广西桂林某中学2024-2025学年下学期高三期末考试数学试题（含解析）

广西桂林阳朔中学2024-2025学年下学期高三期末考试数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是()

A.8B.32C.64D.128

2.已知抛物线y2=2px(p>0),尸为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若|。/|=1,|W|=8,则△OAW的面

积为()

A.2^2B・3A/2C・4^2D・--—

3.已知函数/(%)=]/-J—，则函数》=/(%-1)的图象大致为()

ln(x+l)-x

=2py的焦点，点工为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过工作抛物线。的切线，

切点为A,若点4恰好在以片，月为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()

A.*2B.V2-1C.逅产D.V2+1

'_l

5.已知/(x)=e二是定义在R上的奇函数，则不等式/(-3)</(9-/的解集为()

ex+a

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)

6.3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是()

£111

A.B.-C.一D.—

24510

("2+

7.复数2=R)为纯虚数，则z=()

A.1B.-2iC.2iD.-i

8.在函数：①丁二以«/耳；®y=\cosx|；③>=cos[2x+%J；④y=tan[2x—1J中，最小正周期为左的所有

函数为()

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

9.阅读如图的程序框图，若输出的值为25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是()

I开始）

A.i>5B.Z>8C.z>10D.Z>12

223

10.已知双曲线C:=-2=l（a>0/>0）的渐近线方程为y=?—x,且其右焦点为（5,0）,则双曲线c的方程为（）

a-b4

A.=lB.《上=1C,耳上=1D.看上=1

9161693443

11.某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人

脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸

识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）

A.480种B.360种C.240种D.120种

12.如图，圆。的半径为1,A,B是圆上的定点，OBLOA,尸是圆上的动点，点P关于直线08的对称点为

P',角x的始边为射线Q4,终边为射线0尸，将口A-赤|表示为x的函数/（九），则y=/（x）在［0,句上的图像

大致为（）

13.若复数Z满足22+5=3+3其中i是虚数单位，三是Z的共朝复数，则2=.

14.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是.

15.已知正方体----_二-，-.-棱长为2,点一是上底面内一动点，若三棱锥-------的外接球表面积

LwJjMMJ4M*jMMMM/JX*jMMJMMMM

恰为,则此时点-构成的图形面积为.

16.过直线4x+3y—10=0上一点p作圆好+/=1的两条切线，切点分别为人，B,则丙.丽的最小值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(%)=k+i|.

(1)求不等式/(x)W4T2x-3|的解集；

(2)若正数机、九满足m+2〃=7加，求证：f(m)+f(―2/z)>8.

18.(12分)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E是边AD上一点，且AE=2石。，点”是3E的中点,

将A4B后沿着BE折起，使点A运动到点S处，且满足sc=sr>.

(1)证明：5/7，平面3。£如；

(2)求二面角C—S3—E的余弦值.

19.(12分)已知/(x)=e*-〃优.

(1)若曲线y=lnx在点02,2)处的切线也与曲线y=/(x)相切，求实数的值;

(2)试讨论函数/(尤)零点的个数.

20.(12分)设函数〃x)=lnx-a(。一1).

(1)若函数y=/(x)在。,+8)是单调递减的函数，求实数。的取值范围;

c,°In,

(2)若n>m>0,证明:2+Inn<2.----v\nm.

vm

21.(12分)如图，焦点在工轴上的椭圆G与焦点在丁轴上的椭圆02都过点M(O』)，中心都在坐标原点，且椭圆G

与C,的离心率均为走.

2

(I)求椭圆G与椭圆C］的标准方程；

(II)过点M的互相垂直的两直线分别与G，。2交于点A，3(点A、5不同于点M),当AM45的面积取最大值

时，求两直线MA,M3斜率的比值.

22.(10分)已知函数/(x)=e-*+e*+ax,aeR.

(1)讨论了(九)的单调性；

A1

⑵若〃龙)存在两个极值点再，x2,证明：/(x1)-/(x2)<(«-2)(e-e^).

