专题2.1相交与平行线重难点题型13个

专题2.1相交与平行线重难点题型13个题型1、相交线与平行线的相关概念1．（2020·河北·中考真题）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【答案】D【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．【详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；故选：D．【点睛】此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义．2．（2022·广西桂林·七年级期末）按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可．【详解】解：A．符合条件，B．不符合点P不在直线c上；C．不符合点P在直线a上；D．不符合直线a、b、c两两相交；故选：A．【点睛】本题考查的是相交线、点与直线的位置关系，正确理解题意、认识图形是解题的关键．3．（2022·福建福建·七年级期中）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M进行判断，即可得出结论．【详解】解：A．直线经过点M，故本选项不合题意；B．点M不在直线上，故本选项不合题意；C．点M不在直线上，故本选项不合题意；D．直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．4．（2022·河北·模拟预测）下面关于平行线的说法中，正确的个数是（

）①在同一平面内，不相交的两条直线必平行；②在同一平面内，不相交的两条线段必平行；③在同一平面内，不平行的两条直线必相交；④在同一平面内，不平行的两条线段必相交A．0 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据平面内直线和线段的位置关系判断．【详解】在同一平面内，不相交的两条直线必平行，不平行的两条直线必相交，线段则不一定，故①③正确。故选B【点睛】本题主要考查在同一平面内两直线的位置关系，需要注意②和④说的是线段．5．（2022·江西吉安·七年级期中）下列说法正确的是（

）A．在同一平面内，两条直线不垂直就平行B．在同一平面内，没有公共点的两条射线是平行线C．在同一平面内，两条线段不相交就重合D．在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直【答案】D【分析】根据两条直线的位置关系、平行线、垂直的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、在同一平面内，两条直线不相交就平行，则此项错误，不符合题意；B、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意；C、在同一平面内，两条线段不相交，也有可能不重合，则此项错误，不符合题意；D、在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直，则此项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了两条直线的位置关系、平行线、垂直，熟练掌握相交线与平行线是解题关键．6．（2022·吉林吉林·七年级期末）下列语句中，有一个是错误的，其余三个都是正确的：①直线EF经过点C；

②点A在直线l外；③直线AB的长为5cm；④两条线段m和n相交于点P．（1）错误的语句为________（填序号）．（2）按其余三个正确的语句，画出图形．【答案】（1）③；（2）见解析【分析】（1）点与直线的位置关系，直线的定义，两条直线的位置关系，逐项判断即可求解；（2）根据点与直线的位置关系，两条直线的位置关系，画出图形，即可求解．【详解】解：（1）①直线EF经过点C，故本说法正确；②点A在直线l外，故本说法正确；③因为直线向两端无限延伸，所以长度无法测量，故本说法错误；④两条线段m和n相交于点P，故本说法正确；所以错误的语句为③；（2）图形如图所示：

【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，直线的定义，两条直线的位置关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．题型2、对顶角、余角、补角、垂直的性质解题技巧：余角、补角、对顶角这些结论在几何计算中的应用非常广泛。余角、补角、对顶角在解题中常常起着桥梁的作用，它们可以将未知角和已知角直接联系起来，是复杂的问题简单化。我们要善于挖掘题干中的隐含信息，充分利用邻补角和对顶角的关系，使其与已知条件相联系，从而使所求问题得到解决。1．（2022·河北·威县第三中学七年级期末）下列选项中，和是对顶角的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可．【详解】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有D选项符合，故选D．【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的两个判断依据（一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的的两边的反向延长线）是解题的关键．2．（2022·北京海淀区·七年级期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互补的是（）A．B．C． D．

