2024-2025学年北京市某中学高三年级下册模拟考试一数学试题试卷（含解析）

2024-2025学年北京市育才学校高三下学期模拟考试（1）数学试题试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设机，”是两条不同的直线，戊，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若"〃/〃，mL（3,则“J_〃；

②若根〃a,m〃夕，则M/万；③若加J_a,nila,贝！④若mlIa,mYf3,则。_L〃；其中真命题的个

数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知a=（1,3）,Z?=（2,2）,c=（〃,一1）,若（a-c）J_Z?,则九等于（）

A.3B.4C.5D.6

3.已知平面ABCD,平面ADEN,ABLAD,COLAD,且AB=3,AD=CD=6,ADEb是正方形，在正方形

ADEF内部有一点〃，满足与平面ADEF所成的角相等，则点"的轨迹长度为（）

44

A.—B.16C.-71D.87r

33

4.已知数列｛4｝的前几项和为S“，且(S“+1)(S〃+2+1)=(S〃M+1)2(〃WN*),6=1,4=2,则S"=()

A.—------LB.2C.2〃—1D.2+1

2~

5.设。，尻CER且，>〃，则下列不等式成立的是()

,io11b

A.c—a<c—bB.ac2>be1C.—<—D.一<14

aba

QI。

6.已知a=ln班，b=e-，c=—则。，b,。的大小关系为()

8

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

7.下列函数中，图象关于y轴对称的为()

B./(x)=+2%+V7-2x,xe[-1,2]

ex+e

C./(x)=sin8xD.7(%)=--

8.把函数，(x)=sin2x的图象向右平移3个单位，得到函数g(x)的图象.给出下列四个命题

①g(x)的值域为(0/

TT

②g(x)的一个对称轴是x

③g(x)的一个对称中心是

④g(x)存在两条互相垂直的切线

其中正确的命题个数是()

A.1B.2C.3D.4

9.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积()

A.6+2A/3B.6+2应C.4+472D.4+46

10.设非零向量a,b，c,满足出1=2,\a\=\,且匕与a的夹角为。，则‘1|=6”是“6=三”的().

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

11.如图，棱长为1的正方体A3CD-A4GR中，P为线段A片的中点，分别为线段A£和棱片G上任意

一点，则的最小值为()

C.73D.2

12.定义在R上的函数〃x)=x+g(x),g(x)=-2x—2+g(—2—%),若/'(x)在区间上为增函数，且存在

-2<r<0,使得/(。)•/⑺<。.则下列不等式不一定成立的是()

A.f(t2+t+l)>fB./(-2)>0>/(Z)

c./a+2)>/a+i)D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ox+0)+b,则这段曲线的函数解析式为

14.运行下面的算法伪代码，输出的结果为S=

S-0

FortFrom1To10Step1

s—s+—?—

Ki+D

EniFbr

PrintS

y>x

15.已知实数X,y满足2x—y20,则z=」一的最大值为____.

_x+2

无+y<5

16.某地区连续5天的最低气温(单位：。C)依次为8,-4,-1,0,2,则该组数据的标准差为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=x?-6x+41nx

(1)求AM单调区间和极值;

(2)若存在实数a,b,c(O<a<Z?<c),使得/(a)=门也)=/(c),求证：c—a<2

18.(12分)已知二阶矩阵一-，矩阵属于特征值的一个特征向量为,属于特征值一的

一个特征向量为一.求矩阵-.

二:=©~

19.(12分)如图，点。是以为直径的圆。上异于4、3的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆。所在平面垂

直，ADEIIBC,DCLBC,DE=-BC=2,AC=CD=3.

—2

(1)证明：EO//平面AC。；

(2)求点E到平面ABD的距离.

20.(12分)已知｛4｝是等差数列，满足%=3,4=12,数列也｝满足4=4,仇=20,且也—%｝是等比数

列.

(1)求数列｛。“｝和也｝的通项公式；

(2)求数列也｝的前〃项和.

21.(12分)2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G,我们国家的移动通信业务用了不到20年的时

间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中

随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：

用户分类预计升级到5G的时段人数

早期体验用户2019年8月至2019年12月270人

中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人

后期用户2022年1月及以后200人

我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早期体验

用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%).

人数占比

(1)从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；

(2)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10

元以上的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户

的人数有变化？说明理由.

22.(10分)已知函数/(%)=Zsin?%+2Gsinxcosx-l,xeR.

(1)求大好的单调递增区间;

A

(2)AASC内角A、B、。的对边分别为。、b、c,若/(耳)=1且A为锐角，〃=3,sinC=2sinBf求△ABC的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.

【详解】

如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线加

平行于平面a与平面夕的交线时也有相〃mlIp,故②错误；若加，则机垂直平面

a内以及与平面e平行的所有直线，故③正确；若加〃a,则存在直线/ua且机/〃，因

为,所以/，/?,从而故④正确.

