专题04二次函数的图象与性质-2023年中考数学一模试题分项汇编

专题04二次函数的图象与性质一、单选题1．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）将抛物线向上平移3个单位后所得的抛物线解析式是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数关系式变换的平移法则“左加右减，上加下减”可以得出结论．【详解】解：向上平移3个单位，．故选：A．【点睛】本题考查了函数图像的平移问题，理解并会应用平移法则是本题解题的关键．2．（2023·统考一模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内有最大值，a可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的性质可得二次函数图象的对称轴为直线，最小值为，从而得到点关于对称轴的对称点为，即可求解．【详解】解：∵，∴二次函数的图象开口向上，，∴二次函数图象的对称轴为直线，最小值为，当时，，∴点在二次函数图象上，且点关于对称轴的对称点为，∵该函数在的取值范围内有最大值，∴，∴a可能为．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．3．（2023·浙江温州·模拟预测）已知在二次函数的图象上有三点，，，，，且，，则的值为（

）A．正数 B．负数 C．0 D．非负数【答案】B【分析】用待定系数法求出抛物线的解析式，分别求得，，进而可得出答案．【详解】点在二次函数的图象上，，解得，二次函数，且与轴的交点坐标为，，，，，，，即为负数，故选：B．【点睛】本题考查求二次函数解析式和求定值，掌握待定系数法求二次函数的表达式是解题关键．4．（2023·浙江温州·统考一模）若点，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别把点，，代入抛物线解析式进行求解，然后问题可求解．【详解】解：把代入抛物线得：；把代入抛物线得：；把代入抛物线得：；∴；故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．5．（2023·浙江宁波·统考一模）已知二次函数的图象经过点，，在范围内有最大值为，最小值为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把，代入，求出函数解析式，然后结合在范围内有最大值为，最小值为，求出a的临界值即可．【详解】解：把，代入，得，解得，∴，∴抛物线开口向下，当时，y取得最大值4，∵在范围内有最大值为，∴．解，得，∴当时，抛物线在范围内有最大值为，最小值为．故选B．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．6．（2023·浙江温州·统考一模）已知，，三个函数图象都经过，两点，当时，对应的函数值，，，下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别计算得出三个函数的解析式，再求得时，对应的函数值，比较即可得解．【详解】解：将，两点代入，求得，，∴；将，两点代入，求得，，∴，将，代入，求得，∴，当时，，，，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，求函数的值，准确计算是解题的关键．7．（2023·浙江温州·统考一模）已知点，，是二次函数上的点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴，然后比较三个点离对称轴的远近得到a、b、c的大小关系．【详解】解：二次函数的对称轴为直线，∵点，，是二次函数上，∴点C离最远，点B离最近，且抛物线开口向下，∴．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．8．（2023·浙江温州·统考一模）已知，，是抛物线上的三点，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出该抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的增减性，即可求解．【详解】解：，∴该抛物线的对称轴为直线，∵，∴抛物线开口向上，∵，∴．故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）关于抛物线的判断，下列说法正确的是（

