2024年上海中考数学一轮复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用 综合过关检测（解析版）

专题05一元二次方程、分式方程的解法及应用综合过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一、单选题（每小题2分，共6分）

1.关于x的方程（m-1）x2-2x-1=0是一元二次方程，则（）

A.m>lB.m<lC.mrTD.mrl

【答案】D

【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可.

【详解】由题意得：m-1#0,解得：“#4.

故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简

后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

2.按如图所示的运算程序，若输出的V=9,则输入的X值为（）

A.3B.-3C.5D.-5

【答案】D

【分析】分当x>2时和当烂2时，两种情况计算，结合所得的结果即可选出正确选项.

2

【详解】解：当x>2时，9=%-7,解得网=4,x2=-4（舍去），

当烂2时，9=21.r|-1,解得退=-5,%=5（舍去），

故输入的x的值可能为4或-5,符合题意的为D,

故选：D.

【点睛】本题考查与程序有关的实数计算，解一元二次方程等.能分类讨论是解题关键.

3.“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一

本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有无名同学，那么依题意，可列出的方程是（）

A.x（x+l）=210B.x（x-l）=210

C.1）=210D.12x(x-l)=210

【答案】B

【分析】设该组共有1名同学，依题意，每位同学送出（1-1）本书，进而列出方程，即可求解.

【详解】设该组共有1名同学，那么依题意，可列出的方程是1）=210,

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共18分）

4.设加、〃是一元二次方程Y+2%—5=0的两个根，贝U川+3m+〃=.

【答案】3

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m-5=0,贝!|m2=-2m+5,代入m2+3m+n得至!jm+n+5,然

后根据根与系数的关系得到m+n=-2,再利用整体代入的方法计算.

【详解】是一元二次方程x2+2x-5=0的根，

.*.m2+2m-5=0,BPm2=-2m+5,

m2+3m+n=-2m+5+3m+n

=m+n+5,

n为方程x2+2x-5=0的两个根,

/.m+n=-2,

m2+3m+n=-2+5=3.

故答案是：3.

【点睛】考查了一元二次方程ax?+bx+c=0（aWO）的根与系数的关系：若方程的两根为x“曲,

则XI+X2=-2,X,«X2=-.也考查了一元二次方程的解.

aa

5.已矢口a2+5。=-2,b2+5Z?=-2,贝lja+b的值二.

【答案】-5或-5±而

【分析】依题意解％2+5%=一2后，分a=b与J＞进行讨论即可.

【详解】解：依题意得a,b是方程d+5x=_2的解,

-5+V17-5-V17

解%2+5%=-2得：X]―，*2

2

当a=b=*便

时，a+b=-5+V17，

2

三叵时,a+b=-5-Vi7,

当a=b=

也i人口汁।k-5+—5—A/T7

当a】Z?时，a+b=-----------+------------=—5,

22

故答案为：-5或-5土折7.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键.

6.已知x=根是关手尤的一元二次方程N+3x-1=0的根，则一且二=.

l-3m

【答案】-4；

【分析】把x=m代入已知方程，得到m2=l-3m,整体代入所求的代数式进行求值即可.

【详解】解：把x=m代入X2+3X-1=0,得m2+3m-l=0.

所以m2=l-3m.

.4；7?24m2

所以h------=—「-=-4

1-3mm"

故答案是：-4.

【点睛】考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又

因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的

根.

7.若根是关于尤的方程N-2元-1=0的解，则代数式6m-3/+2的值是.

【答案】-1

【分析】把机代入方程，整体求值即可.

【详解】解：机是关于龙的方程N-2元-1=0的解，

则m2-21n-1=0,即nr-2m—

-3nr+6m=-3,

6m-3源+2=-3+2=-1,

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确一元二次方程解的意义，树立整体

思想，代入求值.

8.已知七,%是方程4/一5x+l=0的两个根，则代数式1的值是.

【答案】5

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出演+々=-2=：,不多=£=：,再将^+工化为"三即

Q4CL4玉々玉马

可求解.

【详解】解：：毛，巧是方程4/一5x+l=0的两个根，

.b5c1

・・%+%2=——,-=—，

a4a4

5

...111=x+w

%x2x1x2j_

一4

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，解题的的关键是掌握一元二次方程

％

办2+/?x+c=O(QW0)根与系数关系：x1+x2=----，项,2=一.

aa

9.已知方程2@-1)(%-3")=%(加-4)两根的和与两根的积相等，则心=.

【答案】2

【分析】先将方程整理成一般形式：2/+(2-7加卜+6血=0,再根据一元二次方程根与系数的关系列出关

2—11TL

于m的方程———=3m,解方程求出m.