故选：C.

本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.

2.C

【解析】

先求出a-c=(1-〃,4),再由(a-c)J_Z?,利用向量数量积等于0,从而求得〃.

【详解】

由题可知a—c=(l—〃,4),

因为(a—c)，6,所以有(1—”)x2+2x4=0,得〃=5,

故选：C.

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

3.C

【解析】

根据与平面ADEF所成的角相等，判断出"0=240,建立平面直角坐标系，求得"点的轨迹方程，由

此求得点M的轨迹长度.

【详解】

由于平面A3CD，平面ADEF,且交线为AO,AB±AD,CD±AD,所以AB,平面ADEF,CD,平面ADEF.

所以NBMA和NCMD分别是直线MB,与平面ADE尸所成的角，所以=所以

tanZBM4=tanZOWD,即任=丝，所以上ZD=2A".以A为原点建立平面直角坐标系如下图所示，贝I

AMMD

A(0,0),0(6,0),设〃(国y)(点"在第一象限内)，由Affi>=2AM得=432,即

(%-6)2+/=4(%2+/),化简得(％+2)2+/=42,由于点"在第一象限内，所以4点的轨迹是以G(—2,0)为

圆心，半径为4的圆在第一象限的部分.令尤=0代入原的方程，解得y=±2g,故"(0,26),由于G4=2,所以

JFTT47r

ZHGA=-,所以点M的轨迹长度为一x4=—.

333

故选：C

本小题主要考查线面角的概念和运用，考查动点轨迹方程的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查数形结合

的数学思想方法，属于难题.

4.C

【解析】

根据已知条件判断出数列｛S“+l｝是等比数列，求得其通项公式，由此求得s“.

【详解】

由于(S〃+1)(S“+2+1)=(S.M+1)2(〃WN*),所以数列｛S“+l｝是等比数列，其首项为1+1=卬+1=2,第二项为

4

52+1=6+4+1=4,所以公比为,=2.所以S“+l=2",所以S“=2"—1.

故选：C

本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.

5.A

【解析】

A项，由a>6得至,则c-a<c-b,故A项正确；

B项，当c=0时，该不等式不成立，故B项错误；

C项，当。=1,6=-2时，1〉—工，即不等式!〈工不成立，故C项错误；

2ab

bb

D项，当Q=—l,匕=—2时，一二2〉1,即不等式一<1不成立，故D项错误.

aa

综上所述，故选A.

6.D

【解析】

构造函数/(x)=g,利用导数求得/(%)的单调区间，由此判断出a,"c的大小关系.

X

【详解】

依题意，得”=in^=也，b=e-1=—,c=迎上=度.令/(x)=史，所以r(x)=主段.所以函数f(x)

3e88xx

在(0,e)上单调递增，在(e,+co)上单调递减.所以"(x)]1mx=/(0)=工=人，且/⑶>/(8),即a>c,所以Z?>a>c.

e

故选：D.

本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.

7.D

【解析】

图象关于y轴对称的函数为偶函数，用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.

【详解】

图象关于y轴对称的函数为偶函数；

-xX

A中，XGR=-/w,故/(x)=为奇函数;

J(-X)2+1Vx2+1

B中，/(x)=j7+2x+J7-2x的定义域为[-1,2],

不关于原点对称，故为非奇非偶函数;

C中，由正弦函数性质可知，/(x)=sin8%为奇函数；

。中，xeR且xwO,/(T)=e,故/(x)=,邛”为偶函数.

(—X)X

故选：D.

本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法:

⑴定义法：对于函数/Xx)的定义域内任意一个X都有/(x)=-/(-X),则函数/(尤)是奇函数；都有/(X)=A(-X),

则函数了(元)是偶函数

(2)图象法：函数是奇(偶)函数。函数图象关于原点(V轴)对称.

8.C

【解析】

由图象变换的原则可得g(x)="1cosf2x-^j+1,icosf2x-^je[-1,1]可求得值域；利用代入检验法判断②③;

对g(x)求导，并得到导函数的值域,即可判断④.

【详解】

由题,/(x)=sin2X=1-c°s2x,

则向右平移二个单位可得11

'g(x)——cos2f+—

22

cos12x—[-1,1],.-.g(x)的值域为[0,1],①错误；

TTTTJT

当x=一时,2》——=0,所以X=一是函数g(x)的一条对称轴，②正确;

12612

JTIT7T\7C1I

当％=工时,2%一：=彳,所以g(x)的一个对称中心是|③正确；

362\31)

g'(x)=sinl2x-^je［一1』］,则3xp%2eR,g'。)=-1,g'C/)=1,使得g'(x1Ag'®)=-1,则g(无)在x=%和

x=%处的切线互相垂直，④正确.

即②③④正确，共3个.

