5.1丰富的图形世界七年级数学上册讲义（苏科版）

丰富的图形世界知识点一、常见的几何体PS：长方体和正方体都属于棱柱，正方体的各条棱长均相等，各个面都是正方形.例：将图中的几何体进行分类，并说明理由．【解答】见解析【解析】若按构成划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一类，组成它的面至少有一个是曲面．若按形状划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体．知识点二、几何图形1. 几何图形的定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形，几何图形由点、线、面组成. 其中，面有平面，也有曲面；线有直线，也有曲线.面与面相交得到线，线与线相交得到点. 几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.所以点无大小，线无宽窄，面无厚薄.2. 几何图形的分类：几何图形包括立体图形和平面图形.（1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等.（2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．例：如图所示，请说出它有几个面，分别是什么样的面，面和面相交的地方形成了几条线，线和线相交的地方有几个点.【解答】见解析【解析】是一个长方体，共有6个面，这些面都是平面，面和面相交成12条线，线和线相交成8个点.知识点三、柱体和椎体的特征棱柱与棱锥，如图所示：1. 在棱柱、棱锥中，任何相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱；2. 棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点；3. 棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点；4. 棱柱的侧棱长相等，棱柱的上、下底面是相同的多边形，直棱柱的侧面都是长方形；5. 棱锥的侧面都是三角形；6. 若棱柱的底面是n边形，则它的侧棱有n条，所有棱有3n条，顶点有2n个，面有（n+2）个（n个侧面，2个底面）；7. 若棱锥的底面是n边形，则它的侧棱有n条，所有棱有2n条，面有（n＋1）个（n个侧面，1个底面）. 圆柱与圆锥，如图所示：1. 圆柱：由两个底面和一个侧面组成，两个底面是平面，侧面是曲面；2. 圆锥：由一个底面和一个侧面组成，底面是平面，侧面是曲面，有一个顶点.例：如图，一个正五棱柱的底面边长为2cm，高为4cm．（1）这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积；（2）这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？（3）试用含有n的代数式表示n棱柱的顶点数、面数与棱的条数．【解答】（1）7个面，40cm2；（2）顶点共10个，棱共有15条；（3）n棱柱的顶点数2n；面数n+2；棱的条数3n【解析】（1）侧面有5个，底面有2个，共有5+2=7个面；侧面积：2×5×4=40（cm2）；（2）顶点共10个，棱共有15条；（3）n棱柱的顶点数2n；面数n+2；棱的条数3n．巩固练习一．选择题1．如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是（）A． B． C． D．【分析】将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，可知上面和下面都是平面，所以得到的立体图形是圆体．【解答】解：根据“点动成线，线动成面，面动成体”，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，所得到的立体图形是圆柱．故选：A．【点评】本题考查生活中的立体图形，理解“点动成线，线动成面，面动成体”，是正确判断的前提．2．①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④【分析】根据组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成直接判断即可．【解答】解：由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成，∴①④符合要求，故选：D．【点评】本题主要考查立体图形的拼搭，根据组合后的几何体形状做出判断是解题的关键．3．相同规格（长为14，宽为8）的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图所示的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：V甲和V乙．