科••

•••••

••••••••••

•••••••••

•a••••••

---•-•-------------►-------------•-.--•---＞__________•__•_••»

相关系数〃X°相关系数。X司相关系数,3*

A.丫\＞丫2＞丫3B.r2＞r3＞rxC.《＞与＞弓D.4＞马＞可

【答案】C

【解析】

【分析】根据散点图判断两变量的线性相关性，再根据线性相关性与相关系数的关系判断即可.

5

详解】由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故4〉0,

图二、图三两个变量都成负相关，且图二的线性相关性更强，

故々＜0,4＜0,同＞同，故0＞与＞4,所以］＞与＞々.

故选：C.

3.已知。＞0,则“a＞3”是“相＞/”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合不等式的性质分充分性、必要性两方面进行说明即可求解.

【详解】若。＞3,则函数＞=优单调递增，所以废＞d，充分性成立；

当。=工时，=X＞l=flY,满足废＞/,但a=L＜3,不满足必要性；

2UJ728y2)2

所以“a＞3”是“废＞43”的充分不必要条件.

故选：A

4.‘一2')'展开式中％项的系数为()

孙

A.80B.-80C.40D.-40

【答案】B

【解析】

【分析】根据二项式定理，写出其通项即可求特定项的系数

【详解】(x—的二项展开式的通项为I；.=C*5d(—2y/=(—21

令k=3,得n=—8C*2y3=—80%2y3,

所以(x—的展开式中x的系数为—80.

孙

故选：B

5.已知。＞0,且awl,则函数y=log0x+：的图象一定经过()

6

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由函数y=iogjx+：）过（0,—1）点，分类可解.

［详解】当尤=0时，y=log„—=-1,

a

所以函数y=log0x+：的图象一定经过三、四象限.

故选：D

6.下列函数中，其图象与函数y=/（2x—1）的图象关于直线x=l对称的是（）

A.y=/（-2x-l）B,y=/（-2x+l）

C.y=/（-2x+3）D.y=2-/（2x-l）

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可.

【详解】设函数y=/（2x—1）的图象为曲线G，该曲线关于x=1对称的曲线为C?,

7

设曲线G上任意一点的坐标为（七,%）,则有为=/（2x0—1），

该点（无0,%）关于直线X=1对称点的坐标为（龙,》），

\=[X=2-%

因此有｛20°,代入为=/（2%—1）中，

u=>

得y=/[2（2—x）—l]=y=/（3—2x）,

故选：C

7.我校某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.

甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙

说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能

的种数是（）

A.12B.13C.24D.26

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，按甲是否是特等奖分类，再结合丙的情况列式计算即可.

【详解】甲是特等奖，乙有4种情况，则丙、丁、戊有1种情况，

所以有4x1=4种；

甲不是特等奖，则甲有3种情况，乙有3种情况，

而丙、丁、戊有1种情况，所以有3x3xl=9种；

所以5人的奖项的所有可能的种数是4+9=13.

故选：B.

8.已知实数匹（1,+8）,且2（a+》）=e2a+21nZ?+l,e为自然对数的底数，则（）

A.l<b<aB.a<b<2aC.2a<b<eaD-ea<b<e2a

【答案】D

【解析】

【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式

【详解】因为2（a+b）=e2〃+21n/;+l,所以e?。一2a—1=2（人一ln6—1）=2（eM"—ln〃-1）,

8

函数/(x)=e*—x—ln/'(x)=ex—l>OJ(x)在(0,+s)上单调递增，且/(0)=0,因为

b〉lnlnb〉0=>f(lnb)〉0

所以/(2a)=2/(lnA)>/(lnA),所以2a>ln=,即bve?。,

Xe2fl-2a-l>2(efl-a-l),所以/(2a)=2/(lnb)>2/(a),所以。<山一,即b<e"，综上,

efl<b<e2a.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数A=%为生«io(例如若

%,生,。5,4，％0=°，4，%，“7，。8，。9=1，则A=0101001110)，已知心(左=1,2,-,10)出现“0”的概

率为,，出现“1”的概率为之，记X=a,+4+%,+/+40，则当程序运行一次时()

44

A.X服从二项分布B.P(X=1)=^—C.E(X)=—D.D(X)=—

102444

【答案】AC

【解析】

【分析】根据二项分布的定义可判断A的正误，利用二项分布可判断B的正误，利用公式计算出X的

期望和方差后可判断CD的正误.

