2023-2024学年湖北省五市州高一年级下册7月期末考试数学质量检测试题（含解析）

2023-2024学年湖北省五市州高一下学期7月期末考试数学质量

检测试题

本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

z

1.已知z=3+i,则---=（）

1+1

A.4-2iB.4+2iC.2-iD.2+i

2.当xe（O,2劝时，曲线y=2+cosx与直线y=的交点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

3.已知£=（2,0）,彼=（1,1）,则之在B上的投影向量为（）

A.（V2,l）B.（1,1）C.（2,1）D.（2,2）

4.已知z2eC,则下列说法正确的是（）

A.右€C,z/3=z胫3,则％%B.右Zy=z2,则匕J=LI

C.若[Z]+Z2|=|Z1—Z2I，则Z],Z2=0D.21+Z2=Z「Z2

5.如图所示，角x的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，其终边与

单位圆的交点为尸，分别过点A作x轴的垂线，过点B作了轴的垂线交角x的终边于T,S,

根据三角函数的定义，tanx=NT.现在定义余切函数y=cotx,满足cotx=一二，则下列表

tan%

示正确的是（）

A.cotx=OTB.cotx=PSC.cotx=OSD.cotx=BS

6.已知单位向量z，否互相垂直，若存在实数f,使得Z+与（17）2+石的夹角为60。,

则/=()

-1±V2-1±V3

A.B.-1±V2D.—1+-\/3

2­2­

7.—cos200-cos40°cos20°=()

2

1

A.B.

44

8.已知函数〃x）=sinx+sin2x,下面关于函数/（x）的图象与性质描述正确的是（）

A.函数［（X）的图象关于V轴对称

B.函数f（x）的最小正周期为兀

C.方程〃x）=0在［-兀,兀］上有5个不同的实根

D.|〃x）归友恒成立

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某同学统计了某校高一男生的身高数据（单位：cm）,并整理得到下表

身高[155,160)[160,165)[165,170)[170,175)[175,180)

频数60120180240100

根据表中数据，下列说法正确的是（）

A.该校高一年级男生身高的中位数小于170cm

B.该校高一年级男生身高的众数和中位数相同

C.该校高一年级男生身高的极差介于15cm至25cm之间

D.该校高一年级男生身高的平均数介于170cm到175cm之间

10.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为

单摆运动.若某阻尼器离开平衡位置的位移V（单位：m）和时间x（单位：s）满足函数关

系：y=/sin（@r+9）（A>0,®>0,H<|）,某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部

分数据如下（其中。，b,c,d为未知数），则下列有关函数了=/（x）的描述正确的是（）

C.函数/（无）的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4

D.函数/（X）的图象与函数y=+的图象重合

11.在棱长为2的正方体/BCD-44GA中，。是cq的中点，下列说法正确的是（）

A.若尸是线段4G上的动点，则三棱锥尸的体积为定值

B.三棱锥4-80。外接球的半径为叵

6

3

C.若与平面/C,平面/〃，平面/吕所成的角分别为4a=l,2,3）,则£cos2q=2

i=\

6

D.若平面43。与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为a«=l,…,6）,贝i]Esin2q=4

Z=1

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知tan（a+尸）=1,tan（a—，）=2,贝Ijtan2a=.

•jr______

13.在“3C中，4=万,'BCBA^CACB，则“BC中最小角的余弦值为.

14.设xeR,meZ,则称加为离实数x最近的整数，记作k},即卜}="，

如{-2.4}=-2.另外，定义国表示不超过x的最大整数，如卜2.6]=-3.令〃月=[忖卜国，

g(x)=|x|-{|x|},当xe［-2024,2024］时，如果存在为(，=1,2,)满足/(为)=g(x,),那么

1〃

2025M1---------

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知“3C的内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且6最大，

sin/-cosC=2cosBsinIC+—3j.

⑴求3；

(2)若/C边上的高为4,求AABC面积的最小值.

16.已知函数/(》)=45出工4：05》一51112%+3«)52%-1.

