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文档简介
2024-2025学年湖南省永州市宁远县高三上学期入学联考数学
检测试卷
注意事项:
1.全卷满分150分,时量120分钟.
2.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效.
3.考试结束后,只交答题卡.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一
个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合/={x|/-4x+3<0},5={x|0<x<2},则4nB=()
A.[0,3)B.(0,3)c.(13D.(1,2)
2.若z-3i=3+i,则归=()
A.3B.V13c.5D.Vio
3.已知向量a=(2,〃?),=(m+l,-l),若Q'则m的值为()
A.2B.1c.-1D.-2
4.在等差数列{%}中,若生+。5+。7+。9+%1=10°,则。1+%3的值为()
A.20B.30C.40D.50
5.若sina+V^cosa=1,贝()
]_1D.—皇
A.—B.C.——
2222
6.已知外〃是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()
A.若7"_La,e_L£,则机〃?
B.若〃7//a,n//a,则机〃n
C.若a_L〃凡〃1_尸,则夕〃尸
D.若mua,nua,m〃加其〃[},则e〃夕
7.函数/(x)=[:-“cosx的部分图象大致是()
yk
71V|VTV
8.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游,由于是旅游的旺季,他们在景区
附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间,并约定每个房间都要住人,每个房间最多住2
人,且男女不能混住.则不同的安排方法有()种
A.1960B.2160C.2520D.2880
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0
分.
9.下列求导过程正确的选项是()
D.(logax)=--—
(InaJxIna
10.设函数/(x)=2sin(2x+W,则下列结论正确的是()
A.f(x)的最小正周期为兀
B.1(x)的图象关于直线x=5对称
6
C./(X)的一个零点为尤=-3
6
D.7'(x)的最大值为1
11.下列说法中正确的是()
A.线性回归分析中可以用决定系数上来刻画回归的效果,若尺2的值越大,则模型的拟合效
果越好
B.已知随机变量X服从二项分布3。"),若E(X)=20,D(X)=10,则〃=40
C.已知y关于X的回归直线方程为j=0.3-0.7x,则样本点(2,-3)的残差为T.9
322
D.已知随机事件A,3满足尸(8)=丁P(AB)=-,则尸(48)=]
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知平面向量Z=[1-6),求,+24=.
22
13.已知直线>=氐是双曲线\-三=1(。>0,6>0)的一条渐近线,则该双曲线的离心率
ab
为.
14.若函数〃刈=|2,-311-%只有1个零点,则机的取值范围是.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知。、b,。分别是AABC内角A,B,C的对边,(6-a)cosC=c(cos/-cos8),b2=2ac.
(1)求cosC;
(2)若AABC的面积为店,求c.
16.如图,在三棱锥尸-N8C中,ABVBC,AB=BC=-PA,点。、。分别是/C、PC的中
2
点,OP_L底面48C.
⑴求证:。。〃平面P48;
(2)求直线PA与平面PBC所成角的大小.
22
17.已知40,3)和313,[为椭圆C:0+£=1、>QO)上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过尸的直线/交C于另一点2,且的面积为9,求/的方程.
18.已知函数/(x)=a(x-l)-lnx+l.
⑴求/(x)的单调区间;
(2)当aV2时,证明:当x>l时,/(x)<ei恒成立.
19.已知数组4…,册,如果数组纥:可也,…也满足=4,且与+4_]=4+%_],其中
k=2,3,则称纥为4的“兄弟数组”.
(1)写出数组4:4,2,3,7,1,8的“兄弟数组”线;
(2)若4的“兄弟数组”是拓,试证明:如,小必成等差数列;
(3)若〃为偶数,且4的“兄弟数组”是反,求证也=可
1.D
【分析】先求集合/,再根据交集运算求解.
【详解】因为/={小2-4》+3<0}=何1<》<3},J3={x|0<x<2},
所以/口3=(1,2).
故选:D.
2.C
【分析】根据题意求得z=3+4i,进而求模长.
【详解】因为z-3i=3+i,则z=3+i+3i=3+4i,
所以目=A/32+42=5.
故选:C.
3.D
【分析】由向量垂直的坐标表示列方程等于零求解,可得结论.
【详解】根据题意知。=(2,加),6=(冽+1,T),a,
则Q%=(2,冽)•(加+2m+2-m=0,解之可得加=-2
故选:D
4.C
【分析】直接由等差数列的性质即可求解.
