7.6余角补角（分层练习）

7.6余角、补角（分层练习）【夯实基础】一、单选题1．（2021春·上海·六年级上海市民办新世纪中学校考期末）小明在学习“线段与角”章节有关知识时，有如下说法：①两点之间线段最短；②如果，那么余角的度数为；③互补的两个角一个是锐角一个是钝角；④一个锐角的余角比这个角的补角小．小明说法正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】依据线段的性质、余角、补角的定义求解即可．【详解】解：两点之间线段最短，故①正确：如果，那么余角的度数为，故②正确；互补的两个角可均为直角，故③错误；设一个角为且为锐角，则它的余角为，它的补角为，则，故④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是线段的性质、余角、补角的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．2．（2019春·上海浦东新·六年级上海民办华二浦东实验学校校考阶段练习）如图，点O为直线AB上一点，,则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】点A，O，B在同一条直线上，所以∠1和∠COB互补，即∠1＋∠COB＝180°【详解】解：∠1＝180°−∠COB＝180°−27°29′＝179°60′−27°29′＝152°31′，故选A．【点睛】本题考查了补角的定义，度和分的单位换算，熟练掌握基础知识是解题关键．3．（2021春·上海·六年级校考期末）下列有关“线段与角”的知识中，不正确的是（

）A．两点之间线段最短 B．一个锐角的余角比这个角的补角小C．互余的两个角都是锐角 D．若线段，则是线段的中点【答案】D【分析】根据线段的性质及余角补角的定义解答．【详解】解：两点之间线段最短，故A选项不符合题意；一个锐角的余角比这个角的补角小，故B选项不符合题意；互余的两个角都是锐角，故C选项不符合题意；若线段，则不一定是线段的中点，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查线段的性质，余角与补角的定义，熟记定义及线段的性质是解题的关键．4．（2021春·上海杨浦·六年级校考期末）如果一个角的补角等于它余角的4倍，那么这个角的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设这个角的度数是，根据互为余角的两个角的和等于90°表示出它的余角，互为补角的两个角的和等于180°表示出它的补角，然后列方程求解即可．【详解】解：设这个角的度数是，由题意得，，解得，答：这个角的度数是.故选：C．【点睛】本题考查了余角和补角，熟记概念并列出方程是解题的关键．5．（2021春·上海长宁·六年级上海市延安初级中学校考期末）下列说法不正确的是（

）．A．如果，则M是线段的中点 B．锐角的补角一定是钝角C．联结两点的线段的长度叫两点之间的距离 D．利用一副三角尺，可以画出任意角度为的倍数的角【答案】A【分析】根据线段的中点，锐角的补角，两点距离的定义，三角尺中角度的计算逐项分析判断即可．【详解】A选项：如果点A、B、M共线，且，则M是线段的中点，所以本选项说法错误，符合题意；B选项：锐角的补角一定是钝角，本选项说法正确，不符合题意；C选项：联结两点的线段的长度叫两点之间的距离，本选项说法正确，不符合题意；D选项：利用一副三角尺，可以画出任意角度为15°的倍数的角，本选项说法正确，不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了线段的中点，锐角的补角，两点距离的定义，三角尺中角度的计算，掌握以上知识是解题的关键．6．（2021春·上海静安·六年级校考期末）下列说法正确的是（

）．A．两个相等的角不可能互余 B．一个角的余角一定比这个角大C．一个角的补角一定比这个角大 D．一个锐角的补角一定比这个角的余角大【答案】D【分析】根据余角的定义（和为的两个角互为余角）与补角的定义（和为的两个角互为补角）逐项判断即可得．【详解】解：A、两个大小均为的角互余，则此项说法错误，不符题意；B、一个角的余角不一定比这个角大，如角的余角为，则此项说法错误，不符题意；C、一个角的补角不一定比这个角大，如角的补角为，则此项说法错误，不符题意；D、设一个锐角的度数为，则它的补角为，余角为，因为，所以，所以一个锐角的补角一定比这个角的余角大，此项说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了余角与补角，熟记定义是解题关键．7．（2021春·上海·六年级上海市西南模范中学校考期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据直角三角板可得第一个图形，进而可得；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第三个图形中，第四个图形和互补．【详解】解：根据角的和差关系可得第一个图形，根据同角的余角相等可得第二个图形，根据等角的补角相等可得第三个图形，第四个图形，不相等，因此的图形个数共有3个．故选：C．【点睛】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等．二、填空题8．（2021春·上海·六年级上海市南洋模范初级中学校考期末）一个锐角的余角比这个锐角的补角小______．【答案】90【分析】根据题意，设锐角为x度，则锐角的余角为度，锐角的补角为度，进行计算即可得．【详解】解：设锐角为x度，则锐角的余角为度，锐角的补角为度，则（度），故答案为：90．【点睛】本题考查了余角和补角，解题的关键是掌握锐角的余角和补角的表示．9．