⑴求函数/(X)的最值与单调递增区间；

(2)若方程尸(x)-(。+2)/(x)+2a=0在［0,可上恰有4个不同的实数根，求。的值.

17.在三棱锥尸-4BC中，AC1CB,ABLBP,CB=CP=CA,8尸点C在平面尸48

2

上的射影。恰好在尸/上.

(1)若E为线段8尸的中点，求证：平面CDE；

(2)求二面角C-AB-P的余弦值.

18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情

况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A,B,C三个区域的第二档居

民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量(单位：kWh),

进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，频率分布直方图如下图所示.

(2)若去年小明家的月均用电量为234kW-h，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档

用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？

(3)通过进一步计算抽样的样本数据，得到A区样本数据的均值为213,方差为24.2；B区样

本数据的均值为223,方差为12.3；C区样本数据的均值为233,方差为38.5,试估计该市去

年第二档居民用户月均用电量的方差.(需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算)

19.在直三棱柱A8C-44G中，AB1BC,AB=2,BC=例=26,点”是平面/8C上

的动点.

(1)若点M在线段上(不包括端点)，设a为异面直线/C与旦/所成角，求cosa的取值

范围；

(2)若点M在线段/C上，求+的最小值；

⑶若点”在线段A4上，作儿W平行4C交BC于点N,。是上一点，满足Affi+BQ=2.设

MB=x,记三棱锥。-MSN的体积为厂(x).我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原点成

中心对称图形的充要条件是函数＞=/(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数

了=/(力的图象关于点尸(。,6)成中心对称图形的充要条件是函数〉=/@+°)-6为奇函

数.据此，判断函数y=%(x)在定义域内是否存在%,使得函数了=h3在(0用)上的图象是

中心对称图形，若存在，求不及对称中心；若不存在，说明理由.

1.c

【分析】根据复数的除法法则计算.

73+i_(3+i)(l-i)_3-3i+i-i2

【详解】由题意币==2-i

1+7-(l+i)(l-i)-2

故选：C.

2.A

【分析】结合函数图象，函数的单调性得出结论.

【详解】作出函数y=2+cosx和y=的图象，记/(无)=2+cosx,g(x)=；x,

IT

函数V=2+C0SX在［0,无］上递减，在［兀,2兀］上递增，/(7!)=l<g(K)=y,

2兀

/(0)=3>g(0)=0,/(27r)=3>g(27r)=y,

结合图象知在(0,2兀)上有两个交点,

故选：A.

3.B

【分析】根据投影向量的定义及向量的坐标运算求解.

【详解】由已知|@=行，(2-6=2xl+0xl=2>

a-bb21/「八

［在B上的投影向量为"^一^\^义正•。，1)=。，1),

故选：B.

4.B

【分析】根据复数的运算及复数、复数的模的概念判断各选项.

【详解】选项A,取Z3=0,4=1/2=2,满足2昌=2223，但4=Z2不成立，A错;

Z2=〃+41

选项B,设6i(Q,b£R),Z1=z2=a-bi,则7aS=艮|，B正确.

选项C,取马=1/2="满足k+Z2I=B-z21=拒，但马&=i。0,C错；

选项D,取Zi=1+2%=l—2i,则Z[+Z2=2,Z{-Z2=(1-2i)-(1+2i)=-4i,D错;

故选：B.

5.D

【分析】利用三角形相似，即可求解.

【详解】由图象可知，AOBS~ATAO,

2=生，^BS.AT=OB.OA=ij

ATOA

所以BS==------=cotx.

ATtanx

故选：D

6.D

【分析】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解.

［详解］因为,+(17)可((17招+可=(i7招2+117y+i］晨x+(17)庐

=1-/+1—t=2-2t,

归+(1—。回=万+(1—。=J1H1-耳,|(1一，)彳+,=万+B)=J1H1-N，

又Z+(i—与(1—0Z+B的夹角为60。，

所以2—2%=［1+(1T)Jcos60°,即4—4f=1+(1—%，，

解得.t=—1±-\/3

故选：D.