22
【详解】由题意%+%=2的=不(5。7)=;-X(%+%+%+%+%1)=40.
故选:C.
5.B
【分析】根据辅助角公式求得sin[a+三]=
再用诱导公式即可求解.
(兀11.(兀)1
【详解】因为sina+JGcosa=1,所以2sin
13j13J2
所以cos(a一胃=cos一(3“=c0s(3)r7ir7^1.(
a1=cos—1or+—j=sin1or+
故选:B
6.C
【分析】利用空间点线面的位置关系判断各项;
【详解】对于A,若加,c,a_L£,则机〃。或mu0,A错误;
对于B,若加〃a,〃〃a,则加〃〃或加,〃相交或异面,B错误;
对于C,因为加_La,%〃〃,所以〃_La,又因为〃_L£,所以a〃6,C正确;
对于D,若加ua,〃ua,加〃£,”〃尸,则a〃尸或两平交,D错误;
故选:C.
7.D
【分析】先利用奇函数定义判断函数/(X)为奇函数,排除A;再利用y轴右侧有两个零点排
除B;在根据函数值的符号排除C,即可判断.
【详解】函数/(尤)的定义域为卜卜*0},
因为cos(-x)=-cosx=-/(x),所以/(尤)为奇函数,排除A;
易知/(1)=/0,排除B;
当x>0且无限趋近于0时,--x>0,cosx>0,即/(无)>0,排除C.
故选:D
8.C
【分析】就3名女生需要的房间数分类讨论后可得正确的选项.
【详解】3名女生需要住2个房间或3个房间.
若3名女生住2个房间,则不同的方法种数为C;C;A;,
若3名女生住3个房间,则不同的方法种数为
则不同的安排方法有C;C;A;+gc;A;=2520种.
故选:C.
9.BCD
利用导数的计算公式逐一判断即可.
【详解】解:根据题意,依次分析选项:
对于A,(—)(xD--y,A错误;
Xx
对于B,(石),=(£)'=Lxx《=去,B正确;
对于C,(M)'=axcTi,C正确;
Inx1
对于D,(logax),=(--),=———,D正确;
Ina尤Ina
则B、C、D计算正确.
故选:BCD.
本题考查导数的运算,是基础题.
10.AC
【分析】根据八久)=心也(3尤+切的性质逐一判断即可.
27T
【详解】7=?=兀,故A正确;
2
dM=2sin§=百,所以x不是对称轴,故B错误;
V6736
/,j=2sin0=0,所以x=-1是/(X)的一个零点,故C正确;
因为振幅/=2,所以/("的最大值为2,故D错误.
故选:AC.
11.ABCD
【分析】根据决定系数的性质、二项分布的期望和方差的计算公式、线性回归方程的残差以及
条件概率的计算公式,对每个选项进行逐一分析,即可判断.
【详解】对于A,线性回归分析中可以用决定系数尺2用来刻画回归的效果,若尺2的值越大,
则模型的拟合效果越好,故A正确;
对于B,随机变量服从二项分布8(〃,0),若于幻=20,仅混=10,
np=20,P=2,故正确;
则初(l-p)=10'解得’B
n=40
对于C,y关于x的线性回归方程为,=0.3-0.7x,将x=2代入回归方程中得
y=0.3-1.4=-l.l,即残差为-3-(-11)=-1.9,故C正确;
32
对于D,因为尸(/)=(,/(45)=不
2
所以故D正确;
5
故选:ABCD
12.275
【分析】利用向量坐标的加减运算和模长计算公式得到答案.
【详解】£+23=(、瓦1)+2(1,-6)=(G+21-2«),所以模长为
故答案为.2百
13.叵
5
【分析】根据题意可得:=右,由e即可得解.
b
【详解】由题意可知£=若,所以e=£=J士匕
ba\az
故答案为.巫
5
14.[2,+oo)u{-l}
2-2x,x<log3
【分析】函数〃x)=,-3卜1-"2只有1个零点等价于函数g(x)=|2-3|-l=2
x
2-4,x>log23
与函数了=机有且只有1个焦点,借助指数函数的图象与性质可得函数g(x)的大致图象,即可
得解.
【详解】由〃外=|2「3/1-加=0,得,-3卜1=机,
设函数g(、H2y1-1弋二:渭;
由指数函数性质可知,函数g(x)在(-8,log23)上单调递减,
在(10g23,+s)上单调递增,且2工«0,+8),g(log23)=0-l=-l,
可作出g(x)的大致图象,如图所示,
由图可知,加的取值范围是[2,+8)口{-1}.