）．A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线C．在抛物线对称轴左侧，随增大而减小D．抛物线顶点到轴的距离是2【答案】D【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】解：由抛物线可知：，开口向下，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，当时，，所以顶点坐标为，故抛物线顶点到x轴的距离是2；综上所述只有D选项正确；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10．（2023·浙江温州·校考一模）已知点，，，在二次函数的图象上，当，满足时，均有，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线解析式求出抛物线对称轴，并根据当，满足时，均有，得出抛物线对称轴在直线的左侧或与直线重合，且当时，然后解不等式组即可．【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，时，均有，二次函数的对称轴在直线的左侧或与直线重合，且当时，即，且，由得，由得，．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出，和对称轴的位置．11．（2023·浙江·模拟预测）已知点两点均在二次函数的图像上，则b的值为（）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】由A、B坐标可知A、B关于对称轴对称，结合二次函数对称轴公式进行求解即可．【详解】解：∵点两点均在二次函数的图像上，∴抛物线的对称轴为直线，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，正确判断出A、B关于对称轴对称是解题的关键．12．（2023·浙江宁波·校考一模）已知二次函数的图象经过点，，，，若，则下列表达式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数图象的对称性，可得二次函数的图象的对称轴为直线，然后分两种情况：当时，当时，结合二次函数的性质，即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，∴二次函数的图象的对称轴为直线，当时，∵，∴，即，此时；当时，∵，∴，即，此时；综上所述，若，则．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数的图象的对称轴为直线是解题的关键．13．（2023·浙江宁波·校考一模）二次函数中当时y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的性质，结合当时y随x的增大而增大，列出关于b的不等式，解不等式即可．【详解】解：∵当时y随x的增大而增大，∴，解得：，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质，列出关于b的不等式．14．（2023·浙江宁波·统考一模）点A（m1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．【详解】解：∵点A（m1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x1）2+n的图象上，∴y1=（m11）2+n=（m2）2+n，y2=（m1）2+n，∵y1＜y2，∴（m2）2+n＜（m1）2+n，∴（m2）2（m1）2＜0，即2m+3＜0，∴m＞，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．15．（2023·浙江杭州·统考一模）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图像与x轴有M个交点，函数的图像与x轴有N个交点，则（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】先根据函数的图像与x轴有M个交点解得，再对a，b分情况讨论，求得答案．【详解】对于函数，当时，函数与x轴两交点为（－a，0）、（－b，0），∵，所以有2个交点，故对于函数①，交点为，此时②，交点为，此时③，交点为，此时综上所述，或故选C．【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，解题的关键是分情况讨论a，b．16．（2023·浙江衢州·统考一模）已知二次函数，当时，y的最大值为，则a的值为（

）A．或6 B．0或6 C．或2 D．2或6【答案】A【分析】根据题意易得二次函数的对称轴为直线，分类讨论，根据二次函数的增减性可进行求解．【详解】解:由二次函数可知对称轴为直线，开口向下∴当时，y有最大值1；∵当时，y的最大值为∴当时，二次函数在上y随x的增大而减小，即当时，有最大值；则有，解得或（不符合题意，舍去)；当时，二次函数在上y随x的增大而增大,即当时，有最大值；则有，解得:或（不符合题意，舍去)；综上所述:a的值为或6；故选：A【点睛】本题主要考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数图像性质是解题的关键．17．（2023·浙江温州·统考一模）已知抛物线经过点，将点A先向右平移3个单位，再向下平移b个单位恰好落在抛物线的最低点处，则b的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】D【分析】求出抛物线的对称轴，根据点A先向右平移3个单位，再向下平移b个单位恰好落在抛物线的最低点处，求出的值，进而求出顶点坐标和点坐标，即可得解．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线：，∵将点A先向右平移3个单位，再向下平移b个单位恰好落在抛物线的最低点处，∴，∴，∴顶点坐标为：，当时，，∴，∴；故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握点的平移规则，左减右加，上加下减，是解题的关键．18．（2023·浙江宁波·校考一模）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）其中正确结论有（

）个A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①；根据图象判断时，函数值的符号，判断②；根据对称性，判断时，函数值的符号，判断③；结合对称轴和特殊点判断④；根据二次函数图像的顶点判断⑤，进而得出结论．【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，∴，，，∴，∴；故①错误；由图象可知：当时，对应的函数值小于0，即：，∴；故②正确；∵抛物线的对称轴为直线，∴和的函数值相同，即：，∵，∴；故③正确；∵，，∴，∴，即：；故④错误；∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，函数取得最大值为，∴，∴；故⑤正确；综上：正确的有个；故选B．【点睛】本题考查二次函数图象与二次函数解析式的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．19．（2023·浙江杭州·校联考一模）已知二次函数，与的部分对应值为：x…21012…y…1232？…关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（

）A．当时，函数图象从左到右上升 B．抛物线开口向上C．方程的一个根在与之间 D．当时，【答案】C【分析】根据表格数据知道函数图象关于对称，顶点为，所以图象的开口向下，则可以判断选项A、B、D错误；根据图像与轴的交点，即可判断C选项正确．【详解】和时的函数值相同，都是2，抛物线的对称轴为，抛物线的顶点为，是函数最大值，抛物线的开口向下，故B选项错误；当时，随的增大而减小，即函数图象从左到右下降，故A选项错误；时，，时，，方程的一个根在与之间，故C选项正确；函数图象关于对称，