【答案】D【分析】根据图形，结合互补的定义判断即可．【详解】A、与相等，不互补，故本选项错误；B、与不互补，故本选项错误；C、与互余，故本选项错误；D、和互补，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．3．（2022·北京四中璞瑅学校七年级期中）如图，利用量角器可知的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对顶角相等即可得解．【详解】解：∵对顶角相等，∴的度数为，故选：B．【点睛】本题考查求对顶角的度数，解题的关键是会识图，掌握对顶角相等．4．（2022·山东临沂市·七年级期末）已知，，则与的关系为（）A．相等 B．互余 C．互补 D．以上都不对【答案】B【分析】计算出的值即可得出结论．【详解】解：∵，，∴∴与的关系为互余．故选：B．【点睛】本题考查了互为余角的关系；熟练掌握互余两角的关系是解决问题的关键．5．（2022·浙江宁波市·七年级期末）如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（）A．与相等B．与互余C．与互补D．与互余【答案】D【分析】根据垂直的定义和余角，补角的定义和性质解答，即可．【详解】∵∠EOD＝90°，∠COB＝90°，∴∠1＋∠DOC＝∠2＋∠DOC＝90°，∴∠1＝∠2，∴∠AOE＋∠2＝90°，即与互余，∵∠2+=180°，∴∠1+=180°，即：与互补，∵∠1＋∠AOE＝∠1＋∠COD，∴∠AOE＝∠COD，∴D选项说法是错误的，故选：D．【点睛】本题考查了垂线的定义，余角和补角的定义和性质，关键是掌握平角的度数是180°，余角和补角的性质．6．（2022·黑龙江·哈尔滨七年级期中）如图，，直线BD经过点O，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用垂直的含义求解再利用邻补角的含义求解即可．【详解】解：∵，∴∵直线BD经过点O，∴故选B．【点睛】本题考查的是垂直的含义，邻补角的含义，熟练的利用垂直与邻补角的定义求解角的度数是解本题的关键．题型3、垂线段的作图及相关应用1．（2022·江苏·建湖县汇杰初级中学三模）如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（）A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断．【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，故选：C．【点睛】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．2．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连接，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．【详解】解：根据点是直线外一点，，垂足为点，是垂线段，即连接直线外的点与直线上各点的所有线段中距离最短，当点与点重合时有，综上所述：，故选：C．【点睛】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．3．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校七年级期中）如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥∠BAD=∠C．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题要根据垂线定义、垂线段定义（定理）、点到直线的距离定义，逐一判断．【详解】解：∵∠BAC=90°，∴①AB⊥AC正确，符合题意；∵∠DAC≠90°，∴AD与AC不互相垂直，所以②错误，不符合题意；点C到AB的垂线段应是线段AC，所以③错误，不符合题意；点A到BC的距离是线段AD的长度，所以④错误，不符合题意；线段AB的长度是点B到AC的距离，所以⑤正确，符合题意；同角的余角相等，则∠BAD=∠C，所以⑤正确，符合题意．综上，正确的有①⑤⑤共3个，故选：B．【点睛】本题考查了点到直线的距离，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．4．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校七年级期中）如图，BC⊥AC，BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm．那么点B到AC的距离是_____，点A、B两点的距离是_____，点C到AB的距离是_____．【答案】

8cm##8厘米

10cm##10厘米

4.8cm【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD的长即为点C到AB的距离，再根据三角形的面积公式求出CD的长；再根据点到直线距离的定义即可得出结论．【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD的长即为点C到AB的距离，∵BC⊥AC，CB=8cm，AB=10cm，AC=6cm，∴BC•AC=AB•CD，∴CD=6×8÷10=4.8（cm），∴点B到AC的距离是BC的长8cm．点A、B两点的距离是AB的长10cm，点C到AB的距离是CD的长4.8cm．故答案为：8cm，10cm，4.8cm．【点睛】本题考查了点到直线的距离，是基础题，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键．5．（2022·北京四中璞瑅学校七年级期中）如图，在一片农田附近有一条小河．因为干旱，附近的农民们常常需要从河中引水灌溉农田．张伯伯家的农田位于图中点处，他也想挖一条水渠，把河水引到自家农田处．(1)请问，张伯伯如何挖渠才能使渠道最短？请你在如图中画出来．(2)你这样画的依据是什么？(3)如果图中比例尺为：，水渠大概要挖多长？(4)请你举出一个生活中应用以上“依据”的实际例子．【答案】(1)见解析；(2)垂线段最短；(3)水渠大概要挖米；(4)体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短．【分析】（1）作PH⊥CD即可；（2）根据垂线段最短解决问题；（3）测量出PH的长，再利用比例尺求出实际距离；（4）体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短．（1）解：如图，作，线段即为所求；（2）解：画图的依据是垂线段最短．（3）解：，∴实际距离为m，水渠大概要挖m；（4）解：体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短．【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，垂线段最短，比例尺等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6．（2022·河南信阳·七年级期末）按要求画图：(1)作BEAD交DC于E．(2)连接AC，作BFAC交DC的延长线于F．(3)作AG⊥DC于G．(4)根据图形回答问题：想要知道点A到点D、点C所在直线的距离，应该测图中哪条线段的长度？为什么？【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解(4)AG，理由：点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度【分析】（1）过点B作∠BEC=∠C即可得出答案；（2）延长DC，作∠BFC=∠ACD即可得出答案；（3）过点A作AG⊥DC，直接作出垂线即可；（4）根据点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度可知AG为应测线段．（1）如图，线段BE即为所求．；（2）如图，线段BF即为所求．（3）如图，线段AG即为所求．（4）应该测线段AG的长度，理由：点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度．【点睛】本题考查了基本作图和垂线的性质，根据题意正确的画出线段，掌握点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度是解题的关键．题型4、同位角、内错角、同旁内角的辨别解题技巧：常见的识别方法有2种，具体如下方法一、定义法：如下图：=1\*GB3①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找；=2\*GB3②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8与∠4符合同位角关系。内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠2符合内错角关系。同旁内角，即：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符合同旁内角关系。方法二、像形识别法：=1\*GB3①同位角：F=2\*GB3②内错角：Z=3\*GB3③同旁内角：C1．（2022·山东·日照市七年级期中）下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同位角的定义逐项判断即可．同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．【详解】解：根据同位角的定义，可知D是同位角，A、B、C不是同位角，故选：D．【点睛】本题考查同位角的识别，掌握同位角的定义是解题的关键，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．2．（2022·广东·深圳市学七年级期末）如图，与∠1是内错角的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据内错角的定义可得答案．【详解】解：直线a，直线b被直线c所截，∠1与∠3是内错角，∠1与∠2是同旁内角，∠1与∠4是同位角，∠1与∠5不具有特殊位置关系，故选：B．【点睛】本题考查内错角，理解内错角的定义是正确判断的前提．3．（2022·湖北鄂州·七年级期中）如图，与互为同旁内角的角是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】B【分析】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行解答即可．【详解】解：根据题意得：与互为同旁内角，与互为同旁内角．故选：B【点睛】本题考查了同旁内角的定义．注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．4．（2022·浙江·七年级期中）如图，直线，被直线所截，且ab，则与的位置关系是（）A．同位角 B．对顶角 C．同旁内角 D．内错角【答案】A【分析】根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可．【详解】∵直线，被直线所截，∴与的位置关系是同位角．故选A．【点睛】本题考查对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义．三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角所在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．5．（2022·河南·虞城县第二初级中学七年级期中）如图，和是同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．【详解】解：选项A中，∠1和∠2不是同位角；选项B中，∠1和∠2不是同位角；选项C中，∠1和∠2是同位角；选项D中，∠1和∠2不是同位角．故选：C．【点睛】本题主要考查了同位角的概念，解题时注意：同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．6．（2022·辽宁·沈阳市七年级期中）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（