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.

【详解】

由题意，执行上述程序框图，可得

第1次循环，满足判断条件，s=l,k=l；

第2次循环，满足判断条件，s=2,k=2；

第3次循环，满足判断条件，S=8,攵=3；

第4次循环，满足判断条件，S=64,k=4；

不满足判断条件，输出S=64.

故选：C.

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关

键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2.A

【解析】

根据I。b1=1可知丁2=4x,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.

【详解】

由题意可知抛物线方程为y2=4x，设点"（玉,X）点N（%2,%），则由抛物线定义

知,MN|=|MF|+1NF|=%%2+2,|MN|=8则%+Z=6.

由>2=4x得y=4芯，£=49则y；+yl=24.

又MN为过焦点的弦，所以%%=-4，则1%—J1|=Jy；+y；-2yly2=4J5,所以S^OMN=^\OF\-\y2-y\=28.

故选：A

本题考查抛物线的方程应用，同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.

3.A

【解析】

用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.

【详解】

设g(x)=/(x—1)=———，由于］］〉0,排除8选项；由于g(e)=±,g(e?)=二所以

lnx-x+1'7ln-+-2-e'73-e

22

g(e)>g(e2),排除C选项；由于当xf中»时，g(x)>0,排除。选项.故A选项正确.

故选：A

本题考查了函数图像的性质，属于中档题.

4.D

【解析】

根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得左的值，设出双曲线方程，求得2a=|AF2|-|AFi|

=(V2-1)P，利用双曲线的离心率公式求得e.

【详解】

直线的直线方程为：y=kx-R,Fi(0,"),F2(0,—"),

222

代入抛物线C：%2=2py方程，整理得：X2-2pkx+p2—0,

.♦.△=4a2_4p2=0,解得:k=+l,

22

.,.A(p,E),设双曲线方程为：々—二=1,

2a2b2

IAF1I=p,IAF2I=Jp2+「2=®p,

2a=IAF2I-IAFiI=(血一1)夕，

2c—p,

离心率e——=—j=—=A/2+1,

aV2-1

故选：D.

本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题.

5.C

【解析】

由奇函数的性质可得，=1,进而可知/(%)在R上为增函数，转化条件得％-3<9-解一元二次不等式即可得解.

【详解】

因为三是定义在R上的奇函数，所以〃1)+/(—1)=0,

1-1X

即一=0,解得a=l,即/(x)=1=i__

v

e+al+fl'e'+le'+l

e

易知/(九)在R上为增函数.

又〃无一3)</(9—尤2),所以％—3<9—f，解得—4〈尤<3.

故选：C.

本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.

6.D

【解析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.

【详解】

3本不同的语文书编号为A5C,2本不同的数学书编号为。力，从中任意取出2本，所有的可能为：

AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab10个，恰好都是数学书的只有a匕一种，.••所求概率为。=

10

故选：D.

本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率.

7.B

【解析】

复数z=(Y—l)+(a—为纯虚数，则实部为0,虚部不为0,求出0,即得z.

【详解】

,.1z=(a2_i)+(a_1)*aeR)为纯虚数，

a2-1=0

解得a=—1.

4一1W0

z=—2z.

故选：B.

本题考查复数的分类，属于基础题.

8.A

【解析】

逐一考查所给的函数：

y=cos|2x|=cos2x，该函数为偶函数，周期7=夸=%；

将函数y=cosx图象x轴下方的图象向上翻折即可得到y=|cosx|的图象，该函数的周期为gx2»="；

函数y=cos(2x+。的最小正周期为7=4；

函数y=tan12x-的最小正周期为T=W=W；

综上可得最小正周期为万的所有函数为①②③.

本题选择A选项.

点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错

误.一般地，经过恒等变形成"y=Asin((«x+9),y=Acos(twx+°),y=Atan(①x+0)”的形式，再利用周期

公式即可.

9.C

【解析】

根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i的值，进而得判断框内容.