【详解】解：2(x-l)(x-3m)=x(m-4),

2x2+(2-7/n)x+6m=0,

由题意，得-2上—7产1Tl=3m，

解得"2=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是注意掌握一元二次方程的两根毛、演之

间的关系.

三、解答题(10-12题每题7分，13-15每题8分，16题10分)

4+4'

10.先化简再求值：———1+(〃-2),其中a是方程1+2°一9=0的根.

a-414a}

1

【答案】

a2+2。9

【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把〃+2a-9=0化为

/_2a=9,再整体代入计算即可.

【详解】解：百4・总一41A十一2)

_4a21

(a+2)(a—2)4。a—2

_4(tz-2)21

(〃+2)(〃-2)4〃a-2

1

Q(〃+2)

1

=-7，

a+2〃

,•*a2+2a—9=0,

••a?+2a=9,

二.原式=:.

11.已知关于x的方程—+(无一l)x-4=0.

(1)若该方程有一个根是-1,求女的值；

(2)求证：该方程一定有实数根；

(3)若该方程的根是两个连续整数，求上的值.

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，一元二次方程的解的含义，掌握“分式的混合运算以及整体代入法

求值”是解本题的关键.

【答案】(1)k=l；(2)证明见解析；(3)上。或-2

【分析】(1)将A-1代入方程中，解出左的值即可；

(2)根据一元二次方程根的判别式即可得出结论；

(3)先求出一元二方程的两根，即可得出人的值.

【详解】解：(1)该方程有一个根是-1,

代入x=-l,得：

(-l)2+(^-l)x(-l)-^=0

一2左+2=0

k=l;

(2)证明：

=k2+2k+\

=(Jt+l)2>0,

••.该方程一定有实数根；

(3)解方程：

x2+(k-l)x-k=O

(x+k)(x-l)=O

西=-k,x2=1,

■该方程的根是两个连续整数，

—k-0或一左=2,

解得仁0或-2.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，熟记一元二次方程的求解方法和

根的判别式是解本题的关键.

12.扬州一农场去年种植水稻10亩，总产量为6000kg,今年该农场扩大了种植面积，并且引进新品种“超

级水稻”，使总产量增加到18000kg,己知种植面积的增长率是平均亩产量的增长率的2倍，求平均亩产量

的增长率.

【答案】50%

【分析】设平均亩产量的增长率为无，则种植面积的增长率是2x,根据总产量=种植面积x平均亩产量即可

得出关于尤的一元二次方程，解之即可得出结论.

【详解】解：设平均亩产量的增长率为x,则种植面积的增长率是2x,

根据题意得：10x(l+2x)x6：；。x(1+x)=18000,

解得：x/=50%,x2=-200%(舍去).

答：平均亩产量的增长率为50%

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程组是解题的关键.

13.“一碗面，一座城”！中江挂面在2022年全国魅力城市PK中，作为德阳市的一张名片登上中央电视台，

为“德阳魅力城”的晋升立下了汗马功劳，为发展中江经济，县政府决定在2021年底生产100吨挂面的基础

上继续扩大生产规模，到2023年底产量达到169吨.

(1)求中江挂面这两年产量的平均增长率；

(2)若按此速度继续扩大生产规模，请你计算到2023年底时，中江挂面的产量将达到多少吨？每吨挂面可盈

利6千元，则2023年仅挂面一项，能为中江赚多少钱？

【答案】（1）30%

（2）1318200元

【分析】（1）设这两年产量的平均增长率为羽根据题意，得100（1+*）2=169,解方程即可.

（2）根据平均增长率，求得2023年挂面的产量，乘以单价即可.

【详解】（1）设这两年产量的平均增长率为X,

根据题意，得100（1+X）2=169,

解得%=。3=30%,%=-2.3（舍去），

答：中江挂面这两年产量的平均增长率30%.

（2）169（1+30%）=219.7（吨），

219.7x6000=1318200（元）,

答：2023年仅挂面一项，能为中江赚1318200元.

【点睛】本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键.

14.某地2021年为做好“精准扶贫”，投入资金500万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2023年

达到720万元.

（1）从2021年到2023年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）如果保持增长率不变，请你估计2023年投入资金能否突破1000万元？

【答案】（1）20%；（2）能突破1000万元.

【分析】（1）设年平均增长率为x,根据2021年和2023年该地投入异地安置的资金，即可得出关于x的一

元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据年平均增长率，计算出2023年的投入资金，与1000万元作比较即可.

【详解】解：（1）设年平均增长率是4

由题意得：500（1+x）2=720,

解得：演=0.2=20%,%2=-2.2（舍去），

答：年平均增长率是20%；

（2）估计2023年投入资金为：