）A．∠1与∠4是同位角 B．∠ACD与∠3是内错角C．∠3与∠4是同旁内角 D．∠ACE与∠4是同旁内角【答案】D【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的位置特征判断即可．【详解】解：A．∠1与∠4是同位角，故A选项正确；B．∠ACD与∠3是内错角，故B选项正确；C．∠3与∠4是同旁内角，故C选项正确；D．∠ACE与∠4不是同旁内角，故D选项错误．故选：D．【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记同位角、内错角、同旁内角定义和位置特征．题型5、平行线的作法与平行公理的应用1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）下列说法正确的是（

）A．相等的角是对顶角B．在同一平面内，两直线的位置关系有三种：平行，垂直，相交C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【分析】由对顶角的概念可判断A，由平面内直线与直线的位置关系可判断B，由过直线外一点画已知直线的平行线可判断C，由过一点画已知直线的垂线可判断D，从而可得答案．【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意；在同一平面内，两直线的位置关系有二种：平行，相交，故B不符合题意；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C不符合题意；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，描述正确，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是对顶角的性质，平面内，直线与直线的位置关系，平行线的含义，垂直的性质，掌握以上基础的概念是解本题的关键．2．（2022·广西·环江毛南族自治县教研室七年级期中）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（

）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥dC．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【答案】C【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行分析，得出正确答案．【详解】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误；B、c、d与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误；C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确；D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误．故选：C．【点睛】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．3．（2022·河北保定·七年级期末）a、b、c是同一平面内的三条直线，下列说法不正确的是（