（2021春·上海长宁·六年级上海市延安初级中学校考期末）不少植物叶子在茎上的排布很有规律，从茎的顶端沿茎向下看，相邻两片叶子间的夹角是137°28′，则137°28′的补角度数为_____．【答案】42°32′【分析】根据互补的两个角之和为180°，求解即可．【详解】137°28′的补角度数为180°﹣137°28′＝42°32′．故答案为：42°32′．【点睛】本题考查了补角的知识，角度的减法运算．解答本题的关键在于熟练掌握互补两角之和为180°．注意：进行角度的加减运算时，同单位相加减，即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减．做加法时，秒够60进1分，分够60进1度；做减法时，不够减的，从上一级借1，再进行减法运算．10．（2021春·上海浦东新·六年级校联考期末）如图，点A、O、B在一条直线上，且∠AOD＝35°，OD平分∠AOC，则图中∠BOC＝______度．【答案】110【分析】根据角平分线可得，再利用补角的性质求解即可得．【详解】解：∵OD平分，，∴，∵与是邻补角，∴，∴．故答案为：110．【点睛】题目主要考查角平分线的计算及补角的性质，理解题意，结合图形求角度是解题关键．11．（2021春·上海宝山·七年级校考期中）如图，直线AB和CD相交于点O，∠AOD＝3∠AOC，则直线AB和CD的夹角是______．【答案】45°##45度【分析】∠AOD＝3∠AOC，∠AOD+∠AOC=180°，计算求解∠AOC的值即为所求．【详解】解：由题意知，直线AB和CD的夹角是∠AOC或∠BOD∵∠AOD＝3∠AOC，∠AOD+∠AOC=180°∴∠AOC=45°故答案为：45°．【点睛】本题考查了补角．解题的关键在于正确的找出角度之间的数量关系．12．（2021春·上海·六年级上海市南洋模范初级中学校考期末）将两把直角尺如图摆放，测量得是的4倍，那么的大小为______．【答案】54【分析】根据余角性质得出，，利用同角的余角性质得出，根据，列出方程，解方程即可．【详解】由题知，，，，且，，，，，，，故的度数为．故答案为：54．【点睛】本题考查余角的性质，列解一元一次方程，掌握余角的性质，列一元一次方程技巧与解一元一次方程的方法与步骤是解题关键．13．（2021春·上海·六年级上海市民办新世纪中学校考期末）已知，那么的余角=________．【答案】【分析】根据互为余角的两个角之间的关系，即可求得．【详解】解：∵∴的余角故答案为：【点睛】本题考查了互为余角的两个角之间的关系，互为余角的两个角的和为．14．（2021春·上海长宁·六年级华东政法大学附属中学校考期末）若的余角是，则的补角是______．【答案】【分析】根据的余角是，可得，再根据补角的性质，即可求解．【详解】解：∵的余角是，∴，∴的补角是．故答案为：【点睛】本题主要考查了余角和补角的性质，熟练掌握互为补角的两角的和等于180°，互为余角的两角的和等于90°是解题的关键．15．（2021春·上海浦东新·六年级上海中学东校校考期末）如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点C，若，则______度．【答案】52【分析】根据图示确定∠BCE与两个直角的关系，它等于两个直角的和减去∠ACD的度数．【详解】．故答案为：52．【点睛】本题考查了角度的性质，找准角度关系是解题关键．16．（2021春·上海·七年级上海市南洋模范初级中学校考期中）如图，已知，，点B、O、D在同一直线上，则的度数为______度．【答案】115【分析】由求出的值，根据计算求解即可．【详解】解：∵∠AOB＝25°，∠AOC＝90°，∴∠BOC＝90°－25°＝65°，∴∠COD＝180°－65°＝115°．故答案为：115．【点睛】本题考查了余角与补角．解题的关键在于找出角度的数量关系．17．（2021·上海·九年级专题练习）一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角是__________．【答案】45°##45度【分析】设这个角的度数为x，根据互为余角的两个角的角度和等于90°，互为补角的两个角的角度和等于180°表示出出这个角的余角与补角，然后列出方程求解即可．【详解】解：设这个角的度数为x，则它的余角为90°x，补角为180°x，根据题意得，180°x=3（90°x），解得x=45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了互为余角与补角的定义，一元一次方程的应用，根据题意表示出这个角的余角与补角，然后列出方程是解题的关键．18．（2022春·上海闵行·六年级校考期末）在平面上，和有公共的顶点O，且有一条边重合，如果，，那么，的补角的度数是______．【答案】或【分析】分两种情况讨论：①当在的内部时；②当在的外部时，分别进行求解即可．【详解】解：①当在的内部时，如图，∵，∴，∴的补角的度数是；②当在的外部时，如图，∵，∴，∴的补角的度数是．故答案为：或．【点睛】本题考查了角的计算，灵活运用所学知识，分类讨论求解是解决本题的关键．19．（2021春·上海浦东新·六年级上海市进才中学北校校考期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数为______°．【答案】【分析】设这个角的度数为x，则这个角的余角为，补角为，再根据余角是它的补角的列出方程求解即可．【详解】解：设这个角的度数为x，由题意得，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，一元一次方程的应用，正确理解余角与补角的定义是解题的关键．三、解答题20．（2021春·上海闵行·六年级统考期末）已知∠β是∠α的3倍，且∠β的补角比∠α的余角小10°，求∠α的度数．【答案】50°【分析】先根据∠β是∠α的3倍，得出∠β＝3∠α，然后求出∠β的补角=180°3∠α，∠α的余角=90°∠α，根据∠β的补角比∠α的余角小10°列方程，解方程即可．