21.7列方程（组）解应用题（分层作业）（3种题型基础练提升练）

21.7列方程（组）解应用题（3种题型基础练+提升练）题型一：．一元二次方程的应用1．（2023秋•黄浦区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．问当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】设每件商品应降价元，则每件商品的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据每天的销售利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每件商品盈利不少于25元，即可确定的值．【解答】解：设每件商品应降价元，则每件商品的销售利润为元，平均每天的销售量为件，依题意得：，整理得：，解得：，．要求每件盈利不少于25元，应舍去，故为所求．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2023春•长宁区校级月考）某商店以每件20元的价格购进一批文具盒，然后以每只30元的价格出售，结果每周可以售出400只，后来经过市场调查发现：当单价每提高0.5元，每周销售量会少10只，如果某一周销售这种文具盒的总利润是4500元，那么这周每只文具盒的售价为多少元？【分析】设这周每只文具盒的售价为元，则每只文具盒的利润为元，销量为只，根据总利润是4500元列出方程，即可求解．【解答】解：设这周每只文具盒的售价为元，由题意知：，整理得，解得，即这周每只文具盒的售价为35元．【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．题型二：二元二次方程组的应用1．（2023春·八年级单元测试）某商场计划销售一批运动衣，能获得利润12000元，经过市场调查后，进行促销活动，由于降低售价，每套运动衣少获利润10元，但可多销售400套，结果总利润比计划多4000元，求实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润是多少元？设原计划销售运动衣套，原计划每套运动衣的利润是元，可列方程组为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题的等量关系为：计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利元；那么可列出方程组求解．【详解】解：设原计划销售运动衣x套，每套运动衣的原计划利润为y元．根据题意得：故选B．【点睛】本题考查的是二元二次方程组的应用，理解题意，确定相等关系列出方程组是解本题的关键．题型三：分式方程的应用1．（2023下·上海·八年级专题练习）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了分式方程的实际应用．设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，根据工作时间工作总量工作效率，结合提前30天完成任务，即可得出关于x的分式方程．【详解】解：设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则原计划每天绿化的面积万平方米，依题意得：即．故选：C．2．（2022春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建250米，结果提前2天完成工程，设实际每天修建盲道x米，根据题意可得方程（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题属于工程问题，未知量是工作效率：实际每天修建盲道x米．题目告诉了工作总量：3000米，那么根据工作时间来列等量关系．等量关系为：原计划工作时间现在工作时间=2天，据此列出方程．【详解】解：实际每天修建盲道x米，则原计划每天修米．由题意，知原计划用的时间为天，实际用的时间为：天，故所列方程为：．故选A．【点睛】本题考查用分式方程解决工程问题，工程问题的基本关系式为：工作时间工作总量工作效率．找到关键描述语，得到等量关系是解决问题的关键．3．（2023春•杨浦区期末）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？【分析】设甲计划每年缴纳养老保险金万元，则乙计划每年缴纳养老保险金万元，根据甲计划缴纳养老保险金的年数比乙要多4年，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设甲计划每年缴纳养老保险金万元，则乙计划每年缴纳养老保险金万元，根据题意得：，整理得：，解得：，，经检验，，均为所列方程的解，不符合题意，舍去，符合题意．答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．4．（2023春•松江区期末）松江区于4月22日，举办“”上海余山半程马拉松比赛．主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由厂家完成．已知厂家要在规定的天数内生产3600对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求厂家在原计划基础上增加的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20对，求原计划每天生产多少对护膝．【分析】设原计划每天生产对护膝，实际每天生产对护膝，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比计划提前3天完成，可列出关于的分式方程，解答检验即可．