【详解】由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0,1且每个数位上的数字互不影响，

故X中1出现次数的可能取值有0,1,2,3,4,5,则X可能取值情况与之相同，

由二项分布的定义可得：~,sf5,-1

,故A正确.

3

故p(X=l)=C；x：—,故B错误;

1024

3153115

所以E(X)=5X2=」，D(X)=5X-X-=—故C正确，D错误.

V'44',4416

故选：AC.

10.暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了

9

180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图.已知

n^ad-bey

z2=n=a+b+c+d,附

a0.10.050.010.0050.001

7a2.7063.8416.6357.87910.828

在被调查者中，下列说法正确的是（）

我…口不经常锻炼

窗K「LJ西■二口经常锻炼

用」HH

男生女生

A.男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多

B.男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人

C.经常锻炼者中男生的频率小于不经常锻炼者中男生的频率的2倍

D.根据小概率值a=0.01的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关

【答案】BD

【解析】

【分析】根据男生比女生少20人，建立等式求出男生、女生的人数，建立列联表，利用列联表中的信息

解决ABC,利用独立性检验来解决D选项.

【详解】设男生人数为》,则女生人数为X+20,

由题得x+x+20=180,

解得x=80,即在被调查者中，男、女生人数为80,100,可得到如下2x2列联表，

锻炼情况

性别合计

经常锻炼不经常锻炼

男483280

女4060100

合计8892180

10

对于A：由表可知，A显然错误,

对于B：男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多48-40=8,B正确;

对于C：在经常锻炼者中是男生的频率为一标0.5455,在不经常锻炼者中是男生的频率为

88

0.5455

0.3478,a1.6,C错误;

920.3478

对于D：零假设"°：假设假设是否经常锻炼与性别无关,

2

则J=180x(48x60-32义40厂工7115〉6635=x根据小概率值x=0.01的独立性检验，我们

80x100x88x92°-01

推断〃。不成立，

即认为假期是否经常锻炼与性别有关，此推断犯错误概率不大于0.01,D正确.

故选：BD.

11.已知三次函数/(力=%3+反2+CX+2有三个不同的零点七,％2，项(周<X2<%3)，若函数

g(x)=/(x)—1也有三个不同的零点则下列等式或不等式一定成立的有()

2

A.b<3cB.t3>x3

C./+/+/=：+三+hD.f2t3-1

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A,由题意可得r(x)=0有两个不同的实根，则A〉0,从而可进行判断，对于B,根据

图象分析判断，对于CD,由零点的定义结合方程化简变形进行判断.

【详解】f\x)=3x1+2bx+c,因为原函数有三个不同零点，则/'(%)=0有两个不同的实根，

即3*+2/ZX+C=0,则A=4/—12C>0,即。2>3C，所以A错误；

因为三次函数/(4=%3+82+5+〃有三个不同的零点七,七,七(七<七<七)，

32

所以x+Zzx+cx+d=(x-x1)(x-x2)(x-x3)

所以X]+九2+九3=-b,元1%2元3=.d,

11

同理4++%3=-b,tj2t3=1—d,

所以九1+%2+九3=%1+%2+/3，%1%2%3-，卬3=一1，故C正确，D错误;

由/(%)的图象与直线y=1的交点可知t3>x3,B正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题.5分，共15分.

