2023-2024学年北师大版九年级数学上册期末复习：图形的相似（易错必刷30题8种题型专项训练）解析版

第4章图形的相似（易错必刷30题8种题型专项训练）

♦题型目录展示♦

A比例的性质A相似三角形的判定

A平行线分线段成比例A相似三角形的判定与性质

A相似多边形的性质A相似三角形的应用

A相似三角形的性质A位似变换

—题型通关专训*

一.比例的性质（共2小题）

1.对等式进行变形，则下列等式成立的是（）

23

A.2x=3yB.3x=2yC.D.

32

【答案】B

【解答】解：

23

3x=2y,

A、2x=3y,不成立，故A不符合题意；

B、3x=2y,成立，故3符合题意；

「•,x_y，2x=3y,不成立，故C不符合题意;

32

D、\9x=—y,・・2x=3y,不成立，故。不符合题意;

2

故选：B.

2.若包二屋=1,则3a-2c+e的值为（）

bdf33b-2d+f

A.AB.1C.1.5D.3

3

【答案】A

【解答】解：•屋=1,

bdf3

*3a—~2c—e=1

*3bW75’

•3a~~2c+e—工，

"3b-2d+f3"

故选：A.

二.平行线分线段成比例（共1小题）

3.如图，已知A8〃CD〃ER则下列结论正确的是（）

A..^5.=^.B._551=区CAF=ADD.生=也

DFBEAFBC,BEBCDFBC

【答案】C

【解答】解：'：AB//CD//EF,

坦匹，故A错误，

DFCE

此里，故2错误；

AFBE

处理，即空驾，故C正确；

ADBCBEBC

即U&,故r＞错误.

DFCEDFAD

故选：c.

三.相似多边形的性质（共1小题）

4.如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形.若小矩形的长与宽的

比恰好等于原来矩形的长与宽的比，则小矩形的长与宽的比是（）

B

A.2：1B.3：2C.V3：1D.V2：1

【答案】D

【解答】解:由折叠得：AE^IAD,

2

由题意得：矩形A8FE与矩形ADC2相似,

•AD=AB；

"AB而，

：.AD'AE=AB2,

.,.AAZ）2=AB2,

2

2

.AD9

AB2

：.AD：AB=®1,

故选：D.

四.相似三角形的性质（共1小题）

5.如图所示，若△ZMCS^ABC,则需满足（）

A

cDB

A.CD1=AD'DBB.AC'BGCDC.D.史

CDBCDAAC

【答案】B

【解答】解：由C02=AZ>£）B,可得C£>：AD=BD：CD,由此得不出结论；

由AC2=BC.C。，可得AC：BC=CD：AC,

；NC=NC,

AAABC^AZJAC,故B选项正确；

由空•望■得不出结论；

CDBC

由型=旦£及N54C=NAr>C=90°可得结论，但题目中未提及.

DAAC

故选：B.

五.相似三角形的判定（共5小题）

6.如图，△ABC中，点。在线段AC上，连接B。，下列选项添加的条件中不能使△A3。与AACB相似的

是（）

BC

2

A.坦=^5,B./ADB=/ABCC.NABD=/CD.AB=AD'AC

ABBC

【答案】A

【解答】解：在△ABD与△ABC中，由于NA=NA,若添加NABC或/ABD=NC,

满足''两角对应相等的两个三角形相似”，故要使△ABZ）与△ABC相似，可添加一个条件3或C.

在与△ABC中，由于NA=NA,若添加坐gpAB2^AD-AC,

ADAB

满足“两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似”，故要使△A3。与△A8C相似，可添加一个条件D.

在△A3。与△ABC中，若添加地理，由于不能说明NAr>B=/A8C,也不能说明三边对应成比例，

ABBC

故要使△ABO与△A8C相似，不能添加一个条件A.

故选：A.