【解答】解：设原计划每天生产对护膝，则实际每天生产对护膝，根据题意，可列方程，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），经检验，当时，，是原方程的解，答：原计划每天生产100对护膝．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．5．（2023春•浦东新区校级期末）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校10千米的郊野公园．已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了15分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？【分析】设乙平均每小时骑行千米，则甲平均每小时骑行千米，根据题意可得，同样20千米的距离，乙比甲多走30分钟，据此列方程求解．【解答】解：设乙平均每小时骑行千米，则甲平均每小时骑行千米，由题意得，，解得：，，经检验：，都是原方程的根，但，不符合题意，故舍去，则甲平均每小时骑行千米．答：甲平均每小时骑行10千米，乙平均每小时骑行8千米．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．一、填空题1．（2023下·上海·八年级专题练习）甲乙两人加工一批零件，甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成，如果甲乙两人一起加工，6天可加工完，如设甲、乙两人单独加工完成这批零件各需x天．y天可列方程组为．【答案】【分析】根据“甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成”得到第一个等量关系；根据“如果甲乙两人一起加工，6天可加工完”得到第二个等量关系，据此列出方程组即可．【详解】解：由题意，得，故答案为：．【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，工程问题中常用的关系式有：工作时间=工作总量÷工作效率．2．（2023下·上海·八年级期中）某工人要完成个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工个零件，加工个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，设原计划每分钟加工个零件，则可列方程为：．【答案】【分析】根据题意可知：用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，即可列出相应的分式方程．【详解】解：由题意可得：，故答案为：．【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．二、解答题3．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）某水果超市用1000元批发了一批单价相同的香蕉，在运输过程中有20斤因受损变质丢掉，其余每斤加价1.5元出售，这批香蕉售完后，共赚680元．问这批香蕉的批发价是每斤多少元？【答案】这批香蕉的批发价是每斤2元．【分析】设这批香蕉的批发价是每斤x元，共有斤，依题意列分式方程即可求解．【详解】解：设这批香蕉的批发价是每斤x元，共有斤，依题意得：()(x+1.5)=1000+680，整理得：2x2+71x150=0，解得x=2，或x=75（舍去）经检验，x=2是方程的解，且符合题意，答：这批香蕉的批发价是每斤2元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．4．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期中）某汽车装配厂计划在规定的时限内组装汽车21辆，组装了6辆后，又追加了组装5辆的订单，要求交货时间不超过原来规定的期限，通过改革，提高工效，平均每天比原计划多组装2辆汽车，结果恰好提前一天交货．问：追加订单后，平均每天组装多少辆汽车？【答案】5【分析】利用计划的天数与实际完成的天数之间的关系建立分式方程求解即可．【详解】解：设原计划平均每天组装x辆汽车，，解得：（舍），经检验，当时，，∴是该分式方程的解，∴，∴追加订单后，平均每天组装5辆汽车．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题关键是找到相等关系建立分式方程，注意解分式方程后需要检验．5．（2022春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）为了响应市政府节能减排的号召，某厂制作甲、乙两种环保袋．已知制成一个甲环保袋比制成一个乙环保袋需要多用米的材料，且同样用米材料制成甲环保袋的个数比制成乙环保袋的个数少个．求制作每个甲环保袋用多少米材料？【答案】制作每个甲环保袋用0.6米材料【分析】设制作每个甲环保袋用x米材料，则制作每个乙环保袋需用(x0.1)