【详解】

根据循环程序框图可知，S=O,i=l

则S=l』=3,

S=4,z=5,

S=9,i=7,

S=16,7=9,

S=25,z=11,

此时输出S,因而，=9不符合条件框的内容，但，=11符合条件框内容，结合选项可知C为正确选项,

故选：C.

本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.

10.B

【解析】

1o22

试题分析：由题意得一=二，02=〃+〃=25,所以。=4,b=3,所求双曲线方程为三—匕=1.

a4169

考点：双曲线方程.

11.B

【解析】

将人脸识别方向的人数分成：有2人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.

【详解】

当人脸识别方向有2人时，有团=120种，当人脸识别方向有1人时，有C；禺=240种，.••共有360种.

故选：B

本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

12.B

【解析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.

【详解】

由题意，当％=0时，P与A重合，则p与B重合，

所以|无一赤卜|丽|=2,故排除C,D选项；

当0<x<g时，|而—例=|P'P|=2sinq—x)=2cosx,由图象可知选B.

故选：B

本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1+z

【解析】

设2=。+4・，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得。力的值.

【详解】

设2=。+初，由2z+z=3+i，得2a+2bi+a—bi=3a+瓦=3+i,所以a=l,b=l,所以z=1+i.

故答案为：1+i

本小题主要考查共辗复数，考查复数相等的条件，属于基础题.

14.1

【解析】

该程序的功能为利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得

答案.

【详解】

模拟程序的运行，可得：5=0,n=l,

不满足条件〃>4,执行循环体，S=l,n=2,

不满足条件〃>4,执行循环体，S=6,〃=3,

不满足条件〃>4,执行循环体，S=27,n=4,

不满足条件〃>4,执行循环体,S=124,n=5,

此时满足条件〃>4,退出循环,输出S的值为1.

故答案为：1.

本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题.

15.

【解析】

设三棱锥二一二二二的外接球为球二，分别取二二、二二，的中点二、二,，先确定球心二在线段二二和二.二，中点的连线上,

先求出球-的半径一的值，然后利用勾股定理求出--的值，于是得出--=再利用勾股定理求出点-在

上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案.

【详解】

如图所示，设三棱锥二一二-二的外接球为球二，

分别取一-、--的中点一、一,，则点一在线段--上,

由于正方体t—arttart'I——厂-j，-j，-的j棱长为2,

则，---的外接圆的半径为--=、F

设球一的半径为一,则，，解得

--

所以，..,

二二=J二;-二二;=:

则---.......—、：，,

'-1J-:

而点L在上底面所形成的轨迹是以一为圆心的圆,

由于所以_一一•一；，

L'LTL」71—J-1，

因此，点一所构成的图形的面积为二X二一二二二二，

本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.

3

16.-

2

【解析】

由切线的性质，可知归3=|而切由直角三角形B4。，PBO,即可设|丽卜羽/4尸。=。，进而表示cosa,由图

像观察可知PONd。一进而求出x的范围，再用国。的式子表示百.而，整理后利用换元法与双勾函数求出最小值.

【详解】

由题可知，|啊=|尸耳,设修臼=%，//APO=a,由切线的性质可知po=Jf+i，贝I

X2

cosa=1,cos-a=—：——

尤+]

|4x0+3x0-10|

显然PONdg」^――匕2，贝IJf+i之2=x»G或x<—（舍去）

因为而=可-PficosZAPO二二x2cos2a=x1-（2cos2a-l^=x2•--

X-+1

22

2f-I2）22%22（X+1）-222/2\2c

—x+2—（x+1）+3

2292929

IX+1Jx+lx+lx+l\）x-+l

,—,—.2

令t=jr+l/24,则PA-P3=/+---3,由双勾函数单调性可知其在区间[4,+8）上单调递增，所以

i

（PAPB）=4+2-3=。

\/min42

3

故答案为：—

2

本题考查在以直线与圆的位置关系为背景下求向量数量积的最值问题，应用函数形式表示所求式子，进而利用分析函

数单调性或基本不等式求得最值，属于较难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1){%|0<x<2};(2)见解析

【解析】

%<—1

(1)/(x)<4—|2x—3|等价于(I)<—(x+l)—(2x-3)44或(11)或(III)

(x+l)-(2x-3)<4

3

X>一

2,分别解出，再求并集即可;

(x+l)+(2x-3)<4

(2)禾！］用基本不等式及m+2九=”加可得〃z+2〃28,代入/(帆)+/(-2〃)=|相+1|+卜2〃+13加+2〃|可得最值.

