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文档简介

专题05一元二次方程、分式方程的解法及应用综合过关检测

(考试时间:90分钟,试卷满分:100分)

一、单选题(每小题2分,共6分)

1.关于x的方程(m-1)x2-2x-1=0是一元二次方程,则()

A.m>lB.m<lC.mrTD.mrl

【答案】D

【分析】根据只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可.

【详解】由题意得:m-1#0,解得:“#4.

故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:“化简

后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0";“整式方程”.

2.按如图所示的运算程序,若输出的V=9,则输入的X值为()

A.3B.-3C.5D.-5

【答案】D

【分析】分当x>2时和当烂2时,两种情况计算,结合所得的结果即可选出正确选项.

2

【详解】解:当x>2时,9=%-7,解得网=4,x2=-4(舍去),

当烂2时,9=21.r|-1,解得退=-5,%=5(舍去),

故输入的x的值可能为4或-5,符合题意的为D,

故选:D.

【点睛】本题考查与程序有关的实数计算,解一元二次方程等.能分类讨论是解题关键.

3.“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一

本,某组共互赠了210本图书,如果设该组共有无名同学,那么依题意,可列出的方程是()

A.x(x+l)=210B.x(x-l)=210

C.1)=210D.12x(x-l)=210

【答案】B

【分析】设该组共有1名同学,依题意,每位同学送出(1-1)本书,进而列出方程,即可求解.

【详解】设该组共有1名同学,那么依题意,可列出的方程是1)=210,

故选:B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键.

二、填空题(每小题3分,共18分)

4.设加、〃是一元二次方程Y+2%—5=0的两个根,贝U川+3m+〃=.

【答案】3

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m-5=0,贝!|m2=-2m+5,代入m2+3m+n得至!jm+n+5,然

后根据根与系数的关系得到m+n=-2,再利用整体代入的方法计算.

【详解】是一元二次方程x2+2x-5=0的根,

.*.m2+2m-5=0,BPm2=-2m+5,

m2+3m+n=-2m+5+3m+n

=m+n+5,

n为方程x2+2x-5=0的两个根,

/.m+n=-2,

m2+3m+n=-2+5=3.

故答案是:3.

【点睛】考查了一元二次方程ax?+bx+c=0(aWO)的根与系数的关系:若方程的两根为x“曲,

则XI+X2=-2,X,«X2=-.也考查了一元二次方程的解.

aa

5.已矢口a2+5。=-2,b2+5Z?=-2,贝lja+b的值二.

【答案】-5或-5±而

【分析】依题意解%2+5%=一2后,分a=b与J>进行讨论即可.

【详解】解:依题意得a,b是方程d+5x=_2的解,

-5+V17-5-V17

解%2+5%=-2得:X]―,*2

2

当a=b=*便

时,a+b=-5+V17,

2

三叵时,a+b=-5-Vi7,

当a=b=

也i人口汁।k-5+—5—A/T7

当a】Z?时,a+b=-----------+------------=—5,

22

故答案为:-5或-5土折7.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的问题,掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键.

6.已知x=根是关手尤的一元二次方程N+3x-1=0的根,则一且二=.

l-3m

【答案】-4;

【分析】把x=m代入已知方程,得到m2=l-3m,整体代入所求的代数式进行求值即可.

【详解】解:把x=m代入X2+3X-1=0,得m2+3m-l=0.

所以m2=l-3m.

.4;7?24m2

所以h------=—「-=-4

1-3mm"

故答案是:-4.

【点睛】考查了一元二次方程的解,能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又

因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的

根.

7.若根是关于尤的方程N-2元-1=0的解,则代数式6m-3/+2的值是.

【答案】-1

【分析】把机代入方程,整体求值即可.

【详解】解:机是关于龙的方程N-2元-1=0的解,

则m2-21n-1=0,即nr-2m—

-3nr+6m=-3,

6m-3源+2=-3+2=-1,

故答案为:-1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值,解题关键是明确一元二次方程解的意义,树立整体

思想,代入求值.

8.已知七,%是方程4/一5x+l=0的两个根,则代数式1的值是.

【答案】5

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出演+々=-2=:,不多=£=:,再将^+工化为"三即

Q4CL4玉々玉马

可求解.

【详解】解::毛,巧是方程4/一5x+l=0的两个根,

.b5c1

・・%+%2=——,-=—,

a4a4

5

...111=x+w

%x2x1x2j_

一4

故答案为:5.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系,解题的的关键是掌握一元二次方程

办2+/?x+c=O(QW0)根与系数关系:x1+x2=----,项,2=一.

aa

9.已知方程2@-1)(%-3")=%(加-4)两根的和与两根的积相等,则心=.

【答案】2

【分析】先将方程整理成一般形式:2/+(2-7加卜+6血=0,再根据一元二次方程根与系数的关系列出关

2—11TL

于m的方程———=3m,解方程求出m.