米材料，根据生产数量=材料总量制作每个所用材料结合同样用6米的材料制成甲环保袋的个数比制成乙环保袋的个数少2个，即可得出关于x的分式方程，解分式方程，经检验后即可得出结论．【详解】解：设制作每个甲环保袋用x米材料，则制作每个乙环保袋用(x0.1)米材料，由题意得：，解得：，，经检验：，都是原方程的根，但不合题意，舍去．答：制作每个甲环保袋用0.6米材料．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6．（2022春·上海·八年级上海市浦东外国语学校东校校考期中）某商店第一次用600元购进某种型号的水笔若干支，第二次又用600元购进该款水笔但每支水笔的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支．问第一次每支水笔的进价为多少元？【答案】4元【分析】设第一次每支水笔的进价为x元，则第二次每支水笔的进价为（x+1）元，根据数量=总价÷单价，结合第二次比第一次收购进30支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设第一次每支水笔的进价为x元，则第二次每支水笔的进价为（x+1）元，依题意得：，整理得：x2+x20=0，解得：x1=4，x2=5，经检验，x1=4，x2=5是原方程的解，x1=4符合题意，x2=5不符合题意，舍去．答：第一次每支水笔的进价为4元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．7．（2022春·上海·八年级期末）为响应国家号召，全体公民接种疫苗，提高对“新冠”病毒的免疫功能．现某大型社区有6000人需要接种疫苗，为了尽快完成该项任务，防疫部门除固定接种点外还增加了一辆流动疫苗接种车，实际每日接种人数比原计划多了250人，结果提前了2天完成全部接种任务．求原计划每天接种人数是多少？【答案】750人【分析】设原计划每天接种人数为x人，则实际每日接种人数为（x+250）人，由题意：现某大型社区有6000人需要接种疫苗，实际每日接种人数比原计划多了250人，结果提前了2天完成全部接种任务，列出方程，解方程即可．【详解】解：设原计划每天接种人数为x人，则实际每日接种人数为（x+250）人，由题意得：，解得：x=750或x=1000（舍去），经检验，x=750是原方程的解，且符合题意，答：原计划每天接种人数为750人．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的解法，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．8．（2022春·上海长宁·八年级上海市民办新世纪中学校考期末）某西红花种植基地需要种植5000株西红花．最初采用人工种植，种植了2000株后，为提高效率，采用机械化种植，机械化种植比人工种植每小时多种植50株，结果比原计划提前30小时完成任务．求人工种植每小时种多少株西红花？【答案】50株【分析】设人工种植每小时种株西红花，则机械化种植每小时种株西红花，由题意：需要种植5000株西红花．最初采用人工种植，种植了2000株后，为提高效率，采用机械化种植，机械化种植比人工种植每小时多种植50株，结果比原计划提前30小时完成任务，列出方程，解方程即可．【详解】解：设人工种植每小时种株西红花，则机械化种植每小时种株西红花，由题意得：，解得：或（不合题意舍去），经检验，是原方程的解，且符合题意，答：人工种植每小时种50株西红花．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的解法，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式方程．9．（2022春·上海·八年级校考期中）学校组织八年级部分学生乘坐甲、乙两辆大客车到洋山深水港参观，已知连接临港新城和深水港的东海大桥全长30千米，假设两车都匀速行驶，甲车比乙车早6分钟上桥，但由于乙车每小时比甲车多行10千米，所以甲、乙两车同时下桥，求甲车的速度．【答案】甲车的速度为50km/h【分析】设甲车的速度的速度为，则乙车的速度为，根据甲的时间=乙的时间+，列方程即可解决．【详解】解：设甲车的速度的速度为，则乙车的速度为.由题意：，整理得，，解得或60，经检验：或60都是分式方程的解，但是不符合实际意义，所以，答：甲车的速度为50km/h．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，找等量关系是解应用题的关键，注意解分式方程时必须检验，列方程时注意时间单位是小时，属于常考题型．10．（2022春·上海嘉定·八年级统考期中）某化工厂生产化工原料120吨，采用新技术后每天多生产化工原料3吨，因此提前2天完成，则原计划每天生产多少吨原料？【答案】原计划每天生产12吨原料【分析】设原计划每天生产x吨原料，则采用新技术后每天生产（x+3）吨原料，根据题意列出方程，进行求解即可．【详解】解：设原计划每天生产x吨原料，则采用新技术后每天生产（x+3）吨原料由题意，得=2解得x1=12，x2=15（舍去）经检验：x=12是原分式方程的解答：原计划每天生产12吨原料．【点睛】本题考查分式方程的实际问题，读懂题意，找到等量关系式是解决问题的关键，注意分式方程要检验并注意解符合实际情况．11．（2022春·上海·八年级期末）闵行区政府为提高道路的绿化率，在道路两边进行植工程，计划第一期先栽种棵梧桐树.为了加快进度，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多棵，结果提前天完成任务．求实际每天栽种多少棵梧桐树？【答案】实际每天栽种棵梧桐树．【分析】设实际每天栽种x棵梧桐树，则原计划每天栽种（x200）棵梧桐树，由题意：栽种1500棵梧桐树，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多200棵，结果提前2天完成任务，列出方程，解方程即可．【详解】解：设实际每天栽种棵梧桐树米.根据题意，得.化简得.解得，.经检验：，是原方程的根，不合题意，舍去.原方程的根为，且符合题意.答：实际每天栽种棵梧桐树.【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的解法，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式方程．12．（2022春·上海·八年级校考期中）2021年5月22日，“祝融号”火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测工作．