故选:C

本题考查三角函数的图像变换，考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心，考查导函数的几何意义的应用.

9.C

【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.

【详解】

解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P-ABC,

正方体的棱长为2,

该几何体的表面积：

—X2X2H—X2X2H—x2x2\/2H—x2x2"\/2=4+4\/2.

2222

故选C.

本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.

10.C

【解析】

利用数量积的定义可得。，即可判断出结论.

【详解】

解：\b-a\=A/3>b~+a2-1a»b=3>22+1-2x2x1xcos

171

解得cos8=—,6e[0,乃],解得6=—,

23

二“It-三|=百”是“夕=g”的充分必要条件.

故选：C.

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

11.D

【解析】

取AC中点E，过以作板，面AgG，，可得△/“N为等腰直角三角形，由AAPMMAAEM，可得=

5

当时，MN最小，由MF=JMN，故

2

（亚、

2PM+42MN=2PM+—MN=2（EM+MF）＞2AAl=2,即可求解.

I2J

【详解】

取AC中点E，过以作诋，面A/iG，，如图:

贝IJAAPMMAAEM，故PM=EM,

而对固定的点"，当时，MN最小.

此时由板，面AB]G，，可知AMFN为等腰直角三角形，MF=—MN，

2

故2PM+叵MN=2PM+—MN=2^EM+MF)>2AA[=2.

2

IJ

故选：D

本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

12.D

【解析】

根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可.

【详解】

由条件可得/(_2_x)=_2_x+g(_2__x)=_2_x+g(x)+2x+2=g(x)+x=/(x)

函数关于直线x=-1对称；

•/。)在-1,+8)上单调递增，且在—2<f<0时使得/⑼•/⑺<0；

又'/(-2)=/(0)

../(0<0,/(-2)=/(0)>0,所以选项3成立；

3||1

t2+t+2——=(Z+—)2+—>0,/+/+i比—禺对称轴选，

2242

1

.•.可得/(9/+。+1)>/(5),二选项4成立；

Q+3)2-Q+2)2=2f+5>0,.-.U+3|>|r+2|,二可知/+2比/+1离对称轴远

.-./(?+2)>f(r+l),选项。成立；

-2<r<0,.•."+2)2-Q+iy=2/+3符号不定，.-.It+2\,|f+l|无法比较大小,

.•"(r+l)>/(r)不一定成立.

故选：D.

本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3"

13.y=10sm-x-\---+--20,xw[6/4]

•(84

【解析】

根据图象得出该函数的最大值和最小值,可得A=皿一5,b岂空土式画，结合图象求得该函数的最小正周期T,

22

可得出。=彳「，再将点(10,20)代入函数解析式，求出9的值，即可求得该函数的解析式.

【详解】

由图象可知，Jmax=30,ymin=10,,A=2s空/包=io,b==20,

27r7i

从题图中可以看出，从614时是函数丁=人5近(5+0)+6的半个周期，则7=2x04-6)=16,J.CD----——.

T8

jr3冗)7[

又可*10+夕=2»+2左》,keZ,得0=彳+2左乃(左£Z),取0=7，

....,.(兀3万

所以丁=1051111区]+彳+20,xe[6,14].

’2皿生+用+20,

故答案为:xe[6,14].

本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.

10

14.——

11

【解析】

模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出S的值，用裂项相消法求和即可.

【详解】

模拟程序的运行过程知,该程序运行后执行:

1111

S=-------\~+-------+•••+

1x22733x410x11

1

TT

10

11

故答案为:石■

本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.

,10

15.—

11

【解析】

画出不等式组表示的平面区域，将目标函数理解为点(x,y)与(-2,0)构成直线的斜率，数形结合即可求得.

【详解】

不等式组表示的平面区域如下所示:

510

数形结合可知，当且仅当目标函数过点3

3'5时，斜率取得最大值,

10

yio

故Z的最大值为彳心一=7T

-+211

3

故答案为：—■

本题考查目标函数为斜率型的规划问题，属基础题.

16.4

【解析】

先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差.

【详解】

解：某地区连续5天的最低气温(单位：。C)依次为8,-4,-1，0,2,

平均数为：1(8-4-1+0+2)=1,

,该组数据的方差为：

52=1[(8-1)2+(^1-1)2+(-1-1)2+(0-1)2+(2-1)2]=16,

,该组数据的标准差为1.

故答案为：1.

