2025年高考数学一轮复习：函数的图象（九大题型）（讲义）（原卷版）

第06讲函数的图象

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1:掌握基本初等函数的图像..............................................................4

知识点2:函数图像作法.........................................................................4

解题方法总结...................................................................................6

题型一：由解析式选图（识图）1...........................6

题型二：由图象选表达式........................................................................8

题型三：表达式含参数的图象问题...............................................................10

题型四：函数图象应用题.......................................................................12

题型五：函数图象的变换.......................................................................15

题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值...................................................16

题型七：利用函数的图像解不等式...............................................................17

题型八：利用函数的图像求恒成立问题...........................................................18

题型九：利用函数的图像判断零点的个数.........................................................19

04真题练习•命题洞见...........................................................20

05课本典例•高考素材...........................................................21

06易错分析•答题模板...........................................................23

易错点：图像的变换问题.......................................................................23

答题模板：图像的变换问题.....................................................................23

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

基本初等函数的图像是高考中的重要考点之

是研究函数性质的重要工具.高考中总以一

2023年天津卷第4题，5分次函数、二次函数、反比例函数'指数函数、对

(1)函数图像的识别

2022年天津卷第3题，5分数函数、幕函数、三角函数等的图像为基础来考

(2)函数图像的应用

2022年全国乙卷第8题，5分查函数图像，往往结合函数性质一并考查，考查

(3)函数图像的变换

2022年全国甲卷第5题，5分的内容主要有知式选图、知图选式、图像变换以

及灵活地应用图像判断方程解的个数，属于每年

必考内容之一.

复习目标：

(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

(2)会画简单的函数图象.

(3)会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

老占突硒・力理悭宙

------

知识JJ

知识点1:掌握基本初等函数的图像

（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.

%

【诊断自测】函数〃尤）=7=”的图象是下列的（）

知识点2：函数图像作法

1＞直接回

①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性;

④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.

2、图像的变换

（1）平移变换

①函数、=/（尤+。）（。＞0）的图像是把函数、=/（无）的图像沿x轴向左平移。个单位得到的；

②函数y=f（尤-a）（a＞0）的图像是把函数y=f（x）的图像沿x轴向右平移。个单位得到的；

③函数y=/(尤)+o(a>0)的图像是把函数y=/(无)的图像沿y轴向上平移a个单位得到的；

④函数>=/0)+。3>0)的图像是把函数〉=/(M的图像沿y轴向下平移a个单位得到的；

(2)对称变换

①函数y=/(x)与函数y=/(-x)的图像关于y轴对称；

函数y=〃尤)与函数的图像关于x轴对称；

函数y=/(x)与函数y=-f(-x)的图像关于坐标原点(0,0)对称；

②若函数/(x)的图像关于直线x=“对称，则对定义域内的任意尤都有

/(a-x)=/(a+x)或/(x)=/(2a-x)(实质上是图像上关于直线无=。对称的两点连线的中点横坐标

为a,即3-X)+("+X)=4为常数);

2

若函数〃无)的图像关于点(a,6)对称，则对定义域内的任意x都有

f(x)=2b—f(2a-x)^f(a—x)=2b-f(a+A:)

③y=V(X)|的图像是将函数于(x)的图像保留X轴上方的部分不变，将无轴下方的部分关于X轴对称翻

折上来得到的(如图(。)和图(6))所示

④y=/(|x|)的图像是将函数/(无)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y轴对称得

到函数>=/(国)左边的图像即函数y=/(国)是一个偶函数(如图(c)所示).

注：〃(尤)|的图像先保留了(X)原来在x轴上方的图像，做出x轴下方的图像关于x轴对称图形，然后擦

去x轴下方的图像得到；而了(国)的图像是先保留了(尤)在y轴右方的图像，擦去y轴左方的图像，然后做

出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.

⑤函数>=/-(尤)与y=/(x)的图像关于y=x对称.

(3)伸缩变换

①y=4Ax)(A>0)的图像，可将y=/(x)的图像上的每一点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<l)到

原来的A倍得到.

②y=/3x)(o>0)的图像，可将y=/(x)的图像上的每一点的横坐标伸长(0<。<1)或缩短3>1)到

原来的工倍得到.

【诊断自测】若函数y=/("的定义域为R,则函数y=1)与y=〃i-犬)的图象关于()

A.直线x=0对称B.直线>=。对称

C.直线％=1对称D.直线y=l对称

解题方法总结

(1)若/(机+1)=/(机-1)恒成立，则y=/(%)的图像关于直线工=机对称.

(2)设函数y=f(x)定义在实数集上，贝!J函数y=f(x-m)与y=f(m-x)(m>0)的图象关于直线

x=m对称.

(3)若/(a+x)=/S-x),对任意龙£火恒成立，则y=/(x)的图象关于直线1=g?对称.

(4)函数y=/(a+x)与函数y=的图象关于直线犬=2铲对称.