）A．若a⊥b，b//c，则a⊥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．若a//b，b⊥c，则a⊥c D．若a//b，b//c，则a//c【答案】B【分析】根据平行线的判定及性质及垂直的性质逐项进行分析即可解答．【详解】解：A．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，本选项错误，符合题意，C．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．D．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，本选项正确，不合题意，故选：B．【点睛】本题主要考查平行公理的推论、平行线的判定定理与性质定理及垂直的性质，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．4．（2022·湖南永州·七年级期中）下列三种说法：①相等的角是对顶角．②若线段AB与线段CD没有交点，则ABCD．③若a、b、c都是直线，且ab，bc，则a与c不相交．正确的是_____．【答案】③【分析】根据两点间的距离、对顶角、线段和平行线的知识，对选项一一分析，即可求解．【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故①说法错误；②在同一平面内，若直线AB与CD没有交点，则ABCD，故②说法错误；③若直线ab，bc，则ac，a与c不相交，符合平行公理，故③正确．故答案为：③．【点睛】本题考查了两点间的距离、对顶角、线段和平行线的知识，掌握以上知识是解题的关键．5．（2022·河南商丘·七年级期末）如图，直线CD与直线AB相交与点O，直线外有一点P．(1)过点P画，交AB于点M，过点P画，垂足为N；(2)若、求∠COM的度数．【答案】(1)详见解析(2)135°【分析】（1）直接画平行线和垂线即可；（2）根据平行线的性质可得同旁内角互补，由已知可得结论．（1）解：如图，（2）解：∵PMCD，∴∠PMO+∠COM=180°，∵∠PMO：∠COM=1：3，∴∠COM+∠COM=180°，∴∠COM=135°．【点睛】本题考查了基本作图以及平行线的性质，培养了学生过直线外一点作已知直线的平行线和垂线的画图能力．6．（2022·广东湛江·七年级期末）如图，P是∠ABC内一点，按要求完成下列问题：(1)过点P作AB的垂线，垂足为点D；(2)过点P作BC的平行线，交AB于点E；(3)比较线段PD和PE的大小，并说明理由【答案】(1)见解析(2)见解析(3)PD＜PE，见解析理由【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据要求作出图形即可；（3）根据垂线段最短判断即可．【详解】（1）如图所示：PD即为所求；（2）如图所示：PE即为所求；（3）PD＜PE，理由：直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．【点睛】本题考查作图复杂作图，垂线段最短等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．题型6、平行线的判定1．（2022·山东·乐陵市七年级阶段练习）下列图形中，由能得到ABCD的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平行线的判定定理，即两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，进行判断即可．【详解】解：A．由∠1=∠2，不能得到ABCD，故该选项不符合题意；B．由∠1=∠2，能得到ABCD，故该选项符合题意；C．由∠1=∠2，能得到ACBD，但不能得到ABCD，故该选项不符合题意；D．由∠1=∠2，不能得到ABCD，故该选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．2．（2022·重庆市秀山七年级期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判断的是（）A．∠l＝∠2B．∠3＝∠4C．∠ADC＝∠DCED．∠A+∠ABC＝180°【答案】B【分析】根据平行线的判定定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、由∠1＝∠2可以判定，不能判断，故本选项错误；B、由∠3＝∠4可以判定，依据是“内错角相等，两直线平行”，故本选项正确；C、由∠ADC＝∠DCE可以判定，不能判断，故本选项错误；D、由∠A+∠ABC＝180°可以判定，不能判断，故本选项错误；故选：B．【点睛】此题考查的是平行线的判定定理，解答此题的关键是正确区分两条直线被第三条直线所截形成的内错角及同旁内角．3．（2022·河南安阳·七年级期末）如图，下列条件中不能判定直线的是（

）A．∠ABD＝∠CDB B．∠A＋∠ABC＝180°C．∠ADB＝∠DBC D．∠A＝∠CBE【答案】A【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可．【详解】∠ABD＝∠CDB，只能判定，不能证明，故A符合题意；∠A＋∠ABC＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证明，故B不符合题意；∠ADB＝∠DBC，根据内错角相等，两直线平行，即可证明，故C不符合题意；∠A＝∠CBE，根据同位角相等，两直线平行，即可证明，故D不符合题意．故选A．【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行是解题关键．4．（2022·贵州·凯里学院附属中学七年级阶段练习）如图，在下列四组条件中，能判定ABCD的是（）A．∠1＝∠2B．∠ABD＝∠BDCC．∠3＝∠4D．∠BAD+∠ABC＝180°【答案】B【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A．若∠1=∠2，则ADBC，故本选项错误；B．若∠ABD=∠BDC，则ABCD，故本选项正确；C．若∠3=∠4，则ADBC，故本选项错误；D．若∠BAD+∠ABC=180°，则ADBC，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．5．（2022·湖北·蕲春县七年级阶段练习）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定ABCD的条件__【答案】∠1=∠4##∠B=∠5##∠B+∠BCD=180°【分析】根据平行线的判定定理即可解答．【详解】解：由“内错角相等，两直线平行”可以添加条件∠1=∠4．由“同位角相等，两直线平行”可以添加条件∠B=∠5．由“同旁内角互补，两直线平行”可以添加条件∠B+∠BCD=180°．综上所述，满足条件的有：∠1=∠4或∠B=∠5或∠B+∠BCD=180°．故答案是：∠1=∠4或∠B=∠5或∠B+∠BCD=180°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．6．（2022·广东·广州市七年级期末）如图，∠1=30°，AB⊥AC，要使，需再添加的一个条件是____________．（要求：添加这个条件后，其它条件也必不可少，才能推出结论）【答案】∠B=60°（答案不唯一）【分析】由题意可求出∠BAD=120°，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可知需添加的条件为：∠B=60°．【详解】可添加条件：∠B=60°．∵∠1=30°，AB⊥AC，∴∠BAD=30°+90°=120°．∵∠B=60°，∴∠B+∠BAD=180°，∴．故答案为：∠B=60°．（答案不唯一）【点睛】本题考查垂线的定义，平行线的判定．掌握同旁内角互补，两直线平行是解题关键．题型7、平行线的判定综合1．（2022·浙江·杭州市大关中学七年级期中）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）【答案】①④⑤【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．【详解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，∴mn，故①符合题意；∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故②不符合题意；∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故③不符合题意；过点C作CEm，∴∠3=∠4，∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，∴∠1=∠5，∴ECn，∴mn，故④符合题意；∵∠ABC=∠2∠1，∴∠2=∠ABC+∠1，∴mn，故⑤符合题意；故答案为：①④⑤．【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．（2022·河南郑州·七年级期末）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，请说明其中的道理______．【答案】内错角相等，两直线平行（答案不唯一）【分析】由题意可得，，利用内错角相等，两直线平行可得，从而得解．【详解】解：如图，由题意得：，，∵与是内错角，故（内错角相等，两直线平行）．故答案为：内错角相等，两直线平行．（答案不唯一）【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是对平行线的判定条件的掌握与灵活运用．3．（2022·江苏·南京外国语学校七年级期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．【答案】2或14或50或110【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解．【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得：当秒时，，解得：t=2；当时，，解得：t=14；当时，木棒a停止运动，当时，，解得：t=10；（不合题意，舍去）当时，或，解得：t=50或t=110；综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．故答案为：2或14或50或110【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键．4．（2022·吉林·大安市七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．【答案】平行，理由见解析【分析】先根据角平分线的定义可得，从而可得，再结合可得，然后根据平行线的判定即可得．【详解】解：，理由如下：分别平分，，，，又，，．【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．5．（2022·河南·七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求证：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)CDOE，理由见解析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CDOE．（1）证明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CDOE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射线OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CDOE．【点睛】本题考查角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．6．（2022·湖北十堰·七年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，D为直线BC上一点，DE⊥AB于点E，∠CDE的平分线交直线AC于点F．