12.在本次考试的8道单选题中，你前桌的小张同学对其中5道题有思路，3道题完全没有思路，假设有

3

思路的题能做对的概率为一，没有思路的题仅能随机猜，你恰好看到了他一道题的答案，这个答案是正

4

确的概率为.(诚信考试，诚实做人，拒绝抄袭，从我做起)

9

【答案】记

【解析】

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】设事件A表示“恰好看到这道题小张的答案是正确的”，

设事件8表示“恰好看到的这道题小张有思路”，则恰好看到了小张一道题的答案，

--5331189

这个答案是正确的概率为P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=-x-+-x-=—,

84843216

9

故答案为：—

16

3x+l

13.已知正数x,y满足x+y=l,则-----的最小值为.

孙

【答案】9

【解析】

【分析】利用“1”的灵活运用，结合基本不等式即得.

【详解】因为％+y=l,则

3x+l3x+l.3x+x+y/、4x+y4x+y4x,“y_4xy

------=-------xl=-----------x(x+y)=-------+------=——+1+4+—=5+——+—

xyxyxyyxyxyx

12

4%V

因为久>0,J7>o,所以—>0,—>0,

y%

I-------电=2

则原式=5+经+）之5+2,隹x2=9,当Iy-%即》=」,'=2时，取等号.

yxVyx.33

-Y-[x+v=1

3x+l

所以------的最小值为9.

孙

故答案为：9.

14.在一个3x3的“乘法幻方”中，每个空格中都填上一个正数，使得每一行、每一列以及每条对角线的

各数之积均相等.则％=.

5

4X

1

【答案】10

【解析】

【分析】根据题中的条件设出每一行、每一列以及每条对角线的各数之积，列出等式求解x即可.

【详解】在一个乘法幻方中，每一行数之积、每一列数之积、对角线上的数之积都相等,

设积为S,

则乘法幻方可表示为如图所示:

SX

5

X~5

S

4X

4%

S

20120

故对角线一XXX—=S,

205

解得：x=10,经验证满足题意.

13

故答案为：1。

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设数列｛4｝的前几项和为5"，已知％=2,S,+i=4a“+2.

⑴设a=。“+1-2a“，证明：数列也｝是等比数列；（2）求数列的前〃项和Tn.

n（n+W

【答案】（1）证明见解析⑵T“=，2

【解析】

【分析】⑴利用。“与S’,间的关系，得到a“+i=4a“—4a,i（"22）,再构造成

«„+i-2an=2（an-2an_1）（n>2）,即可证明结果.

（2）利用（1）中结果得到数列]匕是首项为1,公差为1的等差数列，再利用等差数列的前〃项和公

2

式即可求出结果.

【小问1详解】

由4=2及S,M=4。〃+2,

得a1+Q2=S?—4q+2,***a?=8,.,./?]=a2-2〃]—4.

"跖=也+2,①

[S〃=44T+2,n>2®

由①一②,得an+x=4a“—4a,i（〃22）,

an+1-2an=2（a„-2a„_1）（n>2）.

"­'b“=4+i-2an,：.bn=2%（〃之2）,

故数列抄“｝是首项4=4,公比为2的等比数列.

【小问2详解】

由⑴知d=a〃+「2a“=4-2小=2向，

•£5±I__£^.=Iv=I

••2，，+i2"'乂2'

14

故数列K是首项为1,公差为1的等差数列，所以墨=1+(〃-1)=〃.

n(n+Y\

T=1+2+3++n=^——L

n2

16.在刚刚结束的巴黎奥运会中，国球再创辉煌，包揽全部5枚金牌，其中最惊险激烈的就是男单1/4

决赛，中国选手樊振东对战日本选手张本智和.比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分.

