高考数学一轮复习专项训练：复数（含解析）

考点10复数一高考数学一轮复习考点创新题训练

,则在复平面内，复数亍所对应的点位于（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合N={z|z=i"+，，〃eN*},则Z的元素个数为（）

A.lB.2C.3D.4

x2&=」-乌贝1J

3.已知方程％3_1=0的根分别为再=1,

22322

D.-2101

4.著名的欧拉公式是e1r=cosx+isinx,则e'在复平面内的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.已知集合Z={z|z=i"+，，〃eN*},则Z的元素个数为（）

A.lB.2C.3D.4

6.欧拉恒等式1+1=0（i为虚数单位，e为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它

是复分析中欧拉公式e"=cosx+isinx的特例：当自变量时，e'x=COSTT+isin7t=-1,得

*+1=0.根据欧拉公式，复数z=e31在复平面上所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.在复数范围内方程必-2x+2=0的两个根分别为E，/，则|再+2%2卜（）

A.lB.V5C.V7D.V10

8.在复平面内，复数Z对应的点在第三象限，则复数Z.（l+i）23对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.（多选）已知复数Zo=l-i,z=x+yi（x,yeR）,则下列结论正确的是（）

A.方程|2-z0|=2表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆

B.方程|z-Zo\+\z-z0|=2表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆

C.方程I2-Zo\-\z-z0卜1表示的Z在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支

1——

D.方程I2+5(2。+z。)1=12-Z0|表示的Z在复平面内对应点的轨迹是抛物线

10.(多选)若复数2满足z(l-i)=i2025(其中i是虚数单位)，复数Z的共辗复数为彳，则下

列说法正确的是()

A.2的虚部是一万BN=—万+万]C.|z|=~~~D.z-z=—

11.已知平面直角坐标系X。中向量的旋转和复数有关，对于任意向量1=(。/)，对应复数

z=a+bi,向量I逆时针旋转一个角度。，得到复数k=(a+Ai)(cos9+isin6»)=acos6-

6sin9+i(asin9+bcos。),于是对应向量x'=(acos0-bsin0,asin0+bcos0^.这就是向量的旋转

公式.已知正三角形Z8C的两个顶点坐标是2(1,4),8(3,2),根据此公式，求得点。的坐标是

.(任写一个即可)

12.已知关于2的方程卜2-4z+5)(z2+az+9)=0(«eR)有四个互不相等的根,若这四个根在复

平面上对应的点共圆，则。的取值范围是.

13.已知复数z=x+yi(x/eR),则复平面内满足|z-l+i|=机的点Z的集合围成的图形面积

为16兀，则实数加=.

14.设。为坐标原点，向量。4、。?2、。?3分别对应复数马、z1、Z3,且4=/+(2-a)i,

z2=-l+(3-2tz)i,Z3=2—加i(a,meR).已知4+Z2是纯虚数.

(1)求实数。的值；

(2)若Z-Z2,Z3三点共线，求实数机的值.

15.通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对

(马修乂马弓右。看作一个向量，记5=(4/2),则称1为复向量.类比平面向量的相关运算法

则，对于1=(Z],Z2),&=(z3,z4),4、Z2、Z3、Z4、2eC,我们有如下运算法则：

①=（2]士Z3/2±24）;（2）2a=（2Z1,2Z2）；

③彳=4Z3+Z2Z4；(4)|G|=Ja-a.

⑴设@=(iJ+i),b=(2,2-i),求9+B和晨B.

(2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：

®a-b=b-a

@a-(b+c)-a-b+a-c(3)(2a)-b-a-(Ab).

试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.

⑶若@=(2i,l),集合C={万忸=(xJ)/=2x+l,x,yeC},BeQ.对于任意的己e。，求出满足

条件伍己)=0的B,并将此时的B记为反，证明对任意的BeQ,不等式可布_同

恒成立.

根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题(不需要证明).

答案以及解析

1.答案：C

/1.、Z.VZ.Z.Z-\Z.VZ.J

解析：因为Z==+：=12。22+(—产=?/=_1+3所以复数彳对应

的点(-1,-1)在第三象限.

2.答案：C

2

解析：当〃=1时，z=i+』=i-i=O,当〃=2时，z=i+^-=-1-1=-29当〃=3时，

11

z=i3+^-=-i--=0,当〃=4时，z=i4+^=l+l=2,当〃=5时，z=i5+^-=i+-=i-i=O,

11111

当〃=6时，z=i6+^-=i2+^-=-l-l=-2,当〃=7时，2=，+3=『+!=-1—1=0,当〃=8

11111

时，Z=i8+"=i4+*=l+l=2,…，可知以上四种情况循环，故集合4={0,—2,2},4的元素

个数为3.故选：C.

3.答案：A

vq

50

解析：(l-Gi)——1+(4i)

2J

_2100-l+V^i

=0.故选：A.

―2

4.答案：B

解析：由题意知，e"cos3+isin3,又cos3<0,sin3〉0,所以该复数在复平面所对应的点的

坐标为(cos3,sin3),为第二象限的点.故选：B

5.答案：C

解析：当〃=1时，z=i+』=i-i=0,当〃=2时，z=i?+二=一1一1二一2,

11

当〃=3时，2=『+!=——1=0,当〃=4时，2=1+]=1+1=2,

111

当〃=5时，z=i5+^-=i+-=i-i=0,当〃=6时，z=i6+^-=i2+^-=-l-l=-2,

1111

当〃=7时，z=i7+^-=i3+-^-=-i--=0,当〃=8时，z=i8+^-=i4+-^-=1+1=2,

11111

…，可知以上四种情况循环，故集合4={0,-2,2},4的元素个数为3.故选：C

6.答案：B

jr

解析：由题意得2=叱3+15池3,X-<3<71,所以cos3<0,sin3〉0,所以复数2=6"在复平

面内对应的点为(cos3,sin3),位于第二象限.故选B.