7.如图，ZXABC中，ZA=60°,BW_LAC于点M,CN_LAB于点、N,BM,CN交于点。，连接MN.下列

结论：①/AMN=NA8C；②图中共有8对相似三角形；③BC=2MN.其中正确的个数是（）

【答案】C

【解答】解：'：BM±AC,CALLAB,

ZANC=ZAMB=90°,

又；ZA=ZA,

△A8Ms"CN,

•ANAC叩ANAM

AM-ABAC-AB

又；ZA=ZA,

：.AAMNsAABC,

：.ZAMN=ZABC,故①正确；

由题可得，AABMsAACNsAOBNsAOCM,AAMN^^ABC,ABCO^AWO,

.•.图中共有8对相似三角形，故②正确；

：RtA4CN中，ZA=60°,

ZACN=30°,

：.AN=^AC,

2

又：AAMNsAABC,

•MN_AN_1

"BC=AC

即BC=2MN,故③正确.

故选：C.

8.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=l6cm,动点尸从点4开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点。从

点B开始沿BC边运动，速度为4c〃z/s；如果P、0两动点同时运动，那么何时408尸与△ABC相似？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：设经过f秒时，以尸与△ABC相似，则AP=2f厘米，BP=(8-2力厘米，8。=4/厘

米，

'：ZPBQ=ZABC,

...当坦=段时，△2PQS/\BAC,即82t=处,解得f=2(s)；

BABC816

当空=段时，XBPQsXBCA,即生2L=生，解得t=0.8(s)；

BCBA168

即经过2秒或0.8秒时，△Q8P与△ABC相似.

9.如图，AB±BC,DC±BC,E是BC上一点，使得AE_LZ)E；

(1)求证：AABEsAECD；

(2)若AB=4,AE=BC=5,求C£)的长；

(3)当△AEDS^EC。时，请写出线段A。、AB.CD之间数量关系，并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】（1）证明：*：AB±BC,DC1.BC,

：.ZB=ZC=90°,NBAE+NAEB=90°,

VAEXDE,

AZAED=90°,

AZAEB+ZDEC=90°,

：.ZDEC=ZBAE,

：.AABE^AECD；

（2）解：RtZ\A3E中，VAB=4,AE=5,

:・BE=3,

VBC=5,

：.EC=5-3=2,

由（1）得：LABEs/\ECD,

•・•—AB=—EC,

BECD

•・•4=■2i，

3CD

:.CD=S；

2

（3）解：线段A。、AB.CZ）之间数量关系：AD=AB+CD；

理由是：过E作EF_LAD于尸，

LAEDsAECD,

：.ZEAD=ZDEC,

'：ZAED^ZC,

：.ZADE=ZEDC,

'：DC±BC,

：.EF=EC,

"：DE=DE,

:.RtADFE丝RtADCE(HL),

：.DF=DC,

同理可得：AABE名AAFE,

：.AF^AB,

：.AD=AF+DF=AB+CD.

10.如图，在△ABC中，NC=90°,AC^Scm,2C=6CTO,点尸从点A沿AC向C以2c«i/s的速度移动,

到C即停，点。从点C沿C8向8以Icmls的速度移动，到B就停.

(1)若尸、。同时出发，经过几秒钟

(2)若点。从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似.

【解答】解：(1)设经过f秒钟S"CQ=2C/,

由题意得，AP=2t,CQ=t,

则PC=8-It,

由题意得，Ax(8-2r)Xf=2,

2

整理得，t2-4f+2=0

解得，f=2±

则P、。同时出发，经过(2±企)秒钟SAPCQ=2C/2；

(2)设再经过〃秒△PC。与△ACB相似由题意得，AP=2n,CQ=2+n,

贝ljPC=8-2n,

当△PCQS2\ACB时，空=用，即8-2n=2也

CACB86

解得，n=1.6,

当△PCQs^BCA时，空=用，即8-2n=2也

CBCA68

解得，〃=空，

11

综上所述，点。从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或空秒秒△PC。与AACB相似.