(1)如图①，当点D在边BC上时，判断DF与AM的位置关系，并说明理由；(2)①如图②，当点D在边BC延长线上时，则DF与AM的位置关系是______；②如图③，当点D在边CB延长线上时，则DF与AM的位置关系是______；(3)请就（2）中①或②中的一种情况，给出证明．【答案】(1)DF//AM，理由见解析(2)①DF⊥AM；②DF⊥AM．(3)选①证明见解析；选②证明见解析．【分析】（1）先判断出∠BAC+∠CDE=180°，可得∠CAM+∠CDF=90°，进而判断出∠CDF=∠CMA即可得出结论；（2）①，先判断出∠BAC=∠CDE，可得∠CAM=∠CDF,进而判断出∠CDF+∠AMC=90°,即可得出结论解答;选②，先判断出∠BAC=∠CDE，可得∠CAM=∠CDF，进而判断出∠CAM+∠F=90°,即可得解答；（3）（2）中任选一个进行证明即可．（1）解：（1）DF//AM．理由如下：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠CDE=360°﹣90°×2=180°，∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，∴∠CAM=∠BAC，∠CDF=∠CDE，∴∠CAM+∠CDF=（∠BAC+∠CDE）=90°，又∵∠CAM+∠CMA=90°，∴∠CDF=∠CMA，∴BD//MF．（2）①∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE，∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，∴∠CAM=∠CDF，∵∠CAM+∠AMC=90°，∴∠CDF+∠AMC=90°，∴DF⊥AM．故答案为DF⊥AM．②∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE，∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，∴∠CAM=∠CDF，∵∠CDF+∠F=90°，∴∠CAM+∠F=90°，∴DF⊥AM．故答案为DF⊥AM．（3）解：选②证明．证明如下：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE，∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，∴∠CAM=∠CDF，∵∠CDF+∠F=90°，∴∠CAM+∠F=90°，∴DF⊥AM．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、同角的余角线段、平行线的判定、垂直的判定等知识点，说明∠CAM=∠CDF是解答本题的关键．题型8、平行线间的距离及运用解题技巧：两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解此类题型时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。1．（2022·湖南·新化县教育科学研究所七年级期末）如图，直线，，，a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离（

）A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm【答案】B【分析】根据平行线间的距离进行计算即可．【详解】解：由题意可知，，，，则直线a与c的距离为5−2＝3（cm），故选：B．【点睛】本题考查平行线间的距离，理解平行线间的距离的意义是正确解答的前提．2．（2022·广西贵港·七年级期末）在同一平面内，已知直线a，b，c两两平行，且a与b的距离为3cm，a与c的距离为4cm，则b与c的距离为（

