习题课 正弦函数、余弦函数的图象与性质教学设计-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

习题课正弦函数、余弦函数的图象与性质教学设计-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图本节课旨在通过习题课的形式，帮助学生巩固和深化对正弦函数、余弦函数的图象与性质的理解。结合2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册教材内容，通过针对性强的练习题，使学生能够熟练掌握正弦函数、余弦函数的基本性质，能够绘制函数图像，并能够运用这些性质解决实际问题。同时，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标分析本节课的核心素养目标在于培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。通过分析正弦函数、余弦函数的图象与性质，学生将提升对函数概念的抽象理解能力，能够从具体实例中提炼出函数的一般规律。同时，通过解题过程中的逻辑推理，学生将学会如何运用函数性质解决问题，发展严谨的数学思维。此外，通过绘制函数图像和实际应用，学生将增强数学建模意识，能够将数学知识应用于实际问题中。教学难点与重点1.教学重点

本节课的教学重点是掌握正弦函数和余弦函数的图像特征与基本性质。具体包括：

-正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性、单调性。

-函数图像的相位变换和振幅变换。

-利用函数图像和性质解决实际问题。

例如，学生需要理解正弦函数y=sin(x)的周期为2π，这意味着函数每增加2π，函数值重复出现。同时，学生需要掌握如何通过图像识别正弦函数和余弦函数的振幅和周期，这是解决相关习题的基础。

2.教学难点

本节课的教学难点在于以下几个方面：

-对正弦函数和余弦函数图像变换的理解，如相位移动和振幅伸缩。

-将函数性质应用于解题过程中，特别是在复合函数和方程求解时。

-函数图像与实际问题的结合，如物理中的简谐运动。

例如，对于相位移动，学生可能会混淆正弦函数y=sin(x-π/2)与余弦函数y=cos(x)之间的关系，难以理解相位移动的实质。在解决复合函数问题时，如y=sin(2x+π/3)，学生可能难以确定函数的周期性和单调区间。

此外，将正弦函数和余弦函数应用于实际问题，如计算某物理量的最大值、最小值或变化范围时，学生可能会感到困惑，难以将理论知识与实际情境相结合。教师需要通过具体的例题和实际情境的引导，帮助学生突破这些难点。教学方法与手段1.教学方法

-采用讲授法，系统讲解正弦函数和余弦函数的图像与性质，确保学生掌握基础知识。

-运用讨论法，引导学生就函数图像的变换和性质进行小组讨论，促进学生深入理解和交流。

-利用实验法，通过动态软件展示函数图像的变化，增强学生的直观感受和操作能力。

2.教学手段

-使用多媒体设备，展示函数图像和动态变化，帮助学生形象理解函数性质。

-利用教学软件，如几何画板，让学生亲自绘制和变换函数图像，提高实践操作能力。

-结合网络资源，引入相关实际问题案例，让学生将理论知识应用于实际情境中。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过展示一些自然现象中的正弦波和余弦波图像，如水波、摆动等，激发学生对正弦函数和余弦函数的兴趣。

-回顾旧知：回顾初中阶段学习的正弦函数和余弦函数的基本概念，以及函数图像的基本特征。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：详细讲解正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，以及图像的相位变换和振幅变换。

-举例说明：通过具体例子，如y=sin(x)和y=cos(x)的图像，展示函数的基本性质和图像特征。

-互动探究：引导学生通过小组讨论，探讨正弦函数和余弦函数图像变换的规律，如y=sin(x-π/2)与y=cos(x)的关系。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：让学生独立完成一些练习题，包括绘制正弦函数和余弦函数的图像，以及解决一些涉及函数性质的数学问题。

-教师指导：在学生练习过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，帮助学生理解函数性质在实际问题中的应用。

4.深化拓展（约15分钟）

-拓展知识：介绍正弦函数和余弦函数在物理、工程等领域的应用，如简谐运动的数学描述。

-实践应用：通过解决一些实际应用问题，如计算物理量的最大值、最小值，让学生将所学知识应用于实际情境。

5.总结反馈（约10分钟）

-总结知识：教师总结本节课的主要内容，强调正弦函数和余弦函数图像与性质的重要性和应用。

-反馈评价：教师收集学生对本节课的理解情况，通过提问或小测验的形式，评估学生的学习效果，并对学生的表现给予反馈。拓展与延伸1.拓展阅读材料

-《高等数学导论》中关于三角函数的章节，深入了解正弦函数和余弦函数的理论基础。

-《物理中的数学》一书，探讨正弦函数和余弦函数在物理现象中的应用，如电磁波、声波的分析。

-《数学建模》相关书籍，学习如何使用正弦函数和余弦函数构建数学模型，解决实际问题。

2.课后自主学习和探究

-鼓励学生通过互联网资源，如在线教育平台，观看关于正弦函数和余弦函数的讲座和教学视频。

-推荐学生阅读《数学杂志》等学术期刊中关于三角函数研究的最新文章，了解该领域的最新进展。

-布置课后作业，让学生探索正弦函数和余弦函数在工程、经济等其他学科中的应用案例，并撰写报告。

-鼓励学生使用数学软件，如MATLAB、GeoGebra等，进行函数图像的绘制和变换，增强直观理解。

-提议学生参与数学竞赛或研究项目，将正弦函数和余弦函数的知识应用于解决复杂问题。

-建议学生组建学习小组，定期讨论学习中遇到的问题，共同探讨正弦函数和余弦函数的深层次含义。

-引导学生关注生活中的数学现象，如音乐中的音律、建筑设计的曲线美，发现数学与生活的联系。

-鼓励学生参加数学讲座、研讨会，与专家学者交流，拓宽数学视野，激发对数学的热爱和探究兴趣。课后作业1.绘制并标注以下函数的图像：

-y=sin(x)