下列说法正确的是（）A．V甲＞V乙 B．V甲＝V乙 C．V甲＜V乙 D．无法判断【分析】观察图形，分别利用一元一次方程组求出底面正方形的边长和长方体的高，求出体积，比较大小即可得出答案．【解答】解：设甲方案中长方体箱子的正方形底面的边长为a，长方体的高为b，则：4a=解得：a=2∴V甲＝2×2×10＝40，设乙方案中长方体箱子的正方形底面的边长为m，长方体的高为7m，则，解得，则，∴V乙＝6×6×1＝36，∵40＞36，∴V甲＞V乙，故选：A．【点评】本题考查了认识立体图形，考查空间想象能力，求出底面正方形的边长和长方体的高是解题的关键．4．有一种用于海水养殖的网箱，单体是一个无盖的长方体，它的侧面和底面用网布缝制，长，宽，高分别为a，b，c（如图1所示），如果按照图2所示的方式连续制作n个网箱（相邻网箱间只用一层网布隔断），那么这几个网箱网布的总面积为（）A．bc+n（ab+bc+2ac） B．2n（ab+bc+ac） C．n（ab+2bc+2ac） D．bc+n（ab+2bc+2ac）【分析】分别计算1个，2个，3个网箱连在一起时所需网布的面积．找到规律即可．【解答】解：一个长方体的网布总面积为：ab+2ac+2bc．两个连在一起的网布总面积为：2ab+3bc+4ac＝bc+2（ab+bc+2ac）．三个连在一起的网布总面积为：3ab+4bc+6ac＝bc+3（ab+bc+2ac）．依此类推，n个连在一起的网布总面积为：bc+n（ab+bc+2ac）．故选：A．【点评】本题考查几何图形的认识，找到面积与n的规律是求解本题的关键．5．如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是（）立方分米．A．105π B．54π C．36π D．18π【分析】根据近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米可求出圆柱体的半径，再根据圆柱体的体积公式即可求得结果．【解答】解：∵近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米，∴圆柱体的半径为：36÷2÷6＝3（分米），∴圆柱的体积为：π×32×6＝54π（立方分米），故选：B．【点评】本题考查了圆柱体体积公式的推导及公式的应用，理解推导过程正确求得圆柱体的半径是解决问题的关键．6．棱长为3英寸的正方体是由27个单位小正方体组成的，其中有21个红色小正方体，6个白色小正方体，若让大正方体的表面尽可能少的出现白色，则大正方体表面积中白色部分占整个正方体表面积的（）A．554 B．19 C．527 【分析】要想使大正方体的表面尽可能少的出现白色，可将8个红色单位正方体放在大正方体的8个顶点处，每个棱上放2个，剩下1个放在外层，再根据大正方体的表面积54，用1减去红色部分占整个表面积的多少即可求得结果．【解答】解：根据题意：大正方体的表面尽可能少的出现白色，将8个红色单位正方体放在大正方体的8个顶点处，每个棱上放2个，剩下1个放在外层，∵大正方体的表面积为6×32＝54∴红色部分占整个表面积的8×∴白色部分占整个表面积的1-49故选：A．【点评】本题考查了几何体的表面积，解决本题的关键是21个红色小正方体的摆放问题．7．如图1是一个水平桌面上摆放的棱长为1的小正方体木块，图2图3是由这样的小正方体木块叠放而成的几何体，按照这样的规律继续叠放下去，至第5个叠放图形中，几何体露在桌面外的表面积是（）A．117 B．118 C．119 D．120【分析】由于每个小正方体的每个面的面积为1，所以只要得出几何体露在桌面外的面便可求得几何体露在桌面外的表面积，因此可分前后左右四个部分得出露在桌面外的面，从上面分横向与纵向两个方向露在桌面外的面，然后相加，利用求和公式计算即可得解．【解答】解：从正面看，露在桌面外的面有：1+3+5+…+（2n﹣1）=n(2n-所以，从前、后、左、右看，露在桌面外的面有4n2，从上面看，露在桌面外的面有：2（2n﹣1）﹣1＝4n﹣3，所以，第n个叠放的图形中，露在桌面外的面有：4n2+4n﹣3＝（2n+1）2﹣4，露在桌面外的表面积是（2n+1）2﹣4．∴第5个叠放图形中，几何体露在桌面外的表面积是（5×2+1）2﹣4＝117，故选：A．【点评】本题是对图形变化规律的考查，立体图形比较复杂，注意确定正方体的个数与几何体露在桌面外的面数时按照一定的顺序查找方可做到不重不漏，也是解题的关键．二．填空题8．一个圆柱削去2.4立方米后，正好削成一个与它等底等高的圆锥，圆柱原来的体积是3.6立方米．【分析】圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍，根据题意得出，圆锥的体积是圆柱削去体积的一半，即1.2立方米，再根据圆柱的体积＝等底等高的圆锥体积的3倍，求得结果．