）A．3cm或4cm B．1cm C．7cm D．7cm或1cm【答案】D【分析】分类讨论：当直线b在a、c之间或直线b不在a、c之间，后利用平行线间的距离的意义分别求解．【详解】解：当直线b在a、c之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为3cm，a与c的距离为4cm，∴b与c的距离=43=1（cm）；当直线b不在a、c之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为3cm，a与c的距离为4cm，∴b与c的距离=3+4=7（cm），综上所述，b与c的距离为1cm或7cm．故选：D．【点睛】本题考查了平行线之间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，此垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论．3．（2022·湖北恩施·七年级期中）如图所示的3×3的网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，点C也在小正方形的顶点上，若以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C点的个数为（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】按照点C所在的直线分情况：①当点C与点A在同一条竖直直线上时，AC边上的高为2，AC=1，符合条件的点C有2个；②当点C与点A在同一条水平直线上时，AC边上的高为1，AC=2，符合条件的点C有1个；③当点C与点B在同一条竖直直线上时，BC边上的高为2，BC=1，符合条件的点C有2个，结合图象可知有一个重复，④当点C与点B在同一条水平直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有1个，结合图象可知与已有点重复，结合图象即可求出点C个数【详解】解：①当点C与点A在同一条竖直直线上时，AC边上的高为2，AC=1，符合条件的点为；②当点C与点A在同一条水平直线上时，AC边上的高为1，AC=2，符合条件的点为；③当点C与点B在同一条竖直直线上时，BC边上的高为2，BC=1，符合条件的点为和；④当点C与点B在同一条水平直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点为；如图：∴符合条件的C点的个数为4，故选：D．【点睛】本题主要考查三角形的面积，图形规律问题，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏．4．（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，于点B，，，，，则直线a与b之间的距离是________．【答案】12【分析】根据平行线间的距离的定义即可求解．【详解】解：∵，∴直线a与b之间的距离就是垂线段PB的长度，∵，∴直线a与b之间的距离就是12cm．故答案为12．【点睛】本题考查了平行线间的距离，从平行线上任意一点到另一条直线的垂线段长度称为平行线间的距离，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握平行线间的距离的定义是解题的关键．5．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，直线，且a、b之间相距，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是____________．【答案】4【分析】通过平行线之间垂线段最短的理论可知PQ垂直于两条直线时，PQ的值最小，再根据a、b之间距离求出PQ即可．【详解】当时，根据垂线段最短，可以知道此刻PQ取最小值，且a、b之间的距离为4cm，的最小值是4cm，故答案为：4．【点睛】本题考查了平行线之间的距离的定义，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键．6．（2022·湖南邵阳·七年级期末）如图：，AD＝BC＝2CE，△DCE的面积为4，则四边形ABCD的面积为_____．【答案】16【分析】过D作DF⊥BC于F，根据△DCE的面积为4求出CE×DF＝8，求出四边形ABCD的面积，再代入求出答案即可．【详解】解：过D作DF⊥BC于F，∵△DCE的面积为4，∴，∴CE×DF＝8，∵，AD＝BC＝2CE，∴四边形ABCD的面积S＝＝×（2CE＋2CE）×DF＝2CE×DF＝2×8＝16，答案为：16．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的面积和梯形的面积等知识点，能求出四边形ABCD的面积＝2CE×DF是解此题的关键．题型9、根据平行线的性质求角的度数解题技巧：平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来提现的。1）3类角的大小关系都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提条件“两直线平行”，当两直线不平行时，3类角无大小关系。2）如果要从角的关系得到的结论是两直线平行，用平行线的判定；如果已知两直线平行，从平行线得到角相等或互补关系，用平行线的性质。填写理由时，要防止把性质与判定混淆。1．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．【详解】解：如图，延长交于，∵，，，又，，．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．2．（2022·陕西·商洛市山阳信毅九年制学校七年级期末）如图，AB//CD，AC//BH，点M在直线BA上，且∠MAC=30°，∠D=78°，BE平分∠DBA，则∠EBH的度数为（

）A．20° B．22° C．24° D．21°【答案】D【分析】首先根据平行线的性质得出，，再根据角平分线的定义得出，根据，即可求得答案．【详解】解：∵AC//BH，∴，∵AB//CD，∴，∴，∵BE平分∠DBA，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．3．（2022·广东·东莞市中堂中学七年级期中）如图，已知，，则__．【答案】【分析】根据平行线判定：同位角相等两直线平行，得到，再根据平行线性质：两直线平行同位角相等，得到，从而得到答案．【详解】解：如图所示：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，数形结合，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键．4．（2021·宁夏固原·七年级期末）如图，，，，则的度数是_____．【答案】##100度【分析】通过作平行线的方式，将∠G分成∠EGQ和∠QGF，利用平行线的性质求出∠EGQ和∠QGF，度数即可求解．【详解】解：过G点作，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质，属于经典题目，学会作辅助线是关键．5．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校七年级期末）如图，D为中延长线上一点，，若，，则_____．【答案】72【分析】由，，求出，，，由得，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查了平行线性质，熟练掌握平行线性质是解题的关键．6．（2022·黑龙江·哈尔滨七年级期中）如图，于点C，交于点B，若，则的度数是_______度．【答案】30【分析】根据平行线的性质求出∠3，根据垂直的定义可得∠HCE＝90°，根据角的和差计算即可．【详解】解：如图，∵，∴∠3＝∠1＝60°，∵，∴∠HCE＝90°，∴∠2＝90°－∠3＝90°－60°＝30°，故答案为：30．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．题型10、根据平行线的性质与判定探究角的关系1．（2022·上海·七年级期中）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是_____________．【答案】∠1+∠2＝90°或互余【分析】根据平行线的性质可得∠2＝∠CDE，根据垂直的定义可得∠1+∠FDE＝90°，即可求解．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠CDE．∵EF⊥BD，∴∠FED＝90°．∴∠1+∠FDE＝90°．∴∠1+∠2＝90°．故答案为：∠1+∠2＝90°或互余．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2022·广东·广州九年级开学考试）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平行线的性质，以及三角形的外角性质，进行计算即可解答．【详解】解：A.如图：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠1+∠3，∵ab，∴∠ACD=∠2，∴∠2=∠1+∠3，故A不符合题意；B.如图：延长AD交BF于点C，∵ab，∴∠1=∠ACF，∵∠ACF=∠3+∠2，∴∠1=∠3+∠2，故B符合题意；C.如图：过点A作ABa，∴∠2+∠CAB=180°，∵ab，∴ABb，∴∠1+∠BAD=180°，∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合题意；D.如图：延长DA交直线b于点C，∵ab，∴∠2=∠DCB，∵∠3=∠1+∠DCB，∴∠3=∠1+∠2，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2022·浙江·七年级期中）如图，ABCD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CDPH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正确结论是（