【详解】解：∵∠β是∠α的3倍，∴∠β＝3∠α，∴∠β的补角=180°3∠α，∠α的余角=90°∠α，∵∠β的补角比∠α的余角小10°，∴（90°﹣∠α）﹣（180°﹣3∠α）＝10°，解得：∠α＝50°，∴∠α的度数为50°．【点睛】本题考查角的倍分关系，余角，补角性质，解一元一次方程，掌握角的倍分关系，余角，补角性质，解一元一次方程是解题关键．21．（2021春·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期末）与互补，比的3倍的大20°，求、的大小．【答案】40°；140°【分析】根据题意，得到关于、的等量关系列方程组求解即可．【详解】由题意得，则有，，，，所以，、的大小分别为40°；140°．【点睛】本题考查了互补的定义，即互为补角的两个角的和为180度；角的和、差、倍关系，找准角之间的数量关系是解题的关键．【能力提升】一、单选题1．（2021·上海·六年级期末）下列说法中，正确的是（

）A．延长角的平分线B．联结两点的线段叫做两点之间的距离C．两点之间，直线最短D．一个锐角的补角和余角的度数相差90度【答案】D【分析】根据角平分线的定义，两点的距离的定义，线段的性质，余角和补角的定义，即可解答．【详解】解：、角平分线是射线，不存在延长，原说法错误，故此选项不符合题意；．连接两点的线段的长度叫做两点的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；．两点之间，线段最短，原说法错误，故此选项不符合题意；．一个锐角的补角和余角的度数相差90度，原说法正确，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的定义，两点的距离的定义，线段的性质，余角和补角的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．二、填空题2．（2021春·上海静安·六年级上海市民办扬波中学校考期末）如图，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，如果，那么______°【答案】57【分析】根据题意，得，根据余角的性质，得；结合题意，根据角度和差性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．【详解】∵，∴∴∵∴∴∴∴故答案为：57．【点睛】本题考查了角、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握余角、一元一次方程的性质，从而完成求解．3．（2021·上海·六年级期末）已知与互余，，则的大小是_______．【答案】【分析】根据余角定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余，直接解答，然后化为用度分秒表示即可．【详解】解：与互余，，．故答案为：．【点睛】本题考查互余角的数量关系．理解互余的概念是解题的关键，根据余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余列式计算．4．（2021春·上海闵行·六年级统考期末）如图，点A、O、B都在直线MN上，射线OA绕点O按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒6°的速度旋转（当其中一条射线与直线MN叠合时，两条射线停止旋转）．经过____________秒，∠AOB的大小恰好是60°．【答案】12或24【分析】设经过x秒，∠AOB的大小恰好是60°．分∠AOM＋∠AOB＋∠BON＝180°和∠AOM＋∠BON﹣∠AOB＝180°两种情况，可得关于x的一元一次方程，解之即可求得结论．【详解】设经过x秒，∠AOB的大小恰好是60°．由题意可得：当∠AOM＋∠AOB＋∠BON＝180°时，即,解得：当∠AOM＋∠BON﹣∠AOB＝180°时，即，解得：，故答案为：12或24．【点睛】本题考查一元一次方程的应用和角的计算，解题的关键是找出等量关系，正确列出一元一次方程．5．（2021春·上海·六年级上海市西南模范中学校考期末）如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是__________________（填序号）【答案】①②③【分析】结合题意，根据角的度量的性质，得及，从而推导得；根据角的和差的性质，计算得以及，从而完成求解．【详解】∵射线、分别经过刻度117和153∴把绕点逆时针方向旋转到，得∵，∴，即①正确；∵射线经过刻度27∵∴射线经过刻度为：∴∴∴，即②正确；∵，且∴∴∴射线经过刻度为：，即③正确；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的度量、补角、角的和差的性质，从而完成求解．三、解答题6．（2022春·上海闵行·六年级校考期末）如图，已知，，平分，平分．求：的度数．解：∵，∴____________∵平分∴____________同理：______∴____________【答案】，150，，75，30，，45【分析】首先计算出的度数，再根据角平分线的性质可得，进而根据角的和差关系算出的度数．【详解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，故答案为：，150，，75，30，，45．【点睛】本题考查了角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），以及角的和差计算，数形结合是解答本题的关键．7．（2022秋·上海·七年级开学考试）若一个角的余角与它的补角之比为，求这个角的余角和补角．