【详解】解:2(x-l)(x-3m)=x(m-4),

2x2+(2-7/n)x+6m=0,

由题意,得-2上—7产1Tl=3m,

解得"2=2.

故答案为:2.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是注意掌握一元二次方程的两根毛、演之

间的关系.

三、解答题(10-12题每题7分,13-15每题8分,16题10分)

4+4'

10.先化简再求值:———1+(〃-2),其中a是方程1+2°一9=0的根.

a-414a}

1

【答案】

a2+2。9

【分析】先计算括号内的分式的减法,再把除法化为乘法运算,约分后可得结果,再把〃+2a-9=0化为

/_2a=9,再整体代入计算即可.

【详解】解:百4・总一41A十一2)

_4a21

(a+2)(a—2)4。a—2

_4(tz-2)21

(〃+2)(〃-2)4〃a-2

1

Q(〃+2)

1

=-7,

a+2〃

,•*a2+2a—9=0,

••a?+2a=9,

二.原式=:.

11.已知关于x的方程—+(无一l)x-4=0.

(1)若该方程有一个根是-1,求女的值;

(2)求证:该方程一定有实数根;

(3)若该方程的根是两个连续整数,求上的值.

【点睛】本题考查的是分式的化简求值,一元二次方程的解的含义,掌握“分式的混合运算以及整体代入法

求值”是解本题的关键.

【答案】(1)k=l;(2)证明见解析;(3)上。或-2

【分析】(1)将A-1代入方程中,解出左的值即可;

(2)根据一元二次方程根的判别式即可得出结论;

(3)先求出一元二方程的两根,即可得出人的值.

【详解】解:(1)该方程有一个根是-1,

代入x=-l,得:

(-l)2+(^-l)x(-l)-^=0

一2左+2=0

k=l;

(2)证明:

=k2+2k+\

=(Jt+l)2>0,

••.该方程一定有实数根;

(3)解方程:

x2+(k-l)x-k=O

(x+k)(x-l)=O

西=-k,x2=1,

■该方程的根是两个连续整数,

—k-0或一左=2,

解得仁0或-2.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程,熟记一元二次方程的求解方法和

根的判别式是解本题的关键.

12.扬州一农场去年种植水稻10亩,总产量为6000kg,今年该农场扩大了种植面积,并且引进新品种“超

级水稻”,使总产量增加到18000kg,己知种植面积的增长率是平均亩产量的增长率的2倍,求平均亩产量

的增长率.

【答案】50%

【分析】设平均亩产量的增长率为无,则种植面积的增长率是2x,根据总产量=种植面积x平均亩产量即可

得出关于尤的一元二次方程,解之即可得出结论.

【详解】解:设平均亩产量的增长率为x,则种植面积的增长率是2x,

根据题意得:10x(l+2x)x6:;。x(1+x)=18000,

解得:x/=50%,x2=-200%(舍去).

答:平均亩产量的增长率为50%

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出方程组是解题的关键.

13.“一碗面,一座城”!中江挂面在2022年全国魅力城市PK中,作为德阳市的一张名片登上中央电视台,

为“德阳魅力城”的晋升立下了汗马功劳,为发展中江经济,县政府决定在2021年底生产100吨挂面的基础

上继续扩大生产规模,到2023年底产量达到169吨.

(1)求中江挂面这两年产量的平均增长率;

(2)若按此速度继续扩大生产规模,请你计算到2023年底时,中江挂面的产量将达到多少吨?每吨挂面可盈

利6千元,则2023年仅挂面一项,能为中江赚多少钱?

【答案】(1)30%

(2)1318200元

【分析】(1)设这两年产量的平均增长率为羽根据题意,得100(1+*)2=169,解方程即可.

(2)根据平均增长率,求得2023年挂面的产量,乘以单价即可.

【详解】(1)设这两年产量的平均增长率为X,

根据题意,得100(1+X)2=169,

解得%=。3=30%,%=-2.3(舍去),

答:中江挂面这两年产量的平均增长率30%.

(2)169(1+30%)=219.7(吨),

219.7x6000=1318200(元),

答:2023年仅挂面一项,能为中江赚1318200元.

【点睛】本题考查了平均增长率问题,正确列方程并熟练解答是解题的关键.

14.某地2021年为做好“精准扶贫”,投入资金500万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2023年

达到720万元.

(1)从2021年到2023年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?

(2)如果保持增长率不变,请你估计2023年投入资金能否突破1000万元?

【答案】(1)20%;(2)能突破1000万元.

【分析】(1)设年平均增长率为x,根据2021年和2023年该地投入异地安置的资金,即可得出关于x的一

元二次方程,解之取其正值即可得出结论;

(2)根据年平均增长率,计算出2023年的投入资金,与1000万元作比较即可.

【详解】解:(1)设年平均增长率是4

由题意得:500(1+x)2=720,

解得:演=0.2=20%,%2=-2.2(舍去),

答:年平均增长率是20%;

(2)估计2023年投入资金为:

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