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文档简介
专题05一元二次方程、分式方程的解法及应用综合过关检测
(考试时间:90分钟,试卷满分:100分)
一、单选题(每小题2分,共6分)
1.关于x的方程(m-1)x2-2x-1=0是一元二次方程,则()
A.m>lB.m<lC.mrTD.mrl
【答案】D
【分析】根据只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可.
【详解】由题意得:m-1#0,解得:“#4.
故选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:“化简
后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0";“整式方程”.
2.按如图所示的运算程序,若输出的V=9,则输入的X值为()
A.3B.-3C.5D.-5
【答案】D
【分析】分当x>2时和当烂2时,两种情况计算,结合所得的结果即可选出正确选项.
2
【详解】解:当x>2时,9=%-7,解得网=4,x2=-4(舍去),
当烂2时,9=21.r|-1,解得退=-5,%=5(舍去),
故输入的x的值可能为4或-5,符合题意的为D,
故选:D.
【点睛】本题考查与程序有关的实数计算,解一元二次方程等.能分类讨论是解题关键.
3.“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一
本,某组共互赠了210本图书,如果设该组共有无名同学,那么依题意,可列出的方程是()
A.x(x+l)=210B.x(x-l)=210
C.1)=210D.12x(x-l)=210
【答案】B
【分析】设该组共有1名同学,依题意,每位同学送出(1-1)本书,进而列出方程,即可求解.
【详解】设该组共有1名同学,那么依题意,可列出的方程是1)=210,
故选:B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共18分)
4.设加、〃是一元二次方程Y+2%—5=0的两个根,贝U川+3m+〃=.
【答案】3
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m-5=0,贝!|m2=-2m+5,代入m2+3m+n得至!jm+n+5,然
后根据根与系数的关系得到m+n=-2,再利用整体代入的方法计算.
【详解】是一元二次方程x2+2x-5=0的根,
.*.m2+2m-5=0,BPm2=-2m+5,
m2+3m+n=-2m+5+3m+n
=m+n+5,
n为方程x2+2x-5=0的两个根,
/.m+n=-2,
m2+3m+n=-2+5=3.
故答案是:3.
【点睛】考查了一元二次方程ax?+bx+c=0(aWO)的根与系数的关系:若方程的两根为x“曲,
则XI+X2=-2,X,«X2=-.也考查了一元二次方程的解.
aa
5.已矢口a2+5。=-2,b2+5Z?=-2,贝lja+b的值二.
【答案】-5或-5±而
【分析】依题意解%2+5%=一2后,分a=b与J>进行讨论即可.
【详解】解:依题意得a,b是方程d+5x=_2的解,
-5+V17-5-V17
解%2+5%=-2得:X]―,*2
2
当a=b=*便
时,a+b=-5+V17,
2
三叵时,a+b=-5-Vi7,
当a=b=
也i人口汁।k-5+—5—A/T7
当a】Z?时,a+b=-----------+------------=—5,
22
故答案为:-5或-5土折7.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的问题,掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键.
6.已知x=根是关手尤的一元二次方程N+3x-1=0的根,则一且二=.
l-3m
【答案】-4;
【分析】把x=m代入已知方程,得到m2=l-3m,整体代入所求的代数式进行求值即可.
【详解】解:把x=m代入X2+3X-1=0,得m2+3m-l=0.
所以m2=l-3m.
.4;7?24m2
所以h------=—「-=-4
1-3mm"
故答案是:-4.
【点睛】考查了一元二次方程的解,能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又
因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的
根.
7.若根是关于尤的方程N-2元-1=0的解,则代数式6m-3/+2的值是.
【答案】-1
【分析】把机代入方程,整体求值即可.
【详解】解:机是关于龙的方程N-2元-1=0的解,
则m2-21n-1=0,即nr-2m—
-3nr+6m=-3,
6m-3源+2=-3+2=-1,
故答案为:-1.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值,解题关键是明确一元二次方程解的意义,树立整体
思想,代入求值.
8.已知七,%是方程4/一5x+l=0的两个根,则代数式1的值是.
【答案】5
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出演+々=-2=:,不多=£=:,再将^+工化为"三即
Q4CL4玉々玉马
可求解.
【详解】解::毛,巧是方程4/一5x+l=0的两个根,
.b5c1
・・%+%2=——,-=—,
a4a4
5
...111=x+w
%x2x1x2j_
一4
故答案为:5.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系,解题的的关键是掌握一元二次方程
%
办2+/?x+c=O(QW0)根与系数关系:x1+x2=----,项,2=一.
aa
9.已知方程2@-1)(%-3")=%(加-4)两根的和与两根的积相等,则心=.
【答案】2
【分析】先将方程整理成一般形式:2/+(2-7加卜+6血=0,再根据一元二次方程根与系数的关系列出关
2—11TL
于m的方程———=3m,解方程求出m.