故答案为.[2,+8)。{-1}
7
15.(1)-;(2)2.
o
(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简,然后结合余弦定理可求;
(2)由已知结合三角形的面积公式即可直接求解.
【详解】(1)由(6-4)3。=+054-35)及正弦定理可得,
sinBcosC-sin/cosC=sinCcos74-sinCcosB,
所以sin3cosC+sinCcosB=sinCcos/+sin/cosC,
即sin(5+C)=sin(Z+C),
所以sin/=sinB,
所以。=b,
因为〃=lac=2bc,
所以Z)=2c,
由余弦定理可得,cosC=『+y]c24c2+4c2-c27
2x2cx2c8
(2)由(1)知sinC=
因为A4BC的面积为JF,所以LqbsinC=xX6=4三
解可得。=4,
228
则c=L=2
2
本题主要考查了正弦定理,余弦定理,和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用,
属于中档试题.
16.(1)证明见解析
0.V2W
(z)arcsm-------
30
【分析】(1)由已知,根据点。、。分别是/C、尸C的中点,可知然后利用线面平
行的判定定理即可完成证明;
(2)取8C的中点E,连接PE,过点。作。尸_LP£交PE于尸,连接。尸,先证明BC_L平面
POE,得到从而证明。尸,平面PBC,得到/OD尸是与平面P3C所成的角,
设边长,计算即可.
【详解】(1)由已知,点。、。分别是/C、尸C的中点,所以OD//P4,
又融u平面尸OD<Z平面P45,所以。£>〃平面尸N3,
得证.
(2)
因为48_LBC,OA=OC,所以。4=08=OC,
又因为。尸_L平面/8C,所以PA=PB=PC,
取3c的中点£,连接尸£,则尸
QP_L平面4BC,BCu平面48C,所以OP_L5C,
OP,PEGPOE,S.OPr>PE=P,所以8C_L平面POE,
过点。作交PE于尸,连接D尸,
因为8C_L平面尸0£,OFu平面尸0E,所以3C_L0F,
又因为OF_LPE,BC,PEuPBC,且BCcPE=E,所以OF_L平面尸BC,
因为OD//P4,所以直线产/与平面P3C所成角就是。。与平面尸3C所成的角,
所以ZODF是OD与平面尸BC所成的角,
WfAB=BC=—PA=\,所以PA=2,PO=,
22
mJ港任的iclPO-EOV210
22PE30
在瓦A。。尸中,sinZODF=—=^^~.
OD30
所以直线尸/与平面P8C所成角的大小为arcsin'巫.
30
1
17.⑴]
⑵直线/的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
【分析】(1)代入两点得到关于。力的方程,解出即可;
(2)方法一:以|4尸|为底,求出三角形的高,即点3到直线N尸的距离,再利用平行线距离公
式得到平移后的直线方程,联立椭圆方程得到3点坐标,则得到直线/的方程;方法二:同法
一得到点8到直线AP的距离,再设,根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组,
解出即可;法三:同法一得到点B到直线/尸的距离,利用椭圆的参数方程即可求解;法四:
首先验证直线斜率不存在的情况,再设直线^=区+3,联立椭圆方程,得到点3坐标,再
利用点到直线距离公式即可;法五:首先考虑直线P3斜率不存在的情况,再设
pB.y-±=k(X-^9利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案;法六:设线法与法
五一致,利用水平宽乘铅锤高乘!表达面积即可.
2
b=3
【详解】(1)由题意得C9,解得
2+“k=12
L2b2~
]_
2
3—二1
(2)法一:,21,则直线ZP的方程为》=—二%+3,即x+2y—6=0,
3k2
W卜J(。-3『+(3-3=孚,由⑴知0:巳+91'
2x9126
设点B到直线/尸的距离为4,则运=亍,
~2~
则将直线NP沿着与NP垂直的方向平移坦5单位即可,
5
此时该平行线与椭圆的交点即为点B,
设该平行线的方程为:x+2y+C=0,
则@I,解得C=6或C=-18,
V55
22「v_2
3
—2L[rx=o
当C=6时,联立{12+9=,解得〈。或〈3,
x+2y+6=0〔片-3P=一]
即8(0,-3)或,3,-j,
3a
当8(0,-3)时,此时向、,直线/的方程为y=;x-3,即3x-2y-6=0,
当时,此时勺=g,直线/的方程为y=即x-2y=0,
___|_£__]
当C=-18时,联立,129得2/_27>+117=0,
x+2y—18=0
A=272-4x2x117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.