）A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②【答案】B【分析】由∠A+∠AHP＝180°，可得PHAB，根据ABCD，可得ABCDPH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．【详解】解：∵∠A+∠AHP＝180°，∴PHAB，∵ABCD，∴CDPH，故①正确；∴ABCDPH，∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，又∵PG平分∠EPF，∴∠EPF＝2∠EPG，∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，故②正确；∵∠GPH与∠FPH不一定相等，∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG，∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠EPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣（∠FPH+∠GPH）＝∠A+∠PHG，∵ABPH，∴∠A+∠PHG＝180°，即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°．故④正确；综上所述，正确的选项①②④，故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．4．（2022·深圳市高级中学初二月考）已知：如图，，则，，之间的关系是A．B．C．D．【答案】C【分析】分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．【解析】解：如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，

，，，，，

，

又，，，即，故选C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b，b//c⇒a//c．5．（2022·山东·德州市第五中学七年级期中）（1）如图1，直线l1l2，直线EF与l1和l2分别相交于C、D两点，点P在线段CD上（不与C、D重合）运动，A、B分别是直线l1和l2上两个定点，连接A、P和B、P，直接写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系：；（2）若点P运动到射线DF上，∠1，∠2，∠3之间的数量关系怎样？写出结论，并证明．（3）若点P运动到射线CE上，请在图3中画出图形并直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系？【答案】（1）∠2＝∠3+∠1，证明见解析；（2）∠1＝∠2+∠3，理由见解析；（3）图见解析，∠PBD＝∠BPA+∠PAC，理由见解析【分析】（1）如图1中．延长BP交AC于H，利用平行线的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．（2）分点P在射线DF上时及点P在射线CE上时两种情况进行讨论，再利用平行线的性质以及三角形的外角的性质进行证明即可；（3）结论：∠PBD＝∠BPA+∠PAC，利用平行线的性质以及三角形的外角的性质进行证明即可；【详解】（1）结论：∠2＝∠3+∠1．理由：如图1中．延长BP交AC于H，∵BDAH，∴∠3＝∠4，∵∠2＝∠1+∠4，∴∠2＝∠1+∠3，故答案为∠2＝∠1+∠3．（2）若点P在射线DF上时，结论：∠1＝∠2+∠3．理由：如图2中，设AF与BD交于点H．∵BDAC，∴∠AHB＝∠1，∵∠AHB＝∠2+∠3，∴∠1＝∠2+∠3．（3）若点P在射线CE上时，结论：∠PBD＝∠BPA+∠PAC，理由：如图3中，设BE与CA交于点H∵BDAC，∴∠PBD＝∠PHC，∵∠PHC＝∠PAC+∠BPA，∴∠PBD＝∠BPA+∠PAC，【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是记住平行线的性质，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．6．（2022·河北·武邑七年级期末）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由见解析(2)∠BAE+∠MCD＝90°，理由见解析(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，则∠BAC+∠ACD＝180°，可得结论AB∥CD；（2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得答案；（3）利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝∠ACE＝45°，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案为：AB∥CD；当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案为：AB∥CD；当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；(2)解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：过点E作EF∥AB，如图所示，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，∵∠AEC＝90°，∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，∵CE平分∠MCD，∴∠ECD＝∠MCD，∴∠BAE+∠MCD＝90°；（3）解：分两种情况分类讨论，第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，理由：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴EP∥AB∥CD，∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，理由：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠PCQ，∵∠PQC+∠QPC+∠PCQ＝180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系，根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法．题型11、平行线的性质与判定的综合证明1．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴，故①正确；∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正确；∵，∴，∵∠CKG＝∠CGK，∴，∴，又∵，∴，∴，要使，就要使且，∴就要GD=GC，但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC，∴故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④错误，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．2．（2022·河南·漯河市七年级期中）如图，已知，BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有()（填序号）【答案】①②④【分析】由平行线的性质可得出，直接判断①正确；根据角平分线的定义结合平行线的性质可得出，可证，得出，从而证明，②正确；由，得出，进而得出，判断④正确；由可得出，得出．再根据，得出．由，即可判断，判断③错误．【详解】∵，∴，故①正确；∵，∴，∵BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，∴，∴，∴，∴，故②正确；∵，∴，∴，故④正确；∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，故③错误．综上可知正确的有①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义．利用数形结合的思想是解题关键．3．（2022·福建龙岩·七年级期中）如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠CBE+∠D＝90°；④∠DEB＝2∠ABC，其中结论正确的有_____（填写序号）．【答案】①②③④【分析】根据平行线的性质、角平分线定义和垂直的定义求出∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA，然后对各个结论进行判断即可．【详解】解：∵AF∥CD，∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA，∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF，∴∠D＝∠DBE，∵BC⊥BD，∴∠D＋∠ECB＝90°，∠DBE＋∠EBC＝90°，∴∠ECB＝∠EBC，∴∠CBE+∠D＝90°，故③正确；∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA，∴BC平分∠ABE，∠DEB＝∠EBA＝2∠ABC，故①④正确；∵∠EBC＝∠BCA，∴AC∥BE，故②正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．4．（2022·江苏·仪征市古井中学七年级阶段练习）如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（