【详解】解:2(x-l)(x-3m)=x(m-4),
2x2+(2-7/n)x+6m=0,
由题意,得-2上—7产1Tl=3m,
解得"2=2.
故答案为:2.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是注意掌握一元二次方程的两根毛、演之
间的关系.
三、解答题(10-12题每题7分,13-15每题8分,16题10分)
4+4'
10.先化简再求值:———1+(〃-2),其中a是方程1+2°一9=0的根.
a-414a}
1
【答案】
a2+2。9
【分析】先计算括号内的分式的减法,再把除法化为乘法运算,约分后可得结果,再把〃+2a-9=0化为
/_2a=9,再整体代入计算即可.
【详解】解:百4・总一41A十一2)
_4a21
(a+2)(a—2)4。a—2
_4(tz-2)21
(〃+2)(〃-2)4〃a-2
1
Q(〃+2)
1
=-7,
a+2〃
,•*a2+2a—9=0,
••a?+2a=9,
二.原式=:.
11.已知关于x的方程—+(无一l)x-4=0.
(1)若该方程有一个根是-1,求女的值;
(2)求证:该方程一定有实数根;
(3)若该方程的根是两个连续整数,求上的值.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值,一元二次方程的解的含义,掌握“分式的混合运算以及整体代入法
求值”是解本题的关键.
【答案】(1)k=l;(2)证明见解析;(3)上。或-2
【分析】(1)将A-1代入方程中,解出左的值即可;
(2)根据一元二次方程根的判别式即可得出结论;
(3)先求出一元二方程的两根,即可得出人的值.
【详解】解:(1)该方程有一个根是-1,
代入x=-l,得:
(-l)2+(^-l)x(-l)-^=0
一2左+2=0
k=l;
(2)证明:
=k2+2k+\
=(Jt+l)2>0,
••.该方程一定有实数根;
(3)解方程:
x2+(k-l)x-k=O
(x+k)(x-l)=O
西=-k,x2=1,
■该方程的根是两个连续整数,
—k-0或一左=2,
解得仁0或-2.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程,熟记一元二次方程的求解方法和
根的判别式是解本题的关键.
12.扬州一农场去年种植水稻10亩,总产量为6000kg,今年该农场扩大了种植面积,并且引进新品种“超
级水稻”,使总产量增加到18000kg,己知种植面积的增长率是平均亩产量的增长率的2倍,求平均亩产量
的增长率.
【答案】50%
【分析】设平均亩产量的增长率为无,则种植面积的增长率是2x,根据总产量=种植面积x平均亩产量即可
得出关于尤的一元二次方程,解之即可得出结论.
【详解】解:设平均亩产量的增长率为x,则种植面积的增长率是2x,
根据题意得:10x(l+2x)x6:;。x(1+x)=18000,
解得:x/=50%,x2=-200%(舍去).
答:平均亩产量的增长率为50%
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出方程组是解题的关键.
13.“一碗面,一座城”!中江挂面在2022年全国魅力城市PK中,作为德阳市的一张名片登上中央电视台,
为“德阳魅力城”的晋升立下了汗马功劳,为发展中江经济,县政府决定在2021年底生产100吨挂面的基础
上继续扩大生产规模,到2023年底产量达到169吨.
(1)求中江挂面这两年产量的平均增长率;
(2)若按此速度继续扩大生产规模,请你计算到2023年底时,中江挂面的产量将达到多少吨?每吨挂面可盈
利6千元,则2023年仅挂面一项,能为中江赚多少钱?
【答案】(1)30%
(2)1318200元
【分析】(1)设这两年产量的平均增长率为羽根据题意,得100(1+*)2=169,解方程即可.
(2)根据平均增长率,求得2023年挂面的产量,乘以单价即可.
【详解】(1)设这两年产量的平均增长率为X,
根据题意,得100(1+X)2=169,
解得%=。3=30%,%=-2.3(舍去),
答:中江挂面这两年产量的平均增长率30%.
(2)169(1+30%)=219.7(吨),
219.7x6000=1318200(元),
答:2023年仅挂面一项,能为中江赚1318200元.
【点睛】本题考查了平均增长率问题,正确列方程并熟练解答是解题的关键.
14.某地2021年为做好“精准扶贫”,投入资金500万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2023年
达到720万元.
(1)从2021年到2023年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?
(2)如果保持增长率不变,请你估计2023年投入资金能否突破1000万元?
【答案】(1)20%;(2)能突破1000万元.
【分析】(1)设年平均增长率为x,根据2021年和2023年该地投入异地安置的资金,即可得出关于x的一
元二次方程,解之取其正值即可得出结论;
(2)根据年平均增长率,计算出2023年的投入资金,与1000万元作比较即可.
【详解】解:(1)设年平均增长率是4
由题意得:500(1+x)2=720,
解得:演=0.2=20%,%2=-2.2(舍去),
答:年平均增长率是20%;
(2)估计2023年投入资金为:
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