与的值相等，时，，故D选项错误．故答案选C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．20．（2023·浙江·模拟预测）如图，二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，则下列说法①；②；③若是抛物线上的两点，则；④正确的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，，再由对称轴为直线得到，即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，即可判断③；根据二次函数的性质可知当时，函数有最大值，即可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴，∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴，故①正确；由函数图象可知，当时，，∴，故②正确；∵抛物线开口向下，∴离对称轴越远函数值越小，∵，∴，故③错误；∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，函数有最大值，∴，∴，故④正确；故选C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等等，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型．二、填空题21．（2023·统考一模）已知二次函数的图象与x轴恰有一个交点，且过点和点，则______．【答案】【分析】根据二次函数的图象与x轴恰有一个交点，可得，再由二次函数的轴对称性可得，从而得到，，再把代入解析式可得，然后代入结合完全平方公式计算，即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象与x轴恰有一个交点，∴，即，∵二次函数的图象过点和点，∴，解得：，∴，∴二次函数的解析式为，当时，，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是得到，，灵活利用完全平方公式计算是解题的关键．22．（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，则__________．（选择“”、“”、“”填空）【答案】【分析】通过作差法判断与得大小即可．【详解】整理得故答案为“”．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标的特点、整式的混合运算等知识点，熟练掌握作差法是解答本题的关键．23．（2023·浙江杭州·统考一模）已知二次函数．当时，y的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则m的值是____．【答案】或【分析】根据二次函数的性质可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分三种情况讨论：若，该函数图象过点，；若，该函数图象过点，；若，即可求解．【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线，∵该二次函数的对称轴为，∴，∵，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，∵当时，y的取值范围是，若，该函数图象过点，，∴，解得：，此时（舍去）；若，该函数图象过点，，∴，解得：，此时（舍去）；若，当时，此时，当时，，且该函数图象过点，∴，解得：或，此时（舍去）或；当时，此时，当时，，该函数图象过点，∴，解得：或，此时（舍去）或；综上所述，m的值是为或．故答案为：或【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．24．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）请你写出一个顶点在x轴上的二次函数表达式________.【答案】y=x2（答案不唯一）【详解】解：答案不唯一，如：．故答案为（答案不唯一）．25．（2023·浙江台州·统考一模）若二次函数的图象经过点，，，且，则下列结论：①；②；③；④中，一定成立的有____________．（填序号）【答案】①②④【分析】由，可知对称轴为直线由可知开口向上，时，随增大而增大，根据已知条件可得根据对称轴为直线可知与的一个交点在和之间，与的另一个交点在和之间，即可得出，，即可得出结论．【详解】解：∴对称轴为直线∴开口向上，时，随增大而增大，的图象经过点，，故①一定成立，∴与的一个交点在和之间，∵对称轴为∴与的另一个交点在和之间，的图象经过点，或故②③一定成立，∴综上所述，一定成立的有①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．26．（2023·浙江杭州·校联考一模）已知二次函数，当时，y的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则m的取值范围是________．【答案】或【分析】根据二次函数的性质可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分三种情况讨论：若，该函数图象过点，；若，该函数图象过点，；若，即可求解．【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线，∵该二次函数的对称轴为，∴，∵，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，∵当时，y的取值范围是，若，该函数图象过点，，∴，解得：，此时（舍去）；若，该函数图象过点，，∴，解得：，此时（舍去）；若，当时，此时，当时，，且该函数图象过点，∴，解得：或，此时（舍去）或；当时，此时，当时，，该函数图象过点，∴，解得：或，此时（舍去）或；综上所述，m的值是为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．27．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若点，在抛物线上，，且，则；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是_________（填写序号）．【答案】①③④【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（xm）（x+1）1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．【详解】解：抛物线过，两点，且，，

，，即，抛物线开口向下，，，故①正确；若，则，，，故②不正确；抛物线，点，在抛物线上，∴，，把两个等式相减，整理得，，，，，，，故③正确；依题意，将方程写成a（xm）（x+1）1=0，整理，得，，，，，，，