7.A

【分析】利用两角和与差的余弦公式，正弦的二倍角公式及诱导公式变形可得.

【详解】

Icos20°-cos40°cos20°=(cos60°-cos40°)cos20°=[cos(50°+10°)-cos(40°-10°)]cos20°

=(cos50°cos10°-sin50°sin10°-cos50°cos10°-sin50°sin10°)cos20°

c.lac.sc“ccicscccc-2sin20cos20°cos40°cos80°

=-2sm50sin10cos20=-2cos20cos40cos80=-----------------；----------------------

sin20°

-2sin40°cos40°cos80°-2sin80°cos80°-sin1600-sin2001

2sin20°4sin20°4sin20°4sin2004

故选：A.

8.C

【分析】根据对称性，周期性，最值举例说明ABD错误，解方程判断C正确.

【详解】选项A,/(-y)=sin(-y)+sin(-7t)=-1,/A=siny+sin?r=1/(-y),

即/(-x)=/(x)不可能恒成立，A错；

选项B,/(x+7i)=sin(x+兀)+sin(2x+2兀)=一sinx+sin2x,

即/(x+7i)=/(x)不可能恒成立，B错；

选项C,/(x)=sinx+2sinxcosx=sinx(l+2cosx),

由f(x)=0得sinx=0或cosx=~—,

2

12兀2兀

xG[-71,7i],贝！J由sinx=0得x=—兀,0,兀，由cosx=——得了=---,一，

233

即/(x)=0在[-兀，兀]上有5个不同的实根，C正确；

选项D,/(-)=sin-+sin-=—+1>72,D错.

4422

故选：C.

9.AC

【分析】根据统计表.结合中位数定义判断A(利用频数)，再由众数定义判断B,由极差定

义判断C,求出身高期望值判断D.

【详解】选项A,由统计表，身高小于170cm的频数为360,身高不小于170cm的频数为340,

因此身高的中位数小于170cm,A正确；

选项B,由统计表身高的众数在区间170,175)上，结合选项A的判断知B错误;

选项C,由统计表，身高的极差最大为180-155=25cm,最小为175-160=15cm,C正确;

选项D,身高的平均值为

60x157.5+120x162.5+180x167.5+240x172.5+100x177.5

x168.93cm,D错.

60+120+180+240+100

故选：AC.

10.BC

【分析】根据五点法求出的解析式，然后结合正弦函数的性质，诱导公式判断各选项.

410.n

【详解】由五点法知人337,从而。=：,d==,由正弦函数性质知c=-G，

b=———二—aa

23

2兀71

/-CD=-=—711八71

A=y]3,1312，7乂大+^=。，9=一;，

O236

所以/(%)=6sin(^x-今),

选项A,樗)=国呜4_[)=5A错；

选项B,/(x)=Gsing尤-9=Gsin：(x-g,其图象可由了=Gsin。的图象向右平移?个

单位得到，B正确；

选项C,函数/(x)的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为+(26)2=4,C

正确；

选项D,/(x)=V3sin(—%--)=V3sin(—%+--—)=-V3cos(—x+—),D错.

2623223

故选：BC.

11.ACD

【分析】对于A,连接/C交AD于点O,连接。。，可证得/G〃平面5。。，进而进行判断,

对于B,根据线面垂直的判定定理可证得。0，平面48。，设G为等边三角形4AD的外心，

过G作平面48。的垂线，则三棱锥4-50。外接球的球心在此直线上，然后求解，对于C,

取。。,3月的中点连接可得与平面/C,平面/〃，平面4与所

成的角分别N0NC,N0/M,N勿N,然后求它们的余弦值即可，对于D,由题意可得平面

J"平面8CC4,平面平面/DOM，N03C为二角面0-ZB-C的平面角，

NQBB、为二面角Q-AB-B]的平面角，然后求出它们的正弦值判断.