(1)樊振东首局失利，第二局比赛双方打到8:8平，此时张本智和连续发球2次，然后樊振东连续发

球2次，根据以往比赛结果统计，樊振东发球时他自己得分的概率为0.6.张本智和发球时樊振东得分的

概率为0.5,各球的结果相互独立，遗憾的是该局比赛樊振东最终以9：H落败，求其以该比分落败的概

率；

(2)在本场比赛中，张本智和先以2:0领先，根据以往比赛结果统计，在后续的每局比赛中樊振东获

胜的概率为|,张本智和获胜的概率为一，且每局比赛的结果相互独立，

(i)假设两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望.

(ii)最后樊振东以4:3拿下了本场比赛，成功晋级半决赛，有媒体报道樊振东从0:2到4:3实现了

“惊天逆转”，同学们也认同这个说法么？请结合本题中的数据简要说明你的理由.

【答案】⑴0.14(2)⑴分布列见解析，数学期望为E(X)=^.(ii)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即可.

(2)(i)求出X的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望即可；(ii)求出张

本智和胜的概率、樊振东以4:3赢得比赛的概率即可得解.

小问1详解】

在比分为8:8后张本智和先发球的情况下，樊正东以9:H落败的情况分三种：

第一种：后四球樊正东依次为胜败败败，概率为《=0.5x0.5x0.4x0.4=0.04,

第二种：后四球樊正东依次为败胜败败，概率为鸟=0.5x0.5x0.4x0.4=0.04,

第三种：后四球樊正东依次为败败胜败，概率为6=0.5x0.5x0.6x0.4=0.06,

所以所求事件的概率为：《+6+6=0.14.

【小问2详解】

15

(i)随机变量X的可能取值为2,3,4,5,

…c、11127

P(X=2)=—x—=—=---,

339243

p(X=3)=C*x-x-x-=—,

-33327243

P(X=4)=C3X-X(-)2X-+(-)4=—=—

3333381243

所以X的分布列为

X2345

27368496

P

243243243243

皿辽甘口'口div、_27.36.8496326

数学期望为£(X)=2x---+3x---+4x---+5x---=----.

24324324324381

(ii)由⑴得，

张本智和胜的概率为基+仁+03(扪+后又(处3=翳

樊正东胜的概率为6+C：X(|)3X*=啜=果，

且张本智和胜的概率大于樊正东4:3胜的概率，

又因为最后樊正东以4:3拿下本场比赛，且获胜的概率为说,

所以可以这么说樊正东从0:2到4:3实现“惊天逆转”.

17.在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE为菱形，现沿AC进行翻折，使得平面ACDE,

过点£作跖//45,且匹连接FD,FB,BD,所得图形如图②所示，其中G为线段8。的

2

中点，连接尸G.

(1)求证：FGL平面

16

(2)若AC=AO=2,直线FG与平面BCD所成角的正弦值为"，求平面ABC与平面BED所成

7

角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)&

4

【解析】

【分析】(1)连接EC,交AD于点“，连接G”,由题意得EHLA。，AB±EH,由线面垂直的

判定定理可得田，平面A3。，由题意可得四边形EEGH为平行四边形，可得FG//EH,继而即可

证明.

(2)取ED的中点为K，连接AK,由题意，以A为坐标原点，以AB,AC,AK分别为轴建立

空间直角坐标系，设A3=2a(a>0),由直线FG与平面所成角的正弦值为立，计算可得。=1,

7

再利用法向量及两平面夹角的余弦公式即可求解.

【小问1详解】

连接EC,交AD于点“，连接GH,

-四边形ACDE为菱形，

.-.EH±AD，

又皿u平面ACDE,

:.AB±EH,

又QABIAD=A,

AB,ADu平面AB。，

平面ABD,

QG,H分别为线段的,EC的中点，

:.GH//AB,且

2

又•.所//AB,且=

2

:.EFUGH,且EF=GH,

故四边形EFGH为平行四边形,

17

:.FG//EH,

.•.NG，平面ABD.