综上直线I的方程为3》-2发6=0或五-2卜=0.
法二:同法一得到直线/尸的方程为尤+2广6=0,
点B到直线AP的距离d=坦5,
5
|x+2j-6|_1275
00%=-3
75一5工0二0
设8(X(),%),则<解得《3或
日+区=1-5%)二—3
129
即6(0,-3)或13,一目,以下同法一.
法三:同法一得到直线/P的方程为x+2y-6=0,
点B到直线AP的距离d=35,
5
设3(2石(:050,3$山0),其中。€[0,2兀),则有RGcosO+Gsine61=>石.
A/55
,、」,7COS(7=U
联立cos?e+sin?6=1,解得{或{.八
1sm8=-1
sin(9=——【
I2
即8(0,-3)或13,-£|,以下同法一;
法四:当直线的斜率不存在时,此时现0,-3),
133
\P^=-X6X3=9,符合题意,此时号=/,直线/的方程为即3x_2y_6=0,
当线的斜率存在时,设直线45的方程为》=履+3,
y=kx+3
联立椭圆方程有/y2_,则(4/+3)f+24奴=0,其中女w的「即发片」,
----1------12
〔129
-24k1
解得x=0或x=-5——,左w0,k手一一,
4左2+32
令x=>-12r+9-24k-12r+9
,贝!Jy=,贝”
4k2+34r+34/+3'4/+3
同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,
1275
点8到直线4尸的距离[=
5
-24kI2><-12-2+9§
2+2
贝I]4k+3*4k+31275,解得后=,,
忑=—一
此时4-3,-11,则得到此时左,=;,直线/的方程为夕=],即x-2y=0,
综上直线/的方程为3x-2y—6=0或x-2y=0.
法五:当/的斜率不存在时,/:》=3,«3,-|),忸同=3〃到%距离d=3,
19
此时S”即=5X3x3=5w9不满足条件.
3
当/的斜率存在时,设尸8:y-3=/一3),令尸(国,必),3(%,%),
3
y=k(x-3)+-
消)可得(4左2+3卜2_(24左2—12左)%+36左2一36左一27二0,
22
土+匕=1
1129
A>0,且左片kAP,即左w——,
24左2—12左I3k2+9k+2^-
_______.------------;-----------4后
,|尸同=Jr+l,2
(xl+x2)-4XJX2=------
36斤2-36左-274左2+3
xx
{24r+3
4由“'I//+9左+彳
A到直线PB距离
△PAB=
VP+124k2+3
1313
.•.左=_或_,均满足题意,:.l\y=-x^y=—x-3,即3X_2)_6=0或x_2y=0.
2222
法六:当/的斜率不存在时,/:》=3,«3,-0,|尸耳=3〃到M距离1=3,
19
此时S®=-x3x3=-^9不满足条件.
3
当直线/斜率存在时,设/:》=©、—3)+:,
设/与>轴的交点为0,令尤=0,贝|。(0,-3左+|1,
片2《,则有(3+2
X2一8左13左一|)x+36左2—36左一27=0,
联立
3x2+4v2=36
(3+4左2)》2-8左(3左一:1
x+36左2-36左一27=0,
其中A=8/13左一|]一4(3+4/)06/—36左一27,0,且左力一(,
36左2-36左-2712左2-12左一9
贝UB
3X=-3Z4P-,/二~3+4月2
则5=;|/0|阵-乙|=;3左+:竽岩=9,解的A=:或%=]经代入判别式验证均满足
题意.
13
贝!I直线/为y=,x或y=]X_3,即3x_2y_6=0或无-2y=0.
18.⑴见解析
(2)见解析
【分析】(1)求导,含参分类讨论得出导函数的符号,从而得出原函数的单调性;
(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x>l时,ei-2x+l+lnx>0即可.
【详解】(1)〃尤)定义域为(0,包),/«=«--=-
XX
当时,/(x)=竺匚<0,故/(x)在(0,内)上单调递减;
X
当。>0时,时,f\x)>0,/(X)单调递增,
当xe(0,£|时,/V)<0,〃x)单调递减.
综上所述,当a
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