故④正确．综上所述，①③④正确．故答案为；①③④．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．三、解答题28．（2023·浙江金华·统考一模）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式．(2)点是抛物线上不同的两点．①若，求之间的数量关系．②若，求的最小值．【答案】(1)(2)①；②最小值为【分析】（1）将A，B两点代入解析式解得即可；（2）①若，则，化简即可得到的关系；②代入化简成顶点式即可得到最小值．【详解】（1）抛物线与x轴相交于点解得；（2）①点是抛物线上不同的两点．若，则．；②==，当=1时，的最小值为2．【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．29．（2023·浙江宁波·校考一模）已知抛物线的对称轴为．(1)求的值；(2)若当时，抛物线与轴有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据对称轴公式进行解答；（2）①当时，抛物线与x轴只有一个交点；②当时，抛物线与轴有且只有一个交点，则当时，当时，解不等式组即可．【详解】（1）解：∵对称轴为．∴，解得；（2）由（1）得，①∵抛物线与轴有且只有一个交点，∴，解得；②当时，抛物线与轴有且只有一个交点，∴，解得∴的取值范围是或【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，关键是综合应用二次函数的性质解题．30．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，已知点，在二次函数的图象上，图象经过点且．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若，求顶点到直线的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）把点（3，1）代入二次函数的解析式求出a即可；（2）判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论；【详解】（1）解：将点代入中，，解得∶，二次函数的表达式为：；（2）解：∵，∴二次函数图象的解析式为直线，顶点坐标为，∵∴点M，N关于对称轴对称，∴又，∴，，，即直线为：，又二次函数的顶点坐标为，顶点到的距离为．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．31．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，已知二次函数的图像经过点，点．(1)求二次函数的表达式和顶点坐标．(2)点在该二次函数图像上，当时，求n的值．(3)已知，，若将该二次函数的图像向上平移个单位后与线段有交点，请结合图像，直接写出k的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）将点，代入，求出a和b的值，即可解答；（2）把代入二次函数表达式，即可求解；（3）分别求出抛物线与线段有一个交点和两个交点时k的值即可得到k的取值范围．【详解】（1）解：将点，代入得，解得，∴二次函数解析式为，∴二次函数的顶点坐标为．（2）解：把点代入得：，∵，∴．（3）解：∵，，∴线段轴，其中点坐标为，①若原抛物线向上平移k个单位，与线段只有一个公共点时，如图，此时，；②若原抛物线向上平移k个单位，与线段有两个公共点时，且恰好为A、B两点，如图，设此时抛物线的解析式为，把或代入，求得，，∴，综上所述，将该二次函数的图像向上平移个单位后与线段有交点，k的取值范围为．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．32．（2023·浙江宁波·统考一模）对于抛物线．(1)若抛物线过点，①求顶点坐标；②当时，直接写出的取值范围为_______；(2)已知当时，，求和的值．【答案】(1)①；②(2)，【分析】（1）①先利用待定系数法确定抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式即可得出答案；②先确定抛物线的对称轴为直线，，再确定当时，，当时，，比较函数值的大小即可得出答案；（2）先确定抛物线与轴交点坐标为，而当时，，从而可得出，利用顶点纵坐标公式可求出，此时当时，可得，建立方程解之即可．【详解】（1）解：①∵抛物线过点，∴，解得：，∴，∴顶点坐标为；②∵抛物线的对称轴为直线，当时，，当时，，当时，，当时，的取值范围为．故答案为：．（2）∵抛物线当时，，∴抛物线与轴交于点，∵当时，，∴抛物线经历先下降再上升的过程，∴，解得：或（舍去），∴，．【点睛】考查二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，掌握二次函数的性质是解题的关键．33．（2023·浙江温州·统考一模）已知抛物线．(1)若抛物线与y轴的交点为，求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点．若点，在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值．【答案】(1)；；(2)；1．【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式，再将其化为顶点式即可得到顶点坐标；（2）根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，得到，再根据与x轴有交点，利用一元二次方程根的判别式，解得，然后利用抛物线上对称点与对称轴的关系，求出，即可得到m的最大值．【详解】（1）解：抛物线与y轴的交点为，，抛物线的函数表达式为，，顶点坐标为；（2）解：抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，，抛物线与x轴有交点，有实数解，，由图像法解一元二次不等式，得：或（舍），c的取值范围为，抛物线，对称轴为，点，在抛物线上，，，，m的最大值为1．