【详解】

3

X<—1

(1)〃x)W4—|2x—3|等价于(I)<-(x+l)-(2%-3)<4^(11)<2或(III)

(x+l)-(2x-3)<4

(x+l)+(2x-3)<4

X<—1

由(I)得：<2=

x>——

[3

-1<%<。3

由(II)得：<2^>0<x<-

2

%>0

-3

X>一

由(III)得：<2n-<x<2.

2

x<2

•••原不等式的解集为同0<x<2};

(2)•.•加>0,〃>0,m+2n=mn,

1/、1(m+2nf

:,m+2n=—(m-2n)<—x---------,

2V724

:.m+2n>8,

m=2nfm=4

当且仅当〈c，即1c时取等号,

m+2n=mn[〃=2

/.+2n)=|m+l|+|-2n+l|>|m+2n|>8,

当且仅当一2〃+1<0即〃2工时取等号，

2

.1./(m)+/(-2n)>8.

本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.

18.(1)见解析；(2)同

3

【解析】

(1)取CD的中点M，连接胸，SM,由SE=Sfi=2,进而由SC=SD,得SMLCD.进而CD,

平面,进而结论可得证(2)(方法一)过〃点作CD的平行线GH交于点G,以点”为坐标原点，

所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系”-孙z,求得平面SBC,平面SBE的

法向量，由二面角公式求解即可(方法二)取3S的中点N,上的点P,使超姜HN,PN,PH,得

HNLBS,HP上BE，得二面角C—S3—石的平面角为再求解即可

【详解】

(1)证明：取CD的中点“，连接胸，SM,由已知得AE=AB=2,所以SE=Sfi=2,又点H是鹿的中点,

所以SHL5E.

因为SC=SD,点M是线段CD的中点，

所以SMLCD.

又因为所以HW，CE）,从而CD,平面SHM,

所以CDLSH,又CD,助不平行，

所以平面3CDE.

（2）（方法一）由（1）知，过X点作CD的平行线GH交BC于点G,以点〃为坐标原点，所在直线

分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系”一孙z,则点3（1,—1,0）,C（l,2,0）,£（-1,1,0）,

所以能=(0,3,0),BE=(-2,2,0),(-1,1,72).

设平面S5E的法向量为罚=（%,%,zj,

m-BE=0X]=%

—■，得｛r令％=1得应=(1,1,0).

m-BS=0[-%]+%+J2Z[=0

同理，设平面SBC的法向量为力=（%，%，22），

n-BC=0f%=0

由《一，得〈r

n-BS=0[一%2+y2+V2Z2=0

令Z2=l,得力=(0,0,1).

m-n6

所以二面角C—SB—石的余弦值为cos〈玩，为〉=

网同拒义6―3

（方法二）取3S的中点N,上的点P,使连接HN,PN,PH,易知HNLBS,HP±BE.

由（1）得SHLHP,所以印5,平面BSE,所以HP工SB,

又HNLBS,所以3SL平面PHN,

所以二面角C—S3—七的平面角为NPNH.

又计算得NW=1,PH=6,，PN=6

本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题

19.（1）m=l-e-2（2）答案不唯一具体见解析

【解析】

（1）利用导数的几何意义，设切点的坐标（不，e%-加%），用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一

条，从而得到方程组《居居，，再构造函数研究其最大值，进而求得m=1-"2；

e0-xoe°=1

（2）对函数进行求导后得/'（x）="-根，对相分三种情况进行一级讨论，即加<0,m=0,

m>0,结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.