J

一/\【小问2详解】

BC

在菱形ACDE中，AC=AD,

:.^ACD和VADE都是正三角形，

取ED的中点为K,连接AK,

:.AK±AC,

又QAB,平面ACDE,

AC,AKu平面ACDE,

.-.AB±AC,AB±AK,

即AB,AC,AK两两互相垂直，

如图，以A为坐标原点，以A5,AC,AK分别为％,y,z轴建立空间直角坐标系,

设AB=2a(a>0),己知AC=AD=2,

C(0,2,0),B(2a,0,0),D(0,1,^),F(a,-1,^),G(a,1，

・••FG=(O,|,一¥),

BC=(-2a,2,0),CD=(0,-1,石),

设平面BCD的法向量为m=(x,y,z),

m-BC--2ax+2y=0

则.l，

mCD=—y+A/3Z=0

取z=1,则机=,A/3,1)，

18

设直线FG与平面BC。所成角为。，

因为直线FG与平面BCD所成角的正弦值为V7

a=1,

设平面ABC的法向量为4,取々=(0,0,1),

BF=(-1,-1,73),FD=(-1,2,0),

设平面AFD的法向量为%=（石，%，4），

n2-BF=一百一M+6z\=0

n2.FD=一玉+2%=0

取％=1,则〃2=(2,1,有)，

设平面ABC与平面BED所成角为a,

n,-n.乖iA/6

K1JCOS«=COS.I,«2=^=I-?—=-,

故平面ABC与平面BFD所成角的余弦值为V6

4

18.已知函数〃%）=。111%+二，。£区.

19

⑴若“=2e"求"％）的极小值；

（2）若过原点可以作两条直线与曲线y=/（x）相切，求。的取值范围.

A

【答案】（1）-e2（2）（一,+◎

e

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与极值的关系，即可求得答案；

（2）设切点分别为（石,/（七））,（々，/（%）），根据导数的几何意义，表示出切线方程，将原问题转化为

3

方程=+a（lnx-1）=0两个不同的根的问题，构造函数，利用导数求得其最小值的表达式，分类讨论,

结合零点存在定理，即可求得答案.

【小问1详解】

1op29op2v2—9

由〃%)=2621皿+”,(%>0),得了'(%)二二_彳二/'尤

XXXX

令尸（无）<0得0<X<（,则/⑴在上单调递减,

令广（无）>0得x〉,，则/（%）在Q,+。上单调递增，

则/（x）的极小值为==-e2；

【小问2详解】

设切点分别为（石"（%））,（%，/（%2））,

2

则/（%）在％=%处的切线方程为y—/（玉）=3（x—玉）,

xl

又切点过原点，所以0_/（芯）=附32（。一））,

xi

33

即一+“（in%—1）=0,同理~^~+a（in%2-1）=0,

20

3

所以和々为方程=+a(lnx-1)=0两个不同的根，

设g(x)=W+a(ln%-l),贝!]gf(x)=--^-+-=~6+QX,

XXXX

若a<0,g'(x)<0,则g(x)在(0,+8)单调递减，g(W=0不可能有两个不同的根，不符合题意;

若a>0,令g'(x)<0得,

令g'(x)>0得xe单调递增,

KiJ0<«<-,

e

3

此时方程—+«(lnx-l)=0没有两个不同的根，不符合题意;

X

若g(不<。，即。［He)—"

a

因为〃〉一，所以————J<0，所以，<g=〃(3〃—Ina-1),

eaaaa\a\aJ

令〃(a)=3a_lna_l|a〉g],则/(a)=3_L>0,

所以入⑷在上单调递增,

e

3

即g3a—Ina—1)〉0,又g(x)==+a(lnx—1)的图象是不间断的曲线,

X

所以存在用,％2满足!<王<9<%<e使得g(%)=g(x,)=0,

aa一

所以a的取值范围是(9,+8).

e

【点睛】关键点点睛：难点在于根据切线的条数求解参数范围。解答时将问题转化为方程

3

二+a(lnx-1)=0两个不同的根的问题，然后构造函数，利用导数，求得函数最小值，分类讨论，结