【详解】对于A,连接NC交8。于点。，连接。Q,

因为四边形/BCD为正方形，所以。为NC的中点，

因为。是cq的中点，所以。。〃4£,

因为/G<2平面8。。，OQu平面2。。，所以/£〃平面8。。，

因为P是线段/G上的动点，所以点P到平面3D。的距离为定值，

因为△B。。的面积也为定值，所以三棱锥尸的体积为定值，所以A正确,

对于B,因为CC]J■平面48cD,ADu平面4BCD,所以CG_L8Z),

因为/C/3D,ACHCC^C,NC,CGu平面NCq,

所以加工平面/C£,因为』Gu平面/C£,所以ADL/G，

同理可证48，ZG，

由选项A可知OQ〃/G，所以AD，。。，AB1OQ,

因为4BcBD=B,4民8。＜=平面48。，所以。。,平面450,

设G为等边三角形&AD的外心，则AG^-AO=-x正x2^2=

131323

过G作平面的垂线，则三棱锥4外接球的球心在此直线上，设球心为

连接4里。》，过“作/小，。。于£,

贝IHE=0G==；x*2A/2=.OQ=^BQ2-OB2=75^2=g,

设三棱锥4-B。。外接球的半径为E,则4〃=Q"=E,设OE=加，则〃G=机，

因为A.H2=4G2+GH\HQ2=HE2+QE\

所以上=半+优上=+(V3,解得加=?,R=浮，

所以B错误，

对于C,取月的中点M,N,连接AM,AN,MQ,NQ,则MQ〃C。，NQ//BC,

所以M。，平面/，，N。，平面/月，

因为。C,平面/C,

所以/0与平面/C，平面/，，平面/百所成的角分别NQ/CNQNMNQ/N,

因为W=NN=百/Q=J/C?+CQ2=VsTT=3，

/C2V2cAMV5,cmAN垂1

所以cosNQ/C==——,cosZ.QAM=工。=—cosZQAN==-^-,

<2/7V（后丫/c-y

所以COS2N0/C+COS2N°/A/+COS2N°NN=-^-+y-+=2,

对于D,因为MQ〃C。，AB//CD,所以北@〃/3,所以平面45。就是平面/2刎，

因为2平面BCCXBX,481平面ADDXAX,N8u平面ABQM,

所以平面ABQM1平面BCGBi,平面ABQM1平面ADDXAX,

因为2平面3CC4，8。＜=平面3(7。月，所以48,8。，

所以ZQBC为二角面。-AB-C的平面角,NQBB、为二面角Q--用的平面角,

sinNQ5C=空=上，sinZQBB.=sinZBDC=—=之,

BQ45'BQV5

所以平面ABQ与上下两个底面所成二面角的正弦值为专，

2

与前后两个平面所成二面角的正弦值为不，

TT

与左右两个平面所成二面角的正弦值为sinful,

所以£sin2g=2x]+j+2x[21+2xl2=4,所以D正确，

故选：ACD

关键点点睛：此题考查线面垂直，面面垂直，考查线面角，面面角，解题的关键是根据正方

体的性质结合线面角和面面角的定义找出线面角和面面角，考查空间想象能力和计算能力，

属于难题.

12.-3

【分析】由两角和的正切公式计算.

tan(a+/?)+tan(a-/3)1+2

【详解】tan2a=tan[(a+4)+(a—/?)]二二一3,

1-tan(a+/?)tan(a-/?)1-1x2

故一3.

13.—##-V3

22

【分析】根据数量积的定义化简己知式后求解.

【详解】因为/=],所以就.⑸=|拓口就卜OS3=B/2,而•丽=|e2|p^cosC=C42,

又能•茄=30•丽，所以5/2=3C/2,即8/=8。，因此B最小，

cBA&A

且38=标

Jc/+(百ay2

故？

14.2024

【分析】由函数与g(x)为偶函数，只需考虑工£[0,2024]的情形,然后设加EN,x=m,

m<x<m+^,m+^-<x<m+l分类讨论确定毛«=1,2,…，加)的值，再求和.