六.相似三角形的判定与性质（共14小题）

11.如图，△ABC中，点。，E分别是边43,AC上的点,OE〃BC,点〃是边BC上的点，连接AH交线

段QE于点G,且8〃=£）E=12,OG=8,S^ADG=12,贝1JS四边形()

A

BHC

A.24B.22.5C.20D.25

【答案】B

【解答】解：如图所示：

A

BHC

,:DE〃BC,

：.AADE^AABC,

•・•一D■E~DG

BCBH

又；BH=DE=12,DG=8,

•BH・DE_12义12

=10

•・BC=DG8卷’

又：DE=DG+GE,

：.GE=n-8=4,

又「△AOG与△AGE的高相等，

.SAADG_DG

SAAGEGE

又「SAADG=12,

,,sAAGE=DG-"SAADGx12=6，

又SAADE=SAADG+S^AGE,

S^ADE=12+6=18,

又..人物二（%2,

,△ADEDE

=18X

,•SAABC（五）正’

又「S四边形3CEZ）=Sz\A5C-S^ADE,

.81

••S四边形D：ED=-^--18=22.5，

故选：B.

12.如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为B'C',边A'B'刚好

经过边8C的中点。，己知△ABC的面积为16,则阴影部分DC的面积为（）

【答案】D

【解答】解：：点。是8c的中点，

：.CD=1.BC,

2

由平移得：AB//A'B',

：.ZB=ZA'DC,ZA=ZDA'C,

.,.△ABCsAVDC,

SZ

.AADC(CD)2=(_1)2=L

^AABCBC24

,/△ABC的面积为16,

.•.△A'£>C的面积的面积=4,

4

故选：D.

13.如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线交点，AC与8。相交于点。，则△A3。的面积

【答案】C

【解答】解：设小方格的边长为1,

由图可知，AB//CD,

:.丛ABOs^CDO,且CD=2近,

.'.S/sABO:S^CDO—(AB:CD)2,

ASAABO：S^CDO=(V2：2V2)2=1：4,

故选：c.

14.如图，在△ABC中，CO平分/AC8,交48于点。，过。作BC的平行线交AC于若BC=3,AC

=2,则。M=()

A.aB.AC.旦D.A

6543

【答案】B

【解答】解：・・・CO平分NAC8,

・・・ZACD=ZDCBf

,:DM〃CB,

:・/MDC=/DCB,

：.NMDC=/ACD,

：.MD=MC,

■:DM〃BC,

ZADM=ZB,ZAMD=ZACB,

・典=迎，

，，-BCAC，

・

••DM---=---2-D--M,

32

：.DM=k,

5

故选：B.

15.如图，在△ABC中，4。是BC边上的高，在△ABC的内部，作一个正方形PQRS,若BC=3,AD=2,

则正方形PQRS的边长为（）

542

【答案】A

【解答】解：如图：

DQ

设正方形尸。RS的边长为x,

是△ABC的高，SR//BC,

是△ASR的高，

则AE=AD-ED=2-x,

.四边形PQRS是正方形，

J.SR//BC,

△ASRs-BC,

•SR=AE

"BCAD"

...3=—,

32

解得：尤=旦，

5

正方形PQRS的边长为旦.

5

故选：A.

16.在重48C。中，E是3C边上的点，连接AE交8。于点R若EC=2BE.则AR比的值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解答】解：在菱形A3CD中，BE//AD,AD=BC,

：.ABEF^ADAFf

：.BE：AD=EF：AF,

,:EC=2BE,

：.AD=BC=3BE,

：.EF-.AF=A,BPAF：EF=3.

3

故选：A.

17.如图，在△ABC中，CHLAB,CH=5,AB=10,若内接矩形。EEG邻边。G：GF=1：2,则△GFC与

四边形ABFG的面积比为（）

A

A.AB.Ac.AD.亚

3422

【答案】A

【解答】解：：OG：GF=1：2,

.,.设DG=x,FG=2x,

•..四边形。EFG是矩形，

J.FG//DE,

：.ZCGF^ZA.ZCFG^ZB,

：./\CGF^/\CAB,

'：CHLAB,FG//DE,

：.CH±FG,

•旦=四

"CHAB'

•・•5--x=-2x,

510

；・％=2.5,

经检验，尤=2.5是原方程的根，

：.FG=5,

•SACGF_rFG、2_1

^ACAB杷4

.,.△GPC与四边形ABFG的面积比为=1：3,

故选：A.