-y=cos(x)

-y=sin(x-π/2)

-y=cos(x+π/3)

-y=2sin(x)

要求：在图像上标出周期、振幅、初相位，并简要说明每个函数图像的特点。

2.求以下函数的周期、最大值、最小值和初相位：

-f(x)=-sin(x+π/4)

-g(x)=3cos(2x-π/6)

答案：

-f(x)的周期为2π，最大值为1，最小值为-1，初相位为-π/4。

-g(x)的周期为π，最大值为3，最小值为-3，初相位为π/6。

3.证明函数y=cos(x)在区间[0,π]上是单调递减的。

解答：设0≤x1<x2≤π，则cos(x1)-cos(x2)=-2sin((x1+x2)/2)sin((x1-x2)/2)。由于0≤x1<x2≤π，所以0<(x1-x2)/2<π/2，因此sin((x1-x2)/2)>0。同时，sin((x1+x2)/2)>0，因此cos(x1)-cos(x2)<0，即cos(x1)>cos(x2)。所以函数在区间[0,π]上是单调递减的。

4.解决以下问题：

-已知某简谐运动的位移函数为s=4cos(πt/6)，求位移的最大值和最小值，以及该简谐运动的周期。

答案：位移的最大值为4，最小值为-4，周期为12。

5.设函数f(x)=2sin(x-π/4)+1，求函数的一个单调增区间。

解答：由于sin(x)在[-π/2,π/2]内是单调增的，所以2sin(x-π/4)在[-π/4,3π/4]内单调增。因此，f(x)在[-π/4+2kπ,3π/4+2kπ](k为整数)内单调增。取k=0，得到一个单调增区间为[-π/4,3π/4]。

6.在直角坐标系中，绘制函数y=sin(2x)的图像，并找出函数的对称轴。

解答：函数y=sin(2x)的周期为π，图像在每个周期内关于x=kπ/2(k为整数)对称。因此，对称轴为x=kπ/2。

7.利用正弦函数和余弦函数的性质，解决以下实际问题：

-一辆汽车以简谐运动的方式在水平方向上振动，其位移函数为s=0.5cos(πt)，其中s为位移，t为时间。求汽车从一个极端位置到另一个极端位置所需的时间。

答案：周期为2/π，从极端位置到另一个极端位置所需时间为π/π=1单位时间。教学反思与总结在教学正弦函数和余弦函数的图像与性质这一节课时，我深刻体会到了教学过程中的种种挑战与收获。以下是我对本次教学的一些反思和总结。

教学反思：

在教学方法上，我尝试了多种手段来激发学生的兴趣和参与度，比如通过多媒体展示动态的函数图像，以及引导学生进行小组讨论。这些方法在一定程度上提高了学生的学习积极性，但也发现了一些问题。例如，在小组讨论环节，部分学生参与度不高，可能是由于讨论主题设置不够吸引他们，或者是学生之间的互动不足。在今后的教学中，我需要更加细致地设计讨论主题，确保每个学生都能积极参与。

在策略上，我注重了从基础知识的回顾到新知识的过渡，力求让学生在掌握基础知识的基础上，更好地理解正弦函数和余弦函数的图像与性质。然而，我也发现有些学生在基础知识上存在漏洞，这直接影响了他们对新知识的吸收。为此，我计划在今后的教学中加强对基础知识的巩固，确保每个学生都能跟上教学进度。

在管理方面，我尽量营造一个宽松而有序的学习环境，但有时在课堂纪律上还需要进一步加强。比如，在学生进行小组讨论时，我会更加注意观察每个小组的活动情况，确保讨论活动能够有序进行。

教学总结：

从学生的反馈和作业完成情况来看，本节课的教学效果总体上是好的。学生们对正弦函数和余弦函数的图像与性质有了更深入的理解，能够独立完成相关的习题，并且在解决实际问题时也能够运用所学的知识。在情感态度上，学生对数学的兴趣有所提升，他们能够认识到数学在生活中的应用价值。

尽管如此，我也发现了教学中存在的问题和不足。例如，在讲解函数图像变换时，部分学生仍然感到困惑，这可能是因为我在讲解时没有充分考虑到学生的认知水平。针对这一问题，我计划在今后的教学中，更多地使用学生熟悉的例子来解释复杂的概念，以增强他们的理解力。

此外，我也意识到在课堂教学之外，需要给学生提供更多的自主学习资源，如拓展阅读材料和在线学习资源，以便他们能够在课后继续深化学习。板书设计①正弦函数和余弦函数的基本性质

-y=sin(x)

-y=cos(x)

-周期性：T=2π

-奇偶性：sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)

-单调性：在[2kπ-π/2,2kπ+π/2]内单调递增，在[2kπ+