专题04三角形中的证明与计算问题（原卷版）

专题04：三角形中的证明与计算问题目录一、热点题型归纳【题型一】三角形中的角度计算中的五个常考模型【题型二】三角形全等中的六个常考模型【题型三】相似三角形中的四个常考模型【题型四】射影定理【题型五】勾股定理中的常考题型二、最新模考题组练【题型一】三角形中的角度计算中的五个常考模型【典例分析】1.如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（

）．A． B． C． D．【提分秘籍】五个常见模型8字模型：结论:∠A+∠B=∠D+∠C.A字模型：结论：∠1+∠2=∠A+180°飞镖模型：结论：∠C=∠A+∠B+∠D双内角平分线模型：结论：双外角平分线模型：结论：一内一外角平分线模型：结论：老鹰抓小鸡模型（1）：结论：老鹰抓小鸡模型（2）：结论：【变式演练】1.一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．2.如图，把△ABC纸片任意折叠，使点A落在纸外，设折痕为DE，∠A、∠1、∠2之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出这种数量关系，并说明理由．3.在△ABC中，∠A＝40°：（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．【题型二】三角形全等中的六个常考模型【典例分析】1.直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【提分秘籍】六个全等模型手拉手模型倍长中线模型平行线中等模型雨伞模型【变式演练】1.如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N．求证：（1）AD＝BE；（2）∠BMC＝∠ANC；（3）△CMN是等边三角形．2.如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形，求证：△AMN的周长等于2．3.已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．4.如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长．5.如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求证：（1）∠B+∠ADC＝180°；（2）AD+AB＝2AE．【题型三】相似三角形中的四个常考模型【典例分析】1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，，AC＝3，求AD的长．【提分秘籍】8字模型 反8字模型手拉手模型一线三等角模型【变式演练】1.如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF：AB＝2：3．（1）若CE＝4，求AE的长；（2）若CD＝6，求AB的长；（3）若四边形ABFE的面积为8，直接写出△CEF的面积．2.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若AC：DC＝2：3，BC＝6，求EC的长．3.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°．（1）证明：△BDA∽△CED．（2）若BC＝6，当AE＝ED时，求BD的长．【题型四】射影定理【典例分析】1.如图在Rt△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则①图中有几个直角三角形？有几对相似三角形？②若AD＝9，BD＝4，则CD的长是多少？你能找出图中还有哪些线段可以作为比例中项吗？说明理由．【提分秘籍】射影定理：（AD为RT△ABC的BC边上的高）结论：①AD2=BD·DC；②AB2=BD·BC；③AC2=CD·BC。【变式演练】1.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：AC•CF=CB•DF．【题型五】勾股定理中的常考题型【典例分析】1.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片的一角，使点B与点A重合，展开得折痕DE，求DE的长．【提分秘籍】勾股定理常见折叠模型：例：DB2+BC2=DC2例：DB2+AB2=AD2例：BM2+AB2=AM2MN=MC2例：FC=AC例：AD=AC【变式演练】1.如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，折叠△ABC使点A与点B重合，DE为折痕，求DE的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．3．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．4．如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短为多少．1．（2023·陕西西安·西北大学附中校考三模）如图，在中，，，是中线，是角平分线，与交于点O，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏苏州·校联考一模）已知，是的角平分线，直线，若，，则的度数为（）A． B． C． D．3．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，中，，的平分线交BC于点D．，交AC于点E，于点F，，，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．4．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在矩形中，于点E，点P是边上一点，且．求证：．5．（2023·山东淄博·统考一模）如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P．(1)求的度数；(2)求证：．6．（2023·江西南昌·统考一模）（1）计算：（2）如图，两点分别在的边和上，，若直线把分成面积相等的两部分，求的值．7．（2023·河南郑州·统考一模）如图1，在中，，点D，E在上，且，连接．(1)判断与的数量关系，并说明理由；(2)如图2，过点B作，交的延长线于点F．若，请直接写出图2中所有顶角为的等腰三角形．8．（2023·福建三明·统考一模）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点．求证：．9．（2022·江苏南京·南京大学附属中学校考模拟预测）如图，将长方形的边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，若，，求．10．（2023·江苏无锡·一模）如图在和中，，，，连接，交于点M．(1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上，且时，可以得到图中的一对全等三角形，即____________；(2)当点D不在直线BC上时，如图2位置，且．①试说明；②直接写出的大小（用含α的代数式表示）．11．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，中，，，，垂足为E．(1)若，求的度数；(2)若，求证：．12．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）如图，在中，，点是的中点，点在上，，若，求的度数．13．（2023·广东珠海·珠海市前山中学校联考一模）如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，，求的长．14．（2023·江苏常州·校考二模）如图，把矩形纸片沿折叠后，使得点D落在点H的位置上，点C恰好落在边上的点G处，连接．(1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，，求四边形的面积及折痕的长．15．（2023·统考一模）如图，是等边三角形，D是边上一点，以为边作E等边，交于点F，连接，(1)求证：．(2)若，，求的长．16．（2023·浙江温州·统考一模）如图，在中，，是上一点，延长至点，使得，延长至点，使得．(1)求证：；(2)若，，，求的长．17．（2023·福建三明·统考模拟预测）如图，中，，，的平分线与边交于点，与外角的平分线交于点．(1)求的值；(2)求点到直线的距离．18．（2023·山东菏泽·统考一模）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：．（2）如图2，和左都是直角三角形，，，，连接，，求的值．19．（2023·