【答案】这个角的余角为：，补角为：．【分析】设这个角为α，根据这个角的余角与这个角的补角之比是可列出方程，解出即可．【详解】解：设这个角为α，则这个角的余角为，这个角的补角为．依照题意，这两个角的比为：．∴，，∴．从而，这个角的余角为：，补角为：．【点睛】本题考查余角和补角，一元一次方程的应用．解题的关键是找出等量关系列出方程求出这个角．8．（2021春·上海·六年级校考期末）如图，点、、在一直线上，是的平分线，，比大．(1)求的度数．(2)求的度数．【答案】(1)35°(2)55°【分析】（1）根据角平分线的定义求得，再根据与的关系和平角的定义，列方程即可求得的度数；（2）根据余角的定义，可求出的度数．(1)解：平分，，设，则，，，解得，；(2)解：，，．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角和余角的定义等知识，能够根据角与角的和差关系列方程求值是解答问题的关键．9．（2021春·上海奉贤·六年级校联考期末）已知点O为直线AB上一点．(1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数；(2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝°，此时图中互余的角有对，互补的角有对．(3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由．【答案】(1)∠AOC＝180°，∠BOC＝72°．(2)90，4，5．(3)∠AOD＝2∠COE．理由见解析．【分析】（1）设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x.然后根据平角180°列方程求得x，进而完成解答；（2）先根据角平分线的定义可得∠COD＝∠AOC、∠COE＝∠BOC，然后再结合∠DOE＝∠COD+∠COE即可求得90°；然后根据余角、补角的定义即可确定余角和补角的对数；（3）根据射线OC是∠BOD的角平分线可得∠BOC＝90°﹣∠AOD，然后再根据∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°即可解答．(1)解：设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x，根据题意得：3x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠AOC＝180°，∠BOC＝72°．(2)解：∵射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝×180°＝90°；∵∠COD+∠COE＝90°，∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°，∴互余的角有4对；∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE+∠AOE＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°，∴互补的角有5对．故答案为：90，4，5．(3)解：∠AOD＝2∠COE．理由如下：∵射线OC是∠BOD的角平分线，∴∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD，∵∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°，∴∠AOD+（90°﹣∠COE）+（90°﹣∠AOD）＝180°，∴∠AOD＝2∠COE．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、补角、余角的定义，灵活运用相关定义成为解答本题的关键．10．（2021春·上海·六年级校考期末）如图，射线ON、OE、OS、OW分别表示从点O出发北、东、南、西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点O重合．(1)图中与∠BOE互余的角是_______．(2)①用直尺和圆规作∠AOE的平分线OP；（不写作法，保留画图痕迹）②在①所作出的图形中，如果∠AOE=134°，那么点P在点O_______方向．【答案】(1)∠BON和∠AOW(2)①见解析；②北偏东23°【分析】（1）根据互余，平角的定义判断即可．（2）利用角平分线的定义求出∠POE，再求出∠NOP即可解决问题．（1）∵∠AOB=∠NOE=90°，∠EOW=180°，∴∠AOW+∠BOE=90°，∠NOB+∠BOE=90°，∴∠BOE互余的角有：∠NOB，∠AOW，故答案为：∠NOB，∠AOW．（2）①如图，射线OP即为所求作．②∵∠AOE=134°，OP平分∠AOE，∴∠POE=×134°=67°，∵∠NOE=90°，∴∠NOP=90°67°=23°，∴点P在点O的北偏东23°的方向上．故答案为：北偏东23°．【点睛】本题考查作图应用与设计，角平分线的定义，方向角等知识，解题的关键是准确作∠AOE的平分线．11．（2021春·上海普陀·六年级期末）已知O是直线MN上一点，∠MOA＝40°，∠AOB＝90°，∠COD与∠AOB都在直线MN的上方，且射线OC在射线OD的左侧．(1)如图1，射线OC在∠AOB的内部，如果∠COD＝90°，那么图中与∠AOC相等的角是，其依据是：．(2)如图2，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP，如果∠COD＝60°，且OC平分∠AOP，那么∠DON＝°；（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）(3)如果∠COD＝60°，设∠AOC＝m°（0＜m