【解答】解：圆锥的体积为2.4÷2＝1.2（立方米），圆柱的体积为：1.2×3＝3.6（立方米）．故答案为：3.6．【点评】本题主要考查圆柱与圆锥的关系，熟练掌握圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍是解题关键．9．有6个棱长为1的小正方体，把它们拼成一个大的长方体，那么这个长方体的表面积为22或26．【分析】第一种拼法是6个排成一排；第二种是6个排成两行，上下各3个．【解答】解：第一种拼法是6个排成一排，其表面积为2+4×6＝26；第二种是6个排成两行，上下各3个，其表面积为3×6+2×2＝22．故答案为：22或26．【点评】本题考查了长方体的表面积的求法，关键是6个正方体有2种方法拼成长方体．10．把一张半径为8厘米的圆形纸片剪成两个半圆，这两个半圆的周长之和比圆的周长增加32厘米．【分析】由一个圆剪成两个半圆可知剪开后两个半圆的周长比圆的周长增加4个半径．【解答】解：∵半径为8厘米的圆形纸片剪成两个半圆，∴周长增加两个直径，∴周长增加8×4＝32（cm），故答案为32．【点评】本题考查认识平面图形，掌握圆的周长的求法，半圆周长的求法是解题的关键．11．如图1，把一个半径是7cm的圆分成20等份，然后把它剪开，按照图2的形状拼起来，拼成图形的周长是57.96cm．【分析】由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，从而可知这个长方形的周长，据此即可求解．【解答】解：因为将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，所以这个长方形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，即多出了一个直径的长度，3.14×2×7+7×2＝57.96（cm），故答案为：57.96．【点评】本题考查了图形的拼接，解答此题的主要依据是圆的面积推导过程．12．如图，5个边长为1cm的正方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为16cm2．【分析】5个边长为1cm的正方体的表面积之和是30cm2，因为被盖住的面有14个小正方形，其面积之和是14．【解答】解：根据以上分析故露在表面的部分的面积为16cm2．故答案为16．【点评】正方体的表面积＝6×棱长的平方．13．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔的正方体的表面积（含孔内各面）是222．【分析】根据正方体6个外表面的面积、6个内孔内壁的面积和，减去“孔”在外表面的面积即可．【解答】解：由正方体的6个外表面的面积为5×5×6﹣2×6＝138，6个内孔的内壁的面积为4×5×6﹣2×2×6＝96，因此这个有孔的正方体的表面积（含孔内各面）为138+96﹣2×6＝222，故答案为：222．【点评】本题考查正方体的表面积，求出“内孔”的内壁面积是解决问题的关键．14．如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走16个小立方块．【分析】根据表面积不变，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个．【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，最多可以取走16个小正方体，只需留11个：①正中心的3个和四角上各2个，如图所示；②其中一个角3个，其余三个角和中心是2个（图略）．故答案为：16．【点评】此题主要考查了几何体的表面积，熟知几何体表面积的定义以及正方体的表面积公式是解答本题的关键．15．如图，有一次数学活动课上，小颖用10个棱长为1的正方体积木搭成一个几何体，然后她请小华用其他棱长为1的正方体积木在旁边再搭一个几何体，使用小华所搭几何体恰好和小颖所搭几何体拼成一个无空隙的大正方体（不改变小颖所搭几何体的形状）．那么：按照小颖的要求搭几何体，小华至少需要17个正方体积木．按照小颖的要求，小华所搭几何体的表面积最小为48．【分析】最小的大正方体是由小方块组成的3×3×3的大正方体，据此可得小华至少需要27﹣10＝17个正方体积木．根据题意得到题中堆积体的俯视图，并进行标数（地图标数法），即可得出小华所搭几何体的表面积为（8+8+8）×2＝48．【解答】解：由题可知，最小的大正方体是由小方块组成的3×3×3的大正方体，所以按照小颖的要求搭几何体，小华至少需要27﹣10＝17个正方体积木．根据题意得到题中堆积体的俯视图，并进行标数（地图标数法）：上图的俯视图可知，能将其补充为完整的3×3×3的大正方体的剩余部分的俯视图为：由此可得，小华所做堆积体的三视图，主、左、俯三视图面积皆为8，所以小华所搭几何体的表面积为（8+8+8）×2＝48，故答案为：17，48．