2023年北京市初三二模数学试题汇编：特殊的平行四边形

第1页/共1页2023北京初三二模数学汇编特殊的平行四边形一、填空题1．（2023·北京海淀·统考二模）如图，正方形，点在直线上，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则正方形的边长为________．

二、解答题2．（2023·北京平谷·统考二模）如图，直线，是上一点，是上一点，连接，以为圆心长为半径画弧，在点的右侧交直线于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，连接．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形，判断四边形的形状；(2)证明（1）中的结论．3．（2023·北京海淀·统考二模）如图，平行四边形的对角线，交于点，为的中点．连接并延长至点，使得．连接，．

(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，求证：四边形为矩形．4．（2023·北京房山·统考二模）如图，点O为的对角线的中点，直线l绕点O旋转，当时，与边分别交于点E，F，连接．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求的面积．5．（2023·北京西城·统考二模）已知：如图1，线段a，b．求作：矩形ABCD，使得，．

作法：如图2．

1．在直线上截取．2．过点B作直线，在直线m上截取．3．分别以点A和点C为圆心，b，a的长为半径画弧，两弧的交点为D．(点D与点C在直线的同侧)4．连接．则四边形为所求的矩形．根据上面设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，在图2中补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明：证明：∵，，∴四边形是平行四边形(___________)．(填推理的依据)∵直线，∴___________，∴四边形ABCD是矩形(___________)．(填推理的依据)．6．（2023·北京西城·统考二模）如图，以菱形的边为直径作交于点，连接交于点是上的一点，且，连接．

(1)求证：；(2)求证：是的切线．7．（2023·北京西城·统考二模）如图，矩形的对角线相交于点O，过点D作的平行线交的延长线于点E．

(1)求证：；(2)连接，若，，求的长．8．（2023·北京昌平·统考二模）如图，在菱形中，对角线交于点，点是过点作的平行线与过点作的垂线（垂足为）的交点.(1)求证：四边形是平行四边形；(2)连接，求证：四边形是矩形.

参考答案1．【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，则，，证明，则，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，

过点分别作的垂线，垂足分别为，∴，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了点到直线的距离，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．(1)四边形EFGM为菱形；(2)见解析．【分析】（1）利用尺规作图即可；（2）由题意可得，平分，再根据证明角相等，然后根据等角对等边即得，进而通过邻边相等的平行四边形证明即可．【详解】（1）如图，

猜想：四边形为菱形．（2）解：由作图可知：，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，

∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．【点睛】本题考查尺规作图、菱形的判定和平行线性质，解此题关键是掌握菱形的判定方法．3．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明为的中位线，则，且，又，则，即可得证；（2）根据平行四边形的性质得出，则，根据已知的，可得，则四边形是菱形，可得，结合（1）的结论，即可得证．【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线，交于点，∴，又，∴为的中位线，∴，且，又为的中点，∴，∴，∴四边形为平行四边形；（2）∵平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形，∴，∴，∴平行四边形是矩形．【点睛】本题考查了中位线的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键．4．(1)见解析(2)3【分析】（1）根据证明得再证明四边形是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明即可；（2）过点C作交延长线于点H，求出，再根据菱形的面积计算公式求解即可．【详解】（1）∵四边形是平行四边形，∴，∴∵O为的中点，∴在和中，，∴∴∴四边形是平行四边形，∵∴四边形是菱形，（2）过点C作交于点H，

∴°，∵四边形是菱形，∵，∴，∴，∵，∴，∴的面积【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质和以及菱形面积求法等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．5．(1)见解析(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；；有一个内角是直角的平行四边形是矩形．【分析】（1）按照步骤操作即可；（2）根据矩形的判定定理推导，填空即可.【详解】（1）解：补全图形如下：

（2）证明：∵，，∴四边形是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．∵直线，∴，∴四边形ABCD是矩形(有一个内角是直角的平行四边形是矩形)．故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；；有一个内角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查尺规作图，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．6．(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角及菱形的性质得到点是的中点即可解答；（2）根据菱形的性质及全等三角形的判定得到，再根据全等三角形的性质得到，最后利用四边形的内角和及切线的判定即可解答．【详解】（1）解：连接，∵为的直径，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴点是的中点，∴；

（2）解：连接，

∵四边形是菱形，∴，，∴在和，，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴在四边形中，，∴，∴，∴是的切线．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角所对的圆周角是，等腰三角形的性质，切线的判定，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键．7．(1)见解析(2)【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再证明出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证；（2）如图，过点O作于点F，欲求，只需在直角中求得的值即可．结合三角形中位线求得，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可．【详解】（1）∵四边形是矩形，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴；（2）如图，过点O作于点F，

∵四边形是矩形，∴点O是的中点，∴∴∴，∴点是的中点，∴是的中位线，∴又∵四边形是平行四边形，∴．∴．在中，由勾股定理可得：．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形是平行四边形是解题的关键．8．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据菱形的性质可得，进而可得，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可证明；（2）先证四边形是平行四边形，再根据可证四边形是矩