(5)函数y=/(x)与函数y=/(2的图象关于直线x=〃对称.

(6)函数y=/(兀)与函数y=2Z?-/(2々-X)的图象关于点(a,力中心对称.

(7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.

题型洞察

题型一：由解析式选图(识图)

【典例1-1](2024•安徽淮北•二模)函数=的大致图像为()

【典例1-2】（2024•陕西商洛•模拟预测）函数y=xcos%-sinx的部分图象大致为（）

【方法技巧】

利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选

出正确答案.

【变式1-1]（2024•天津•二模）研究函数图象的特征，函数/（月=坐的图象大致为（）

\//I1

1

【变式1-2]（2024•湖北•模拟预测）函数/（尤）=1一/一1加二的图象大致为（）

题型二：由图象选表达式

【典例2-1】（2024•安徽马鞍山•三模）已知函数y=/（x）的大致图象如图所示，则y=/（x）的解析

式可能为（）

*3"

B./(%)=

9X+1

-x

D./(%)=

+1)1口(国+2)

【典例2-2]（2024•宁夏固原•一模）已知函数元）的部分图像如图所示，则/'（x）的解析式可能为

ex-e-x

B.〃％)=

D-

【方法技巧】

1、从定义域值域判断图像位置；

2、从奇偶性判断图像的对称性；

3、从周期性判断图像循环往复；

4、从单调性判断大致变化趋势；

5、从特殊点排除错误选项.

【变式2-1]（2024•天津•二模）函数/⑴的图象如图所示，则/（x）的解析式可能为（）

B.小）=子

Inx

D./(%)=

X

【变式2-2］（2024•湖南•二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数“X）的解析式可能为

2国

D./(x)=-

%2-1

【变式2-3］（2024•陕西安康•模拟预测）函数/（x）的部分图象如图所示，则Ax）的解析式可能为

、xsinx“、xsinx+x

B.f^=~~C.f(x)=

\x\+l|x|+l

题型三：表达式含参数的图象问题

【典例3-1】（2024•重庆•模拟预测）已知函数/（无）=x«x>0）,a为实数，7⑴的导函数为了'（x）,

在同一直角坐标系中，“X）与/（尤）的大致图象不可能是（）

【典例3-2］（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知函数〃x）=a（x+l）'"（x-l）"（其中

m+n>0,a^0）的部分图象如图所示，则（）

A.m>n>0B.m<3nC.m>0>nD.a<0

【方法技巧】

根据参数的不同情况对每个选项逐一分析，推断出合理的图像位置关系，排除相互矛盾的位置关系,

以得出正确选项.

【变式3-1］（多选题）（2024•安徽合肥•一模）函数“另=^-?（"7€均的图象可能是（）

【变式3-2］（多选题）函数/（%）=上1的大致图象可能是（）

【变式3-3］（多选题）（2024•福建泉州•模拟预测）函数/a）=ln（l+x）-8n（l-x）的大致图像可能为

【变式3-4］（多选题）函数/（X）)

题型四：函数图象应用题

【典例4-1】如图，长方形ABCD的边AB=2,BC=\,。是AB的中点.点P沿着边BC,C£＞与ZM

运动，记4QP=x.将动点尸到A8两点距离之和表示为尤的函数/⑴，则y=/（x）的图像大致为（）

【典例4-2](2024•广东佛山•模拟预测)如图，点尸在边长为1的正方形边上运动，M是8的中

点，当点P沿A-3-C-M运动时，点P经过的路程无与的面积了的函数y=/(x)的图象的形状大

致是()

【方法技巧】

(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

【变式4-1](2024•安徽•模拟预测)如图，直线/在初始位置与等边.ABC的底边重合，之后/开始

在平面上按逆时针方向绕点A匀速转动(转动角度不超过60。)，它扫过的三角形内阴影部分的面积S是时

间r的函数.这个函数的图象大致是()

c

【变式4.2](2024•山东・二模)如图所示，动点。在边长为1的正方形A5c。的边上沿

Af5f。运动，X表示动点尸由A点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则函数y=/(x)的

题型五：函数图象的变换

【典例5-1】（2024•北京西城•二模）将函数f（无）=tanx的图象向右平移1个单位长度，所得图象再

关于丁轴对称，得到函数g（M的图象，则g（x）=（）

A.1-tanxB.-1-tanxC.-tan（x-l）D.-tan（x+l）

【典例5-2】（2024•辽宁•三模）已知对数函数/（x）=log.x,函数〃尤）的图象上所有点的纵坐标不

变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向上平移2个单位长度，所得图象

恰好与函数/（X）的图象重合，则。的值是（）

A.-B.|C.逅D.73

233

【方法技巧】

熟悉函数三种变换：（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.