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握二次函数的性质，以及二次函数与一元二次方程的联系是解题关键．34．（2023·浙江宁波·统考二模）如图，已知二次函数的图象经过点，点．(1)求二次函数的表达式和顶点坐标．(2)点在该二次函数图象上，当时，求的值．(3)已知，若将该二次函数的图象向上平移个单位后与线段有交点，请结合图象，直接写出的取值范围．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）把点，点代入得方程组，求出的值可得函数解析式，再把函数关系式化为顶点式即可得到顶点坐标；（2）把代入函数关系式即可求出n的值；（3）分别求出抛物线与线段有一个交点和两个交点时k的值即可得到k的取值范围【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，点，∴把点，点分别代入得，，解得，，∴二次函数的解析式为：；又，∴抛物线的顶点坐标为：；（2）∵点在该二次函数图象上，∴当时，；（3）∵，∴线段轴，其中点坐标为①若原抛物线向上平移k个单位，与线段只有一个公共点时，如图，此时，；②若原抛物线向上平移k个单位，与线段只有一个公共点时，且恰好为A、B两点，如图，设此时抛物线的解析式为，把或代入，求得，，∴综上所述，将该二次函数的图象向上平移个单位后与线段有交点，的取值范围为．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用数形结合是解答本题的关键35．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．(1)求a的值．(2)向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可；（2）将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【详解】（1）解：由二次函数（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是和，∵对称轴为直线，∴，解得；（2）解：由（1）知，，则该抛物线解析式是：，即，∴抛物线向上平移3个单位后经过原点，∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．36．（2023·浙江温州·统考一模）如图，已知点C为二次函数的顶点，点为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图像于点A，B（点A在点B的左侧）.点M在射线上，且满足.过点M作交抛物线于点N，记点N的纵坐标为.(1)求顶点C的坐标.(2)①若，求MB的值.②当时，求的取值范围.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）将二次函数解析式化成顶点式即可解答；（2）①当时，令，，解得，，即点的横坐标为，即可求得，再根据可得，最后根据即可解答；②由题意可得，即，然后再根据二次函数的性质求得最大值和最小值即可解答.【详解】（1）解：，顶点的坐标为.（2）解：①当时，令，，解得，，即点的横坐标为∴，∵∴∴.②，.当时，的最小值为.当时，的最大值为6..【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键.37．（2023·浙江温州·统考一模）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点．(1)求的值及点的坐标．(2)将该抛物线向右平移个单位长度后，与轴交于点，且点的对应点为，若，求的值．【答案】(1)，点的坐标为(2)【分析】（1）将代入抛物线中，求得，再求当时，求得即可得点的坐标；（2）根据平移得点的对应点为的坐标，平移后抛物线的解析为，求得点的坐标，再根据，建立方程即可求得的值．【详解】（1）解：将代入抛物线中，得：，解得：，即：抛物线为：，当时，，∴点的坐标为；（2）∵抛物线向右平移个单位长度，与轴交于点，且点的对应点为，∴平移后抛物线，，当时，，则∵，∴，整理得解得：或（舍去）∴．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，会求函数平移后的解析式是解题的关键．38．（2023·浙江舟山·统考一模）已知二次函数．(1)若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式；并根据图象直接写出函数值时自变量x的取值范围；(2)在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值．(3)已知，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证．【答案】(1)，当时，；(2)2或8；(3)见解析．【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，画出函数图象，结合图象可求解；（2）分两种情况：①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：，由平移个单位可知：，计算点A和B的坐标可得的长，从而得结论．②当C在B的右侧时，同理可得结论；（3）由，得，容易得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证结论．【详解】（1）解：由题意可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；画出函数图象，如图，当时，，解得，，由图象可得：当时，；（2）当时，，，，，∴，，∴，①如图，当C在B的左侧时，∵B，C是线段的三等分点，∴，由题意得：,∴，∴，②同理，