安徽省亳州市2025届高三年级上册开学摸底大联考数学试题（含答案）

安徽省亳州市2025届高三上学期开学摸底大联考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在复平面内，复数(l+i)4(lT)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2

2.已知集合A={xGW*|X-5X-14<0},B={x\log2(x-2^<2}厕图中阴影部分表示的集合为()

A,{3,4,5}B.{1,2}C.{3,4,5,6}D.{1,2,6}

3.有一组数据，按从小到大排列为：1,2,6,8,9,小，这组数据的40%分位数等于他们的平均数，则M为()

A.9B.10C.11D.12

4.已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周都在同一个体积为与在兀的球面上，该圆柱的侧面积为

()

A.87rB.67rC.57rD.47r

5.已知aC(0,9sin3a=5sinacos2a,则tana值为()

A.A/3B.乎C.孝D.1

6.已知双曲线C:：—y2=i(a>0),点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为4B,若|M2|•

\MB\则双曲线C的离心率为()

A*B.竽C.竽D.V3

7.已知函数/O)的定义域为R,y=/(x)+e”是偶函数，y=f0)-3矿是奇函数，则/'(ln3)的值为()

71011

A.-B.3C.-D.—

8.数列{即}的前71项和为S"满足a„+i-an=dn6{1,3},即=2,则Si0可能的不同取值的个数为()

A.45B.46C.90D.91

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知随机变量X满足：X〜B(4,p),0<p<1,E(X)=/)(X),贝lj()

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241132

A.p=5B.E(X)冶C.E(2X+1)=苓D.D(2X+1)=5

10,设函数fO)=(x-a)2(x-4),定义域为R,若关于x的不等式/(x)>。的解集为{x|*>4或x=1},下列

说法正确的是()

Aj(x)的极大值为0

B.点(2,—2)是曲线y=/(x)的对称中心

C.直线y=9x-4与函数/O)的图象相切

D,若函数f(久)在区间(血,4)上存在最小值，则小的取值范围为(0,3)

11.已知曲线0(/+丫2-2)2=4+8盯，点P(x(),yo)为曲线C上任意一点，则()

A.曲线C的图象由两个圆构成

B.B+就的最大值为2避

C磊|的取值范围为卜力］

D.直线y=x+2与曲线C有且仅有3个交点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量之=(2,3),另=且(2+2石)〃之，则向量刃在向量汇上的投影向量坐标是.

13.已知函数fO)=2sin3x与。(久)=2cos3x(3>0)的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则

14.用n个不同的元素组成6个非空集合(1WTHWTI,每个元素只能使用一次)，不同的组成方案数记作5普,

且当时，11.现有7名同学参加趣味答题活动，参加一次答题，即可随机获得

4BCD四种不同卡片中一张，获得每种卡片的概率相同，若每人仅可参加一次，这7名同学获得卡片后，

可集齐全4种卡片的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在aABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,寝=2sin(C—冷.

(1)求B;

⑵若△2BC的面积为避/C边上的高为1,求△4BC的周长.

16.(本小题12分)

已知椭圆喏+3=l(a>b>0)的左、右焦点为％尸2，离心率为竽，点P为椭圆C上任意一点，且aP

?小2的周长为6+4避.

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(1)求椭圆C的方程；

(2)直线=x+避与直线gy=久—平分别交椭圆C于4B和C,D两点，求四边形力BCD的面积.

17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，AB//CD,^ABC=90°,平面P/W_L平面ABC。，AB=2CD=2BC=4.

(1)证明：PA1BD-

(2)若P4=PD=2,点M为棱2B的中点，求二面角4-PD-M的余弦值.

18.(本小题12分)

已知函数f(x)=x-ln(x—a),a＞0.

(1)若Y=2为函数/(x)的极值点，求a的值；

(2)若不等式刀一/(久)+V9a-4久＜Ina+a-ln2恒成立，求a的取值范围.

19.(本小题12分)

已知数列｛%｝,对于任意的neN*,都有w+an+2＞2即+1，则称数列｛an｝为“凹数列”.

(1)判断数列册=21是否为“凹数列”，请说明理由；

(2)已知等差数列｛d｝,首项为4,公差为d,且｛勺｝为“凹数列”，求d的取值范围；

(3)证明：数列&｝为“凹数列”的充要条件是“对于任意的GN*,当k＜爪＜九时，有果于＜

n—m'

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参考答案

1.5

2.D

3.5

4.2

5.C

6.B

7.0

8.B

9.BCD

10.ABC

11.XC

12.(1，|)

13.晅

4

14匹

1024

15.解：⑴由垩=2sin(C-)得cos/=2cosB(岸sinC-JcosC)①，

由A+B+C=n,得cos/=—cos(B+C)=—cosBcosC+sinBsinf②,

由①②联立，得sinBsinC=避cosBsinC,

由Ce(0,7r),得sinC。0,所以tanB=4，

TT

又由3e(0,71),得B=3；

(2)因为△ABC的面积为避，

所以9x1=避，得b=24，

由*zcsin8=居即加x^=居所以ac=4,

2222

由余弦定理，得按=a+c-2accosB9即12=a+c—ac,

所以(a+c)2=Sac+12=24,可得a+c=2#，

所以△ZBC的周长为a+Z?+c=2+2A/3.