本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础

题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)xe(0,l)u(2,+»)时，函数单调递增，xe(l,2),,函数单调递减，1⑴,1141n2—8;)(x)111ax—5；⑵见

解析

【解析】

(1)求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值；

(2)易得加^(41112—8,—5)且0<0<1</7<2<0,要证明0—“<2,即证0<2+0,即证/(。)=/9)</3+2),

即/(«+2)—/(a+2)>0对Vae(0,1)恒成立，构造函数

g(x)=f(x+2)—/(%),xe(0,l),利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；

【详解】

解：(1)因为-6x+41nx定义域为(0,+8),

所以/'(x)=2(x—D(x—2),

X

.•.xe(0,l)o(2,4w)Ht,f'(x)>Q,即/(%)在(0,1)和(2,茁)上单调递增，当xe(l,2)时，f'(x)<0,即函数

/(九)在(1,2)单调递减，

所以/(%)在尤=2处取得极小值，在x=1处取得极大值；

，小)极小值=/(2)=41n2-8,/⑴极大值=/(D=-5；

(2)易得加e(41n2-8,-5),0<«<l<b<2<c,

要证明c—a<2,即证c<2+a,即证/(c)=/(a)<f(a+2)

即证f(a+2)-/(a+2)>0对Vae(0,1)恒成立，

令g(x)=/(x+2)—/(x),xe(O,l),

贝ug,(x)=r(x+2)—r(%)=RD；-3］〉0

x+2x

令，(x)>0,解得l〉x〉6-1，即g(x)在(6-1,1)上单调递增；

令g'(x)<0,解得0<x(百—1,即g(x)在(0,3—1)上单调递减；

则g(x)在》=逐-1取得极小值，也就是最小值，

gCO疝n=g志-1)=4>/3-12+41n(73+l)-41n(V3-l)>4®—12+4Ine—4(出-2)=0从而结论得证.

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于

中档题.

18.

【解析】

运用矩阵定义列出方程组求解矩阵二

【详解】

由特征值、特征向量定义可知，二二

即「,,得一-,

匕匕］匕二；1

同理可得3二+二二=」二解得口=7D=J'_,.因此矩阵r.

本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单

19.(1)见解析；(2)小亘

41

【解析】

(1)取的中点证明。四〃4。,9//。,则平面0加石〃平面40则可证EO//平面ACD.

(2)利用VETBD=匕-EBD，AC是平面BED的高，容易求.SABOE=goExCZ)=gx2x3=3,再求SABD,则点E

到平面MD的距离可求.

【详解】

解:(1)如图：

D

取BC的中点“，连接OM、ME.

在，ABC中，。是AB的中点，M是的中点，

OM〃^。，^。2平面初立^加匚平面项。，故AC〃平面£MO

在直角梯形3CDE中，DECB,且DE=CM,

四边形MCDE是平行四边形，，石M〃CD,同理CD〃平面EMO

又CDcAC=C,故平面EMO〃平面ACD,

又•EOu平面EMO,EO//平面ACD.

（2）QAB是圆。的直径，点。是圆。上异于4、3的一点，

:.AC±BC

又：平面5CDE，平面ABC,平面BCDEc平面ABC=BC

二.AC_L平面3CDE,

可得AC是三棱锥A-BDE的高线.

在直角梯形3CDE中，SABDE=DExCD=^x2x3=3.

•九

设E到平面ABD的距离为h,则VE_ABD=VA_EBD,即1S^BD=gS&EBD­AC

由已知得AB=5,BD=5,AD=342,

iA13741

由余弦定理易知：cosZABD=—,则SAAM

O«/AADU=-AB-BDsinZABD=——

22

解得叵，即点E到平面加的距离为g叵

4141

6国

故答案为:

41

考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题.

3

/1

20.(1)an—3n(n-1,2,),bn=3n+2'~(n=1,2,)；(2)—n(n+1)+2"-1

【解析】

试题分析：(1)利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论；(2)利用分组求和法，由等差数

列及等比数列的前n项和公式即可求得数列也)前n项和.

试题解析：

(I)设等差数列｛an｝的公差为d,由题意得

-a4_al-12-3T

H.'.an=ai+(n-1)d=ln

33

设等比数列｛bn-an｝的公比为q,则

b4~a<20-12

q-■■=8,/.q=2,

b「J”3

n1=nn1

.>.bn-an=(bi-ai)q'2-1,bn=ln+2

(II)由(I)知bn=ln+2n-i,:数列｛In｝的前n项和为米(n+1),

1-on

数列｛2n-1｝的前n项和为1x2_二=2。-1,

1-2

3

...数列｛bn｝的前n项和为；=—n(n+1)+211-1

2

考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和.

21.(1)0.8(2)详见解析(3)事件。虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02,所以认为早期体验用户没有发生

变化，详见解析

【解析】

(1)由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G,结合古典撷型的概率计算公式，

即可求解；

(2)由题意X的所有可能值为01,2,利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分

布列，利用期望的公式，即可求解.

(3)设事件。为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，得到七概率为P(。)，即可得

到结论.

【详解】

(1)由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早

期体验用户和中期跟随用户的频率，即---------=0.8.

1000

(2)由题意X的所有可能值为0,L2,

记事件A为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”,

事件3为“从中期跟随用户中随机抽