【变式5-1]（2024•江西赣州•二模）已知函数/（尤）的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数

图象所对应的函数解析式（）

【变式5-2]（2024•四川南充•二模）已知函数/（x）=e'-er,则函数＞=f（x-l）+l的图象（）

A.关于点（1,1）对称B.关于点（-M）对称C.关于点（-1,0）对称D.关于点

（1,0）对称

【变式5-3】已知函数的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（）

D.1-/(-%)

题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值

【典例6-1](2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=.若机<”，=〃“)，则”一机

x+3,x<0

的最小值为()

53

A.1B.—C.—D.2

42

【典例6-2】用min{4瓦c}表示a,b,c三个数中的最小值，则函数/(xQminZ+l,--x+4,-x+6

2

的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧】

利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取

得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想.

【变式6-1]已知6eR,设函数/(x)=|log2X+2x+A|在区间g+l](t>0)上的最大值为M(b).若

也M0)N2}=R,则正实数t的最大值为

【变式6-2】对。，beR,记max{a,Z?}=D"；，，则函数/(x)=max"+l|,尤?-2x+g1的最小值

\b,(a<b)I14J

为

题型七：利用函数的图像解不等式

|log2x|,xe(O,4)

【典例7-1】已知函数〃x)=3r、，则满足的x的取值范围为()

--,XE[4,+OO)

A.[0,2]u[4,6]B.“4,6]

_oZ_

「11[「一]

c-32,4]D.。[2,6]

_oz__oZ_

【典例7-2](2024•重庆沙坪坝•模拟预测)已知函数〃x)=则

3

—,+00

2

/(%)>|豌2乂的解集是()

【方法技巧】

利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据

题意结合图像写出答案.

[yx>0

【变式7-1】已知函数〃尤)=.八，则不等式7V(x))<4/(x)+l的解集是()

3x+l,x<0

D.f-|jog2

C.(0,2)3

【变式7-2](2024•高三•江西•期中)已知函数〃”=园9+1,g(x)=/(x-2)+l,则不等式

/(x)<g(x)的解集为()

A.B.(1,2)

C.(1,+℃)D.(2,+co)

题型八：利用函数的图像求恒成立问题

/二:若对任意的X都有心）"

【典例8・1】（2024•北京昌平•二模）已知函数/（%）=<

恒成立，则实数〃的取值范围是（）

A.(-oo,0]B.[-4,0]C.[-3,0]D.(-co,2]

|x|+2,x<l

X

【典例8-2］已知函数/（%）=2J设。€艮若关于工的不等式/（彳）25+。在R上恒成立，则

x+—,x>1

x

〃的取值范围是（）

A.B.[-2,2]

一|在2

C.D.-二

【方法技巧】

先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得

出参数的范围.

【变式8”】已知函数/（%）的定义域为R,满足/。）=2/（%-1），且行（0,1］时,/（工）=/—乩若

3

都有小）““则。的取值范围是（）

59

A.—00,—B.—00,—

24

711

C.—00,—D.—Q0,——

34

【变式8-2］（2024•河南新乡•三模）设函数/⑺的定义域为R,满足了（%-2）=2/（%）,且当

3

X£（0,2］时，/（x）=%（2-%）.若对任意工£口,+8）,都有/（元）工石成立，则〃的取值范围是（）

o

75

A.—,+00B.—,+oo

22

35

C.—00,-------D.—00------

22

题型九：利用函数的图像判断零点的个数

【典例9-1】(2024•高三•重庆渝中•期中)已知函数〃x)=甲，2°,若方程/(x)=Ae”有两个

-x2,x<0

不相等的实数根，则实数上的取值范围是()

儿IM]B.售,+1。•1T口.卜：,。]

|2%+3|-1-/77).X<0^若函数/⑴恰有3个零点，则实数加的取值范围为

【典例9-2】设函数

mx—m9x>0

A.—1)B.(-1,2]C.[2,+co)D.[-1,2)

【方法技巧】

利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解

的个数.

【变式9-1】设函数/(助=认：I>。，若"力-左=0有三个不同的实数根，则实数上的取值范围是

()

A.(0,1)B.(O,+8)C.(0,1]D.[0,+力)

,、I%2+5x+4l,%<0/、

【变式9-2](多选题)己知/(尤)=I,1，若y=/(x)-4升恰有3个零点，则a的可能值

2|x-2|,x>0

为()

3

A.0B.1C.-D.2

2

【变式9・3】已知a/wR,定义：min{a,/?}二,：'：：：,设/(%)=而11{2“一4一%+6-.若函数

y=/(x)+ax有两个零点，则实数。的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,0)D.(-2,0)

(尤)J(x)Vg(x)

【变式9-4]（2024•高三•广东江门•开学考试）定义函数min{/（x）,g（x）}=[g(尤)，/(x)>g(x)

/7（%）=01111{国-1,炉―26+4+2},若/?（力=0至少有3个不同的解厕实数。的取值范围是（）

A.[1，2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]

1.（2023年天津高考数学真题）已知函数/（x）的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（）

2.（2022年新高考天津数学高考真题）函数=的图像为（）

3.(2022年高考全