）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】利用，BD平分，EF平分，可以判断出①②正确；再根据与不一定相等，再利用与相等，可判断出③不一定正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确．【详解】∵，∴，，∵BD平分，EF平分，∴，，∴，，∴，故①②正确；∴与不一定相等，由题意可知，∴与不一定相等，故③错误；∵，∴与是等底等高的三角形，∴，∴，故④正确，∴①②④正确．故选：D．【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．5．（2022·黑龙江·哈尔滨七年级期中）点E在射线DA上，点F、G为射线BC．上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．（1）如图，当点G在F右侧时，求证：；（2）如图，当点G在BF左侧时，求证：；（3）如图，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，，求∠B的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）60°【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到∠BDG＝∠ADG，从而可得∠ADG＝∠DGB，则，可得∠DEF＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，从而证明；（2）过点G作交AD于K，则，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，即可得到∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；（3）设，则，，由角平分线的定义可得，然后分别求出，，进行求解即可．【详解】解：（1）∵DG平分∠BDE，∴∠BDG＝∠ADG，又∵∠BDG＝∠BGD，∴∠ADG＝∠DGB，∴，∴∠DEF＝∠EFG，∵∠DBF＝∠DEF，∴∠DBF＝∠EFG，∴；（2）过点G作交AD于K，同理可证，∴，∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；（3）设，则，，，∵DN平分∠PDM，∴，∴，，∵DG⊥NG，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，余角的计算，解题的关键在于能够熟知平行线的性质与判定条件．6．（2022·山东新泰·七年级期末）（1）已知：如图1，．求证：（2）如图2，已知，在的平分线上取两个点M、N，使得，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过点E作，则由平行线的性质可得，再由即可推出，即可判断，即可得到；（2）过点N作，交于点G，则由平行线的性质可得，，再由三角形外角的性质可得，即可推出，再由角平分线的定义，由此即可证明．【详解】解：（1）证明：如图1，过点E作．∴，∵，（已知），∴（等量代换），∴（等式性质），∴，∵，∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；（2）证明：过点N作，交于点G，如图2所示：则，∴，，∵是的一个外角，∴，又∵，，∴，∴，∵平分，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够准确作出辅助线进行求解．题型12、尺规作图（北师大版）1．（2022·河南初一课时练习）尺规作图的工具是（）．A．刻度尺和圆规B．三角尺和圆规C．直尺和圆规D．没有刻度的直尺和圆规【答案】D【分析】根据尺规作图的定义作答．【解析】解：“尺规作图”中的尺是指没有刻度的直尺，即使有刻度也不能使用上面的刻度．故选：D．【点睛】本题考查了尺规作图的定义，解题的关键是掌握尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．2．（2022·山西初一期中）下列对尺规作图步骤的描述不准确的是（）A．作，使 B．作，使C．以点为圆心，线段的长为半径作弧 D．以点为圆心作弧【答案】D【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，据此逐项分析即可．【解析】解：A.作，使，此选项描述准确；B.作一个角等于已知角的倍数是常见的尺规作图，此选项描述准确；C.以点为圆心，线段的长为半径作弧，此选项描述准确；D.画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，此选项描述不准确．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是尺规作图，主要内容有：作线段等于已知线段；作角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线（中垂线）或中点；过直线外一点作直线的垂线．3．（2022·山西寿阳·期末）下面出示的的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是（）如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB作法：（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心②长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心③长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；（4）作④，∠DEF即为所求作的角．A．①表示点E B．②表示PQ C．③表示OQ D．④表示射线EF【答案】D【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可判断．【解析】尺规作图作一个角等于已知角作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心OP长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．所以A，B，C选项都错误，D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了作图基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．4．（2022·四川龙泉驿·初一期中）用直尺和圆规作∠HDG＝∠AOB的过程中，弧②是（）A．以D为圆心，以DN为半径画弧 B．以M为圆心，以DN长为半径画弧C．以M为圆心，以EF为半径画弧 D．以D为圆心，以EF长为半径画弧【答案】C【分析】根据作一个角等