【详解】

解：（1）曲线y=lnx在点02,2）处的切线方程为y—2=±（x—e2）,即y=[x+l.

ee

x

令切线与曲线/（%）="-租％相切于点（%,*-加/），则切线方程为y=（e"-m）x-e°（x0-l）,

XQx()

e-xQe=1

(加+6-2)[l—ln(加+"2)]=1,

令=t，则—=

记g«)=r(1-Ini),g'Q)=1—(l+ln/)=—In/

于是，g(。在(0,1)上单调递增，在(l,y)上单调递减，

2

•，-8(0max=g(1)=1,于是/=m+e~=1,m=l—e~~■

(2)f'(x)=ex—m,

i1

①当田<0时，尸。)>0恒成立，f(x)在R上单调递增，且/(0)=1>0,/(上)=〃—1<0

m

函数/(%)在R上有且仅有一个零点；

②当加=0时，/(x)="在R上没有零点；

③当机>0时，令/'。)>0,则x>lnw,即函数/(x)的增区间是(lnm,+oo),

同理，减区间是(一°o/nm),

/Wmin=m(l-ln/7i).

i)若0<m<e,则/(x^n=7〃(l—lnm)>0,f(x)在R上没有零点；

ii)若加=e,则/(x)="—ex有且仅有一个零点；

iii)若〃2>e,则/(x)1nm=根(1一出也)<0.

/(21nm)=m2-2mlnm=m(m-21nm),

2

令h(m)=m-21nm,贝=l-----,

m

二.当根〉e时，/z(7%)单调递增，hQn)>h{e}>0.

/(21nm)-m1-2mlnm-m(m-21nm)>m(e-2)>0

又•:/(0)=l>0,

/(x)在R上恰有两个零点，

综上所述，当0Wm<e时，函数Ax)没有零点；当加<0或加=e时，函数/Xx)恰有一个零点；当机〉e时，“X)恰

有两个零点.

本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究

函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个

端点值的函数值相乘小于0,才算完整的解法.

20.(1)a>2(2)证明见解析

【解析】

⑴求出导函数/'(x),由/"(x)WO在(1,+s)上恒成立，采用分离参数法求解;

n

(2)观察函数/(尤)，不等式凑配后知，利用a=2时/＜/(1)可证结论.

m

【详解】

(1)因为y=/(X)在。,+8)上单调递减,

12

所以/'(%)—云厂V。，即〃27=在(1，+8)上恒成立

22

因为y=一・在(1，+8)上是单调递减的，所以〒£(0,2),所以“22

yjx

(2)因为〃＞帆＞0,所以一〉1

m

由⑴知，当a=2时，y=/(x)在(L+s)上单调递减

n

所以/<〃1)

m

"<o

即In——2

mm,

所以2+ln〃<2./—+lnm.

Vm

本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式.解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数

的特例得出不等式的证明.

2

xC，2+丁=1(2)9-^^

21.(1)—+y2=1,1I乙/----------

4-

【解析】

分析：(1)根据题的条件，得到对应的椭圆的上顶点，即可以求得椭圆中相应的参数，结合椭圆的离心率的大小，求得

相应的参数，从而求得椭圆的方程；

(2)设出一条直线的方程，与椭圆的方程联立，消元，利用求根公式求得对应点的坐标，进一步求得向量的坐标，将S

表示为关于k的函数关系，从眼角函数的角度去求最值，从而求得结果.

详解：(I)依题意得对G：b=l,e=^ne2=』=仁生，得G：—+y2=1；

24a24-

2X2

同理02：丁+1=1

4

(II)设直线M4,MB的斜率分别为船上2，则MA：y=《x+l,与椭圆方程联立得:

/22

41=>—+4（左述+1>-4=0,得（4短+1）%2+8a％=0,得4=一/心2]1，（=4勺十],所以

产幻+1做+1的+1

A(8%-4左「+1)

‘4婷+1，4婷+1