7.答案：D

解析：根据题意可得(x-l)2=T=i?,x-1=±i,即x=l±i,当再=1-i,X2=l+i时，

22

Xj+2X2=3+i,+2X2J=Vl+3=V10,当X]=l+i,X2=l-i时，xx+2x2=3-i,

77

.-.|X1+2X2|=V1+3=VT0,综上，忖+2司=而.故选：D.

8.答案：C

解析：因为(1+严4+=(方看=谬任户=*,且复数Z对应的点在第三象限,

则z.(l+i)2024=21012.Z对应的点也在第三象限.故选：C

9.答案：AC

解析：|2-2。|=2表示复平面内点(》/)与点(1,-1)之间的距离为定值2,则2在复平面内对应

点的轨迹是圆，故A正确；

|z-Zo|+|z-%=2表示复平面内点(XJ)到点a-1)和(1,1)的距离之和为2又2=匕-/不

满足椭圆的定义2。〉|月乙|,故B不正确；

\z-z0\-\z-z0|=1表示复平面内点(x,y)到点和(1,1)的距离之差为1,又2=匕―01,满

足双曲线的定义2a<|大8故C正确；

1——_

对于D,|z+5(Zo+Zo)|=|z-ZoI可化为|z+l|=|z-ZoI，表不复平面内点(X,y)到点(-1,0)和

(1,T)的距离相等，轨迹是直线，故D不正确.

10.答案：CD

解析：由—==i得：z=^——2=一'+匕,

朽例mV7[可1-i(l-i)(l+i)222

所以z的虚部是。，故A是错误的；

由"弓弓i'故B是错误的；

由目=-J+Ji=+；'故C是正确的；

1122\442

,1

由z•三=回一=5，故D是正确的；故选：CD.

11.答案：(2+6,3+6)(答案不唯一)

解析:设点C的坐标为(/Jo),点幺(1,4),3(3,2),则48=(2,-2),AC=(x0-l,y0-4),

从而在对应的复数为z=2-2i,若"由方逆时针旋转60。得到，就对应的复数为

z,=(2-2i)(cos60°+isin60°)=V3+1+(73-1)i,因止匕〃=(x0-1,%—4)=(百+1,百—1),解

得XO=2+G,y0=3+^3,则C的坐标是(2+G,3+G)；

若就由方逆时针旋转300。得到，就对应的复数为

z,=(2-2i)(cos3000+isin300°)=l-V3-(l+V3)i,

因止匕元=(%一1/0-4)=(1一G,—1—百)，解得XO=2—G,A=3—VL则点。的坐标是

12.答案：(-6,6)U{-7}

解析：因为Z2-4Z+5=0,即(z-2)2=-1=(±i)2,解得z=2±i,

设所对应的两点分别为4B,则42,1)、5(2,-1),

设z?+az+9=0的解所对应的两点分别为C、。，记为。(国,必),。伍必)，

当△<(),即/一36<0,解得一6<a<6,即一6<a<6时，

因为2、8关于x轴对称，且C、。关于x轴对称，

则以Z、B、C、。为顶点的四边形为矩形或等腰梯形，所以2、B、C、。四点共圆;

当A〉0,即a>6或a<—6时，此时。(为0),D(x2,0),且五产=一玉％=9,

故此圆的圆心为。J-£。［,半径r=区二引=Y1三H,

12；22

又圆心a到N的距离|。/|=『2+9+12=r,解得a=—7,

综上可得加«-6,6)U{-7}.故答案为:(-6,6)U{-7}.

13.答案：4

解析：复平面内满足|z-l+i|=%的点Z的集合围成的图形为以为圆心，以机半径的圆,

复平面内满足|z-l+i|=机的点Z的集合围成的图形面积为16兀,

则兀乂布=16兀，解得加=4(负值舍去).故答案为：4.

14.答案:(1)a=-l

(2)m=-2

解析：(1)由题意可得1+4=/-1+(1-a)i,

—_]=0

由于复数马+Z2是纯虚数，则i_aw0，解得。=-1；

(2)由⑴可得2]=l+3i,z2=-l+5i,则点Z](l,3),Z2(—1,5),点Z3Q—m)

所以，存=(—2,2),存=(1,一加一3)

因Z-Z2,Z3三点共线，所以裟〃刎，所以(-2)x(-机-3)=lx2,所以加=-2.

15.答案：+B=(2+i,3),晨B=l+5i;

⑵①③错误，②正确，证明见解析；

⑶证明见解析，答案见解析

解析：⑴因为2=(i』+i),3=(2,2—i),

所以1+B=(i,l+i)+(2,2—i)=(2+i,3),

=2i+(l+i)(2+i)=2i+2+i+2i+i2=l+5i

(2)a=(z],z2),b—,c=,Zg,2]、z?、Z3、z《、z$、、XeC,

则展B=ZA+Z2Z4,b-a=z3z1+z4z2,故①展B=B.1不成立，

+c=(z3+z5,z4+z6),a-b=Z[Z3+z2z4,a•c=Z1z5+z2z6

a-(b+c)=ZjZ3+z5+z2z4+z6,

因为Z3+Z5=23+Z5,Z4+Z6=Z4+Z6,

所以鼠(B+5)=Z](Z3+Z5)+Z2「4+Z6)

=2逐3+425+22Z4+2226=2逐3+?224+