专题01锐角的三角函数重难点题型专训（7大题型）（原卷版）

专题01锐角的三角函数重难点题型专训（7大题型）【题型目录】题型一正弦、余弦与正切的概念辨析题型二求角的正弦值题型三已知正弦值求边长题型四求角的余弦值题型五已知余弦值求边长题型六求角的正切值题型七已知正切值求边长【知识梳理】知识点1：正切与余切1.正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tanA．．2.余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cotA．．aacABCb知识点2：正弦与余弦1.正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sinA．．2.余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cosA．．aacABCb【经典例题一正弦、余弦与正切的概念辨析】1．（22·23下·泉州·一模）在中，，，则的值是（

）A． B． C． D．2．（2020上·西安·阶段练习）在中，分别为所对的边则下列等式中不正确的是（

）A． B． C． D．3．（2021上·吉林·阶段练习）如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是．4．（22·23·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为．

5．（2021秋·河北石家庄·九年级校考阶段练习）如图，在中，，为的中点，，．

(1)求的长；(2)求的值．【经典例题二求角的正弦值】1．（22·23下·沈阳·开学考试）如图，是的直径，点C和点D在上，若的半径是4，，则的值是（

）A． B． C． D．2．（22·23上·青岛·期末）如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（）A． B． C． D．3．（21·22下·哈尔滨·阶段练习）在中，，点D是直线上一点，若，，的值为4．（22·23·杭州·二模）点E为正方形的边上一点，连接，且与相交于点M．若，则．

5．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在菱形中，，点E为上一点（），连接，作交于F．连接，．

(1)求证：四边形为菱形．(2)记菱形的面积为，菱形DEBF面积为．若，，．求的长．【经典例题三已知正弦值求边长】1．（22·23下·咸阳·二模）如图，点A，B，C均在上，连接、、，过点O作于点D，若的半径为4，，则弦的长是（）

A．2 B． C． D．42．（22·23下·深圳·阶段练习）如图，，，若，，则点到的距离是（）A． B． C． D．3．（22·23下·绵阳·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，，点E在边上，，点F为上一点，，若，则的长为．4．（22·23下·合肥·三模）在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处．请完成下列问题：（1）；（2）当时，的长为．5．（2023·北京·九年级专题练习）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，点是的延长线上的一点，，的延长线交于点．

(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．【经典例题四求角的余弦值】1．（2023秋·山东潍坊·九年级昌乐二中校考阶段练习）如图，矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的值为（）

A． B． C． D．2．（2022春·福建福州·九年级校考期中）如图，个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为，、、都在格点上；点在过、、三点的圆弧上，若也在格点上，且，则的值为（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，点F为其重心，连接、并延长分别交、于点D、E，且，，则．4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）在矩形中，过点A作的垂线，垂足为点，矩形的两边长分别是2和3，则的值是．5．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把沿着过点B的某条直线折叠，使点A落在y轴负半轴上的点D处，折痕与x轴交于点C．

(1)求点A、B、C、D的坐标；(2)求的余弦值．【经典例题五已知余弦值求边长】1．（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，且，，则下底的长是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，为的边上一点，，，，，则（

）A． B． C． D．43．（2023·山东聊城·统考三模）在中，，，，以AC所在直线为轴，把旋转一周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为．4．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，在四边形中，，，，，，则．

5．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）在矩形中，对角线，交于点，过点作于点．

(1)求证；(2)求证：(3)若，，求的长．【经典例题六求角的正切值】1．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，和均为等腰直角三角形，，，，点B在线段上，已知，，则的值为（

）A． B． C． D．33．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿翻折，使得点C落在边上的点E处，则．

4．（2022春·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校联考自主招生）如图，中，，于D，E为上一点，于F，与交于点G，若，则的值是．5．（2022春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）如图，在边长为9的正方形中，等腰的直角顶点与正方形的顶点C重合，斜边EF与正方形的对角线交于点E，射线与交于点P，与交于点Q且．(1)求证：；(2)求的长；(3)求的值．【经典例题七已知正切值求边长】1．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，沿着折叠使点落在边上点处，过点作交于点．若，，则的长为（

）

A． B．2 C． D．2．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）如图，平行四边形中，，，，点O为对角线交点，点E为延长线上一动点，连接交于点F，当时，求的长度为（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点G为的重心，若，，那么的长等于．

4．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知，点P在边上，，点M，N在边上，，如果，那么．5．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）在中，，分别是，的中点，延长至点，使得，连结．

(1)求证：四边形是平行四边形．(2)于点，连结，若是的中点，，①求的长．②求平行四边形的周长．【重难点训练】1．（21·22下·哈尔滨·开学考试）如图，内接于，，，则的半径为（

）

A．4 B．8 C． D．2．（23·24上·长春·阶段练习）如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（

）A． B． C． D．3．（22·23下·江门·期中）在中，，，，将其如图折叠使点A与点B重合，折痕为，连接，则的值为（

）

A． B． C． D．4．（22·23下·株洲·自主招生）如图，在中，，，平分，则的值为（

）

A． B． C． D．5．（21·22下·深圳·模拟预测）如图，已知平行四边形，点E为的中点，与交于点F，连接，若，则的值为（

）

A． B． C． D．6．（23·24上·黄浦·期中）如图已知在中，，正方形的顶点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长为．

7．（21·22·武汉·模拟预测）如图，中，，，D为边上一点，且，点E为边上一动点，为等边三角形，则线段的取值范围是．8．（22·23下·深圳·模拟预测）如图，在中，D是的中点，平分，且，，，则．

9．（21·22·武汉·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线翻折，得到，的延长线交于点为的中点，连接，若点在同一条直线上，，则的值为．

10．（23·24上·专题练习）如图，在四边形中，，，，，点、分别在、边上，若：：：．则．

11．（21·22·哈尔滨·模拟预测）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点均在小正方形的顶点上．

(1)在图1中画一个以线段为一边的平行四边形，点均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为8；(2)在图2中画一个钝角三角形，点在小正方形顶点上，，且三角形的面积为6．请直接写出的长．四、问答题12．（23·24上·杨浦·期中）如图，已知在中，，，点是边的中点，连接，求的正弦值．

13．（21·22下·宜昌·模拟预测）如图，已知平行四边形中，，，，点是射线上一动点，过点作，垂足为点，交射线于点，交射线于点，联结、．设．

(1)如图当点在边上时．求证．当时，求的值．(2)当点在边的延长线上时，是否存在这样的点E使与相似？如果存在求出此时的长度m．五、作图题14．（23·24上·哈尔滨·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，坐标分别为，，．请解答下列问题：

(1)画出关于y轴的