18.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C,。为格点（即小正方形的顶点），A8与C£）

相交于点。，则AO的长为一梦一.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图所示：

在△2DF和中，

，ZDBF=CEF=90°

，ZBFD=ZEFC，

BD=CE

:.ABDF之AECF(AAS),

：.BF=EF=1,

2

5L'：BF//DA,

:.丛BFOs丛ADO,

••--A-O=AD，，

BOBF

又：AO=4,

在RtZXABZ）中，由勾股定理得，

AB=VAD2+BD2=^42+12=用'

又；AB=AO+BO,

故答案为菅百弓.

19.如图，a//b//c,直线a与直线6之间的距离为直线c与直线6之间的距离为2«,等边AABC

的三个顶点分别在直线。、直线。、直线c上，则等边三角形的边长是

【答案】277.

【解答】解：如图，过点A作直线b于。，将△A3。绕点A逆时针旋转60°得到△ACE,作EG

则有/AECMNAOBM/APEn/EGCugO。,AE=AD=®ZEAF=ZCEG=3O°,

：.EF=1.AE=J^,

22

:.EG=§M,CG=®EG=2CE=2CG=5,

232

•*,AC=VAE2K；E2=V(V3)2+52=2^-

等边△ABC的边长为2。

故答案为：2W.

20.如图，在等边三角形A8C中，D,E,尸分别是8C,AC,A8上的点，DELAC,EF1AB,FDYBC,

若△ABC的面积为48,则ADEP的面积为16.

【解答】解：..'△ABC是等边三角形，

ZA=ZB=ZC=60°,

\'DE±AC,EFLAB,FD±BC,

：.ZAFE=ZBDF=NQ£C=90°,

ZA£F=90°-ZA=30°,ZBFD=90°-ZB=30°,ZEDC=90°-ZC=30°,

：.ZDFE=180°-ZAFE-ZBFD=6Q°,ZFDE=180°-ZBDF-ZEDC=60°,ZDEF=180°-

ZDEC-ZAEF=6Q°,

ZDFE=ZFDE=ZDEF=60",

；.ADFE是等边三角形,

:.DF=EF,△ABCs^DEF,

在RtZ\8D尸和RtZXAFE中，ZBFD=ZAEF==3>0°,

：.BD：DF：BF=1：V3：2,AF：EF=L我，

AAF：DF：BF=1：百：2,

•DF=V3

"ABR

'：XABCs丛DEF,

S(近)工，

.ADEF(DF)2=2=

^AABC*33

,/△ABC的面积为48,

的面积=16,

故答案为：16.

21.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，连接。E,且/AOE=/AC2.

(1)求证：△ADEs^ACB；

(2)若AD=2DB,AE=4,AC=9,求8。的长.

【答案】见试题解答内容

【解答】（1）证明：VZADE=ZACB,ZA=ZA,

：.AADEsAACB；

（2）解：由（1）可知：△ADEs^ACB,

•AD=AE

"AC而’

BD=x,则AO=2x,AB=3x,

VAE=4,AC=9,

・2x=A,

'T装，

解得：x=Vs（负值舍去）,

的长是仇.

22.如图，在四边形ABC。中，对角线AC与2。交于点E,DB平分/AOC,且

(1)求证：AABEsADCE；

(2)AE'CD=BC'ED.

【答案】证明过程见解答部分.

【解答】证明：Cl)'：AB2=BE-BD,

：.AB：BE=BD：AB,

NABE=/DBA,

：.△ABEsdDBA,

；./BAC=/BDC,

:引)平分/ADC,

ZADB=ZBDC=ZBAC,

：.AABEsADCE；

(2)由(1)中相似可得，AE：DE=BE：CE,

ZBEC=ZAED,

：.△ADEsLBCE,

：./EAD=ZEBC,/ADE=/BDC=ZBCE,

:.△BCDs^AED,

：.BC：AE=CD：ED,

AE・CD=BC・ED.

23.如图，在平行四边形ABC。中，过点A作AELBC,垂足为E,连接。E,尸为线段。E上一点，且/

AFE=ZB.

(1)求证：AADF^ADEC；

(2)若A3=8,AD=\2,AF=6f求AE的长.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：・・•四边形A3CD是平行四边形,

J.AD//BC,AB//CD,

；・NADF=/CED,ZB+ZC=180°；

VZAFE+ZAFr>=180°,NAFE=/B,

：.ZAFD=ZC,

：.△ADFs^DEC；

(2)解：:四边形A3C。是平行四边形，

：.DC=AB=S.