【点评】本题主要考查了几何体的表面积，由三视图判断几何体的知识，能够确定所搭几何体的形状是解答本题的关键．三．解答题16．将如图几何体分类，并说明理由．【分析】根据立体图形的分类：柱体，锥体，球体，可得答案．【解答】解：根据几何体的概念可得，柱体：①正方体，②长方体，③圆柱体，⑥四棱柱，⑦三棱柱；锥体：④圆锥；球体：⑤球．【点评】本题考查了认识立体图形，立体图形分为三大类：柱体，锥体，球体．17．求各图中阴影部分的面积．（结果用π表示）（1）（2）【分析】（1）由图可知，阴影部分的面积等于边长为10的正方形面积减去半径为5的圆的面积；（2）由图可知，阴影部分的面积等于正方形面积的一半．【解答】解：（1）由题意可得：阴影面积＝（2×5）2﹣π×52＝（100﹣25π）平方分米，答：阴影部分的面积为：（100﹣25π）平方分米；（2）由题意可得：阴影面积＝102÷2＝50平方分米，答：阴影部分的面积为：50平方分米．【点评】本题考查了认识平面图形，根据题目的已知并结合图形分析是解题的关键．18．大小两种长方体纸盒的尺寸如图所示（单位：cm）：（1）制作1个大纸盒和制作2个小纸盒的用料差是多少cm2？（2）当|6﹣2a|+（b﹣2）2＝0时，求（1）问中的用料差．【分析】（1）根据长方体的表面积公式可列式化简得；（2）由非负数的性质可得a＝3，b＝2，再代入（1）中式子求值即可得答案．【解答】解：（1）根据长方体的表面积公式可得：（2×5a×3+2×5a×2b+2×3×2b）﹣2（2×2.5a×b+2×2.5a×4+2×b×4）＝30a+20ab+12b﹣2（5ab+20a+8b）＝﹣10a+10ab﹣4b（cm2）．（2）由题意知：6﹣2a＝0，b﹣2＝0，解得：a＝3，b＝2，故﹣10a+10ab﹣4b＝﹣10×3+10×3×2﹣4×2＝22（cm2）．【点评】本题考查了非负数的性质、长方体的表面积、化简求值．用代数式表示出用料差是关键．19．如图，一个用塑料薄膜制作的蔬菜大棚，长25米，横截面是一个半径为3米的半圆．（1）这个大棚的种植面积是多少平方米？（2）覆盖在这个大棚的塑料薄膜（不计半圆部分）有多少平方米？（π取3.14）（3）大棚内的空间有多少立方米？（π取3.14）【分析】（1）大棚的种植面积即为长方形的面积，代入数据解答即可；（2）根据圆柱的侧面积公式，塑料薄膜的面积即为圆柱侧面积的一半，代入数据解答即可；（3）根据圆柱的体积公式，即可得出答案．【解答】解：（1）25×（3×2）＝150（平方米），答：这个大棚的种植面积是150平方米；（2）2×3.14×3×25÷2＝235.5（平方米），答：覆盖在这个大棚的塑料薄膜为235.5平方米；（3）3.14×32×25×12=353答：大棚内的空间有353.25立方米．【点评】本题主要考查有关图形的体积和面积，掌握圆柱的侧面积公式和体积公式是解题的关键．20．在推导圆的面积计算公式时，是将一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，如图2所示．（注：本题中的π取3.14）（1）若圆的半径为3cm，则拼成的近似长方形的周长比圆的周长多多少厘米？（2）若拼成的近似长方形的周长为33.12cm，则圆的半径为多少？（3）在（2）的条件下，求此圆的面积．【分析】（1）根据圆和矩形的周长公式即可得到即可；（2）设圆的半径为r，根据题意列方程即可得到结论；（3）根据圆的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）拼成的近似长方形的周长比圆的周长多3×2＝6厘米；（2）设圆的半径为r，由题意得，2πr+2r＝33.12，解得：r＝4，答：圆的半径为4cm；（3）此圆的面积＝3.14×42＝50.24（cm2）．【点评】本题考查认识平面图形，图形的拼组及圆的面积公式的推导过程．21．已知一个小正方体的棱长是5cm，要做一个大正方体，使它的体积是小正方体体积的8倍，求这个大正方体的表面积是多少cm2？【分析】设大正方体的棱长为xcm，根据题意得出方程x3＝8×53，求出方程的解即可；求出一个面的面积乘6，即可求出答案．【解答】解：设大正方体的棱长为xcm，依题意，得x3＝8×53＝8×125＝1000，x＝10，6x2＝600∴这个大正方体的表面积是600cm2．【点评】本题考查了几何体的表面积，能根据题意得出关于x的方程是解此题的关键．22．有一根长72米的线，明明想将它绕到一个圆柱形的线轴上，绕了20圈还剩9.2米．（π取3.14）（1）这个圆柱形线轴的直径是多少米？（2）已知（1）直径，圆形面积是多少平方米？【分析】（1）根据圆周长公式可得r=C（2）根据圆的面积公式S＝πr2求解．【解答】解：（1）（72﹣9.2）÷20÷3.14＝1（米）答：这个圆柱形线轴的直径是1米．（2）（1÷2）2×3.14＝0.785m2答：圆形面积是0.785m2．【点评】本题考查圆的周长与面积，解题关键是根据实际问题正确列出算