专题05定角定高（专项训练）

专题05定角定高（专项训练）1．（2020•雁塔区校级二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是．【答案】4【解答】解：将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线，∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，∠EAF＝60°，AE＝AE，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2，作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N，∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x，∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2，∴S△AEF＝EF•AK＝＝2x≥4，∴△AEF面积的最小值是4．2．（2020春•和平区期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，∠EAF＝45°，△AEF面积的最小值．【答案】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EH⊥AF于H，AN⊥CD，交CD的延长线于N，∵∠B＝60°，AM⊥BC，∴∠BAM＝30°，∴BM＝3，AM＝3，∵∠ADC＝120°，∴∠ADN＝60°，∴∠NAD＝30°，∴DN＝AD＝，AN＝，∵∠BAD＝135°，∠EAF＝45°，∠BAM＝30°，∴∠MAE+∠DAF＝60°，又∵∠ADN＝∠DAF+∠DFA＝60°，∴∠MAE＝∠AFD，又∵∠AME＝∠N＝90°，∴△AFN∽△EAM，∴，设ME＝x，则AE＝＝，∴AF＝＝，∵∠EAF＝45°，HE⊥AF，∴HE＝AE＝×，∴△AEF面积＝×AF×HE＝×（）＝×（），∵当a，b为正数时，（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，∴△AEF面积＝×（）≥×2×，∴△AEF面积的最小值为，故答案为．3．【问题提出】（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，AD⊥l于点D且AD＝4，∠BAC＝45°．求BC的最小值；【问题探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝2，点E，F分别为AB，AD上的点，且CE⊥CF，求四边形AECF面积的最大值；【问题解决】（3）如图③，某园林对一块矩形花圃ABCD进行区域划分，点K为BC的中点，点M，N分别为AB，DC上的点，且∠MKN＝120°，MK，KN将花圃分为三个区域．已知AB＝7m，BC＝12m，现计划在△BMK和△CNK中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值．【解答】解：（1）如图①中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，则∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝BC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°设OA＝OB＝OC＝r，则OE＝r，BC＝2BE＝r，∵AO+OE≥AD，AD＝4，∴r+r≥4，解得：r≥8+4，∴BC＝r≥8+8，∴BC最小值为8+8∵S△ABC＝BC•AD，∴△ABC面积的最小值为：×（8+8）×4＝16+16；（3）分别延长AB、DC交于点M，如图②所示：则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，∵CB＝CD＝2，∴BM＝2，CM＝2，AD＝DM＝2+2，∴S四边形ABCD＝S△ADM﹣S△CBM＝DM2﹣BC2＝×（2+2）2﹣×22＝4+4，∵∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠CDA﹣∠CBA＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∴将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，则A、D、E′三点共线，∴S四边形AECF＝S四边形ABCD﹣（S△CBE+S△CDF）＝S四边形ABCD﹣S△CE′F，∵S四边形ABCD为定值，∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，∵∠E′CF＝135°﹣90°＝45°，∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，过点O作OJ⊥DF于点J．设△CE′F的外接圆半径为rm，则E′F＝r，又∵OJ+OC≥CD，∴r+r≥2，∴r≥4﹣2，当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F＝r＝4﹣4，∴S△CE′F最小＝×（4﹣4）×2＝4﹣4，∴S四边形AECF最大＝S四边形ABCD﹣S△CE′F最小＝4+4﹣（4﹣4）＝8．（3）如图③中，将△BKM绕点K顺时针旋转得到△KCM′，此时N，C，M′共线，作△KNM′的外接圆⊙O，连接OK，ON，OM′，过点O作OH⊥NM′于点H．设OK＝ON＝OM′＝r，则NM′＝r，OH＝r，∵OK+OH≥KC，∴r+r≥6，∴r≥4，∴NM′≥r＝4，∴△KNM′的面积的最小值为×4×6＝12（m2），∴△BMK的面积+△KCN的面积的最小值为12，∴五边形AMKND的面积的最大值＝7×12﹣12＝（84﹣12）（m2），∴种植乙花面积的最大值为（84﹣12）（m2）．4．（2020•渭滨区二模）问题提出（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD＝3，∠BAC＝60°，求△ABC面积的最小值；问题解决（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）以AB为直径作圆，在圆上任取一点（不与点A、B重合）C，连接AC、BC，如图①所示：则∠ACB＝90°，∴Rt△ACB即为所求；（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，如图②所示：则∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝BC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，设OA＝OB＝OC＝r，则OE＝r，BC＝2BE＝r，∵AO+OE≥AD，AD＝3，∴r+r≥3，解得：r≥2，∴BC＝r≥2，∴BC最小值为2，∵S△ABC＝BC•AD，∴△ABC面积的最小值为：×2×3＝3；（3）四边形AECF的面积存在最大值，理由如下：分别延长AB、DC交于点M，如图③所示：则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，∵CB＝CD＝6m，∴BM＝6m，CM＝6m，AD＝DM＝（6+6）m，∴S四边形ABCD＝S△ADM﹣S△CBM＝DM2﹣BC2＝×（6+6）2﹣×62＝（36+36）m2，∵∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠CDA﹣∠CBA＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∴将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，则A、D、E′三点共线，∴S四边形AECF＝S四边形ABCD﹣（S△CBE+S△CDF）＝S四边形ABCD﹣S△CE′F，∵S四边形ABCD为定值，∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，∵∠E′CF＝135°﹣90°＝45°，∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的