着陆点附近的火星表面照片显示，最佳探测路线有两条，西线地势平坦，行程米，东线地势稍有起伏，行程米，走西线比走东线多用小时，走西线的速度比走东线的速度每小时快米．同时，为了确保安全，火星车的速度要小于米/小时，问走东线、走西线的速度各是多少？【答案】东线米/小时，西线米/小时．【分析】设走东线的速度为x米/小时，则走西线的速度为（x+60）米/小时，根据时间=距离÷速度可列分式方程，解方程并检验即可得走东线的速度，进而可得走西线的速度．【详解】设走东线的速度为x米/小时，∵走西线的速度比走东线的速度每小时快米，∴走西线的速度为（x+60）米/小时，∵走西线比走东线多用小时，∴，解得：，，∵火星车的速度要小于米/小时，∴，经检验：是分式方程的解，∴x+60=90，答：走东线、走西线的速度分别为30米/小时，90米/小时．【点睛】本题考查分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．注意：分式方程要验根，避免出现增根．13．（2022春·上海·八年级期中）2016年上海为实行轨道交通19号线开通，某工程队承担了铺设一段长3千米的地铁轨道的光荣任务，铺设600米后，该工程队改进技术，每天比原来多铺设10米，结果共用了80天完成任务，试问：该工程队改进技术后每天铺设轨道多少米？【答案】40米【分析】设该工程队改进技术后每天铺设轨道x米，则改进技术前每天铺设轨道（x﹣10）米，由题意：铺设了600米后，该工程队改进技术，每天比原来多铺设10米，结果共用了80天完成任务，可得到时间的分式方程，解方程即可得该工程队改进技术后铺设轨道的速度．【详解】解：设该工程队改进技术后每天铺设轨道x米，则改进技术前每天铺设轨道（x﹣10）米，根据题意，得，整理，得2x2﹣95x＋600＝0解得：x1＝40，x2＝7.5经检验：x1＝40，x2＝7.5都是原方程的根，但x2＝7.5不符合实际意义，舍去；∴x＝40，答：该工程队改进技术后每天铺设轨道40米．【点睛】本题主要考查了分式方程在工程问题中的运用，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．14．（2023下·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲、乙两店各进货多少箱饮料？【答案】甲、乙两店各进货箱和箱【分析】设甲店进货x箱，乙店进货箱，根据“甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元”列出方程解题即可．【详解】解：设甲店进货x箱，乙店进货箱，列方程得：，解得：或（舍去），经检验：是原方程的解，∴乙店进货（箱）答：甲、乙两店各进货箱和箱．【点睛】本题考查分式方程解应用题，注意分式方程需要验根，解题的关键是分析题意出列方程．15．（2023下·上海杨浦·八年级统考期末）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？【答案】甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元【分析】设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为万元，根据：甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，即可列出方程，解方程并检验后即得答案．【详解】解：设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为万元，根据题意可得：，解这个方程，得，经检验，都是原方程的根，但是当时，甲计划缴纳养老保险金的年数是年，超过了20年，不合题意，应舍去，万元；答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．16．（2023下·上海杨浦·八年级校考期中）小正同学带着48元钱去水果店买水果，看到水果店里的苹果比梨每千克贵2元，数学能手小正同学发现：如果将48元全部买苹果就比将48元全部买梨少4千克，最后，小正同学用42元买了这两种水果，且两者的千克数相同．(1)这家水果店的苹果和梨每千克的价格各是多少元？(2)小正同学最终买了多少千克的水果？【答案】(1)苹果每千克的价格是6元；梨每千克的价格是4元(2)最终购买了千克水果【分析】（1）设这家水果店的苹果每千克的价格是x元，则梨每千克为元，根据等量关系：48元全部买苹果就比将48元全部买梨少4千克，列出分式方程求解即可；（2）设梨和苹果各买了y千克，由题意列出一元一次方程，求解即可．【详解】（1）解：设这家水果店的苹果每千克的价格是x元，则梨每千克为元，根据题意得：，解方程得：，，经检验，、都是原方程的解，但不符合题意，故舍去，∴（元）；答：这家水果店的苹果和梨每千克的价格分别是6元与4元；（2）解：设梨和苹果各买了y千克，由题意得：，解得：，∴（千克），答：最终购买了千克水果．【点睛】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程是关键．注意分式方程要检验．17．（2023下·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？【答案】乙流水线成本较小，因为甲流水线成本18万元，乙流水线成本16万元【分析】设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，再根据“甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天”求得甲、乙每天的生产量，再分别求出甲、乙的生产成本，最后比较即可解答．【详解】解：设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，则，解得：或经检验：是分式方程的根，且符合题意；不符合题意舍去，则乙