・.,XADFsXDEC,

•AD-AFpn12—6

DEDCDE8

：.DE=16.

U：AD//BC,AELBC,

：.AE±AD.

在Rt/VIOE中，ZEAD=90°,DE=16,AD=12f

-,-AE=VDE2-AD2=V162-122==4行

24.如图所示，在回ABC。中，AE平分NBA。交直线8C于凡Z)E_LAE交直线8C于£

(1)求证：BE=CF；

(2)若点G为A8的中点，求理■的值.

HF

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：（1）如图所示:

•・•四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,

NDAF=ZAFB,

又・.・A厂平分NA4D,

NDAF=/BAF,

：.ZAFB=/BAF,

；・AB=FB,

XVZ)E±AF,

AZAHG=ZAHD=90°,

又・・・NA”G+NGAH=90°,NAHD=ZDAH=90°,

ZGAH=ZDAH,

：.ZAGH=NADH,

又,.,AO〃ERAB//DC,

：.ZADG=ZDEC,NEGB=NEDC,

又丁/AGD=NBGE,

；・/DEC=NEDC,

:.DC=EC,

VAB=Z)C,

:,EC=BF,

又,：EC=BE+BC,BF=CF+BC,

:.BE=CF；

•.•点G为48的中点，

.*.AG=AD=-l-^g,

又,?AB=DC=BF=EC,

AD=BC=AG,

：.AD=BE=BC=CF=L^,

又,?ZAHD=NFHE,ZDAH=ZEFH,

:.△AHDSFHE（AA）,

•••A-D=--A-H

EFHF

•AH

一市而

七.相似三角形的应用（共4小题）

25.四分仪是一种十分古老的测量仪器.其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》.图1是古代测量

员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点R窥衡杆与四分

仪的一边BC交于点”.图2中，四分仪为正方形48CD方井为矩形若测量员从四分仪中读得

为1,BH为0.5,实地测得BE为2.5.则井深8G为（）

图1图2

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解答】解：・・•四边形ABC。是正方形,

\ZABC=90°,

：BE=2.5,8H=0.5,

\HE=BE-BH=2.5-0.5=2,

••四边形BMG是矩形，

•・BG=EF,ZBEF=90°,

ZABH=ZFEH=90°,

NAHB=/EHF,

丛ABHs丛FEH,

ABBH

丽—,

EH

1

=Q5

即

EF=4,

\BG=EF=4,

故选：A.

26.如图，已知，M,N分别为锐角NAOB的边。4,OB上的点，ON=6,把△OMN沿MN折叠，点。落

在点C处，MC与交于点P,若MN=MP=5,则PN=()

C4

【答案】。

【解答】解：'：MN=MP,

：.NMNP=/MPN,

：.ZCPN=ZONM,

由折叠可得，/ONM=NCNM,CN=ON=6,

:.NCPN=NCNM,

又：NC=/C,

:ACPNsACNM,

空="gpCN2=CPXCM,

CNCM

.*.62=CPX(CP+5),

解得CP=4,

又•••里=空，

NMCN

•PN=A

"~5T

:.PN=W,

3

故选：D.

27.明珠绿星数学社团想利用标杆测量楼高，小明先在N处竖立一根高16w的标杆MM发现点8、M、P

在同一直线上.测得PN=05w,AN=4.5机，已知，点A、N、P在同一直线上，MNLAP于点、N,AB1.

AP于点A.则楼高为16m.

【答案】16.

【解答】解：'：MN±AP,ABLAP,

：.ZBAP=ZMNP=90°,

'：ZP=ZP,

:.ABAPs^MNP,

•AB=AP

"MN而’

.AB=4.5+0.5,

"T?0.5

解得：AB=16,

楼高AB为16/",

故答案为：16.

28.综合实践活动

在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度.如图，九（1）班数

学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼MN的高度，他们在教学楼前的D处竖立一

个长度为4米的直杆CD测得DN等于18米，让同学调整自己的位置，使得他直立时眼睛A、直杆顶

点C和高楼顶点M三点共线.此时测量人与直杆