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2a+2c=6+4A/2

222

16.解：⑴由题意知a—b+c

C_2V2'

,a3

解得a=3/=l,c=2避,

则椭圆c的方程为卷+y2=i；

(2)易知四边形4BCD为平行四边形,

设做久1，月)出(久222)，

?=X+避cL

联立直线k与椭圆C：W+v2=i，消去y并整理得5/+9依比+9=0,

Q)

由韦达定理得%1+%2=-斗%1%2=称，

5n

22

\AB\=yjl+k-^/(%1+%2)-4%1%2=-^5,

因为4B与CD平行，所以这两条直线的距离d一封肉=逆,

则平行四边形力BCD的面积S=\AB\-d=看*的=守.

17.解：（1）

证明：因为4B〃CD/ABC=90°,所以/BCD=90。，

所以B。=杷2+CD?=2&■/CBD=45。，所以NAB。=45。，

=BD2+AB2-2BD-AB-cos45°

=8+16-2x2亚X4*¥=8,

所以AB2=B£）2+4。2,所以NADB=90°,即4D1BD,

又因为面PAD1面ABCD,面PADn面4BCD=AD,BDu面ABCD,

所以B。1面PHD,

又因为PAu面PAD,所以BD1PA;

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(2)

解：取力D的中点。，连接P。,“。，

由(1)知4。=2^/2,因为24=PD=2,易知P。1AD.PO=也，

因为“为的中点，。为力。的中点，所以0M=3BD=",OM〃BD,

所以。M1平面PAD,所以。P,OM,OD两两垂直，

以。为坐标原点，。时,0。,。「所在直线分别为居％2轴，建立空间直角坐标系,

则4(0,-aO),P(O,O,#),D(O,#,O),M(#,O,O),

则方=(0,72-72),™=(72,0,-72),

平面APD的法向量为访=(1,0,0),

设平面PDM的法向量为五=(x,y,z),

同伍,匣=(久,%z)•(0,72,-72)="y一招z=0

-PM=(久,y,z).(00,-5)=遂x-⑫z=0，

令z=1,则x=y=l,故元=(1,1,1),

故3而〉=瑞编=专=手

设二面角a-PD-M的大小为仇由图形可知，e为锐角，

故二面角力-PD-M的余弦值为圣

18.解：(1)由题/。)=1—三，故((2)=1—2=0,解得a=L

■XLv乙Cc

1Y—2

此时/(x)=xTn(x-l),故定义域为(1,+8),/(x)=

所以当xe(1,2)时尸(x)<0,x6(2,+8)时,/(%)>0,

所以x=2为函数f(x)的极值点，故a=l.

(2)

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设/t(%)=ln(x-a)+19a-4x,定义域为(内号

h，(x__J__2_/9a-4为一2(%-a)

(划-元―Q19a-4x-(%-a)J9a-4%'

设g(%)=^/9a-4x-2(x-a)(a<x<华)，

所以“(%)=，9。：4比一2<0,所以g(x)在(a,第上单调递减，

又g(a)=J而>0应售)=一：<。，0(%)在(。制上连续，

所以存在%oE(。片)使9(%o)="9。一4%0-2(%()-口)=0,

当%E(a,%o)时，g(%)>0,即“(%)>0,函数九(%)单调递增,

当xE,堂］时，g(x)<0,即厅(%)<0,函数h(x)单调递减，

所以函数/1(%)的最大值为

h(%)max-hQo)=ln(%()-a)+J9a-4/。=ln(%()-a)+2(%()-。)，

因为%-/(%)+49a-4%<Ina+a-ln2恒成立，

即ln(%()—a)+2(%0—a)<In］+2x苴恒成立，

设m(%)=In%+2x(x>0),则租'(%)=+2>0,所以m(%)单调递增,

所以xo—a4,即右三尊恒成立，

因为gO)在(兄竽)上单调递减，且gOo)=o,

所以只需g图wo恒成立，即M-awo,

解得a>3.

故a的取值范围是［3,+co).

19.解：（1）

n?1n+1nn

因为an=2,则即+2-£1?1+1=2+2-2皿+1=2皿+1,an+1-an=2-2=2,

nnn

又2+1>2,故。„+2-即+1>an+i-a”HPan+an+2>2an+1,数列｛2｝是“凹数列

(2)

因为等差数列使„｝的公差为匕/=4,

所以6n=+(71—l)d=4+(n—l)d,

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所以铝+磊>2>号对任意n22,nCN*恒成立，

4+(n—2)d+4+nd74+(n-l)d

即，dZ>zx

n—1n+1n

所以d+生4+d+2=>2缶+—),

n—1n+1n/

12.

即(4-d)(/y+：

n+1rv)>0,

122n22

因