【详解】由题意/(')与g(x)为偶函数，只需考虑XE[0,2024]的情形,

设加£N,

%二冽时,由定义知｛加｝=义]=加,/(X)=g(x)=0,

m<x<m+—^,{x}=m=[x],f(x)=m-x,g(x)=x-m^f(x),

2

加+'<%<冽+1时，{%}二刃+1,[x]=m,f(x)=m-x,g(x)=x—(加+1)w/(x),

所以为=i(i=0,l,2,…,2024),

n

1fxj=^—(0+1+2+…+2024)=^^2024.(1+2024)/I?

v7

2025Z=1202520252

1n

由偶函数对称性可知，2x1012-2024.

2025i=l

故2024.

方法点睛：本题考查函数新定义，关键是正确理解新定义并进行转化应用，解题方法是根据

新定义对x的值进行分类讨论，从而确定函数值并判断是否有〃x)=g(x).

71

15.(1)5=2

⑵16

【分析】(1)利用两你用和与差的正弦公式对已知等式变形可求得3角；

(2)由面积建立a/,c的关系，利用基本不等式求得b的最小值，得面积最小值.也可用A角

表示出边a，c,然后利用正弦函数性质得面积的最小值.

【详解】⑴因为皿B+C)isC=2c°s*C+5

所以sin3cosC+sinCcosB-cosC=2cos方—sinCHcosC.

\22J

sinBcosC+sinCcosB-cosC=sinCcosB+逝cosBcosC•

(sinB—l)cosC=ScosBcosC.因为6最大，所以cosCwO,

从而sinB-1=V3COSB，

即sin5—Gcos5=l,所以sin18—g]=:，即8一£=/或5一?=?(舍)

7Z3636

从而

2

(2)法一：设面积为S,S=—x4xb=2b,

2

■JT1

因为8=7,所以〃=/+/,xS=-ac所以46=〃c,

22f

所以2/，

b=-------<

161664

所以628,

当且仅当〃=。时取等号，所以S=26216,面积的最小值为16.

44

法二：由力。边上的高为4,可得sin/=—,即c=^一

csm4

Lc一箕—=上与6

22sinAcosAsin2y4

当且仅当/即0=c时取等号.

△ABC面积的最小值为16.

37r7T

16.(1)最大值2a，最小值-2行，单调递增区间为kn-r，kn+q,keZ.

(2)a——2\/2或a=2V2"

【分析】(1)由三角公式化简函数为〃x)=/sin(ox+9)形式，然后根据正弦函数的性质求解;

(2)方程化为/(x)=2或〃x)=a,求得/(x)=2在［0,可上有三个根，因此/(x)=。在［0,可

上有且仅有一个不同于'=0,二,兀的实数根，从而根据正弦函数性质可得结论.

【详解】(1)由题意/(x)=2sin2x—匕学之+亚曹四T，

化简得/(x)=2(sin2x+cos2x)=26sin,

当2x+巴=2kji+—,左eZ时，

42

即、=左兀+?,左eZ,/(x)取得最大值2行；

O

当2xH——2kn,左eZ时，

42

37r_

即x=E—左ez,/(X)取得最小值—2行；

O

当2防c-乌W2x+巴V2E+巴，左eZ时，即左兀一把＜%(左兀+巴，keZ,/(x)单调递增.

24288

所以f(x)的最大值2血，最小值-2行，

-SITTT

单调递增区间为kn-■-,kn+-,keZ.

_oo_

(2)由题意(/(x)-2X/(x)-a)=0,/(x)=2或〃x)=a.

因为OVxW兀,与当〃x)=2时,

所以2行sin［2x+：］=2,

71

口LcKcIc-兀,v-71371,v9兀

2j2sin2xH—2,2xH—=—712%H—=—2xH—71=—,

(4)444444

7T

可得X=0,—,71.

4

所以/(力=。在［0,可上有且仅有一个不同于x=0,；,兀的实数根.

所以。=-2&或。=20.

17.(1)证明见解析

【分析】(1)连接CD,DE,由CD,平面P4B,得。，8尸，再由中位线定理得平行从而

得BPLDE,从而证得线面垂直;

(2)作于尸，连接C7"证明/CED即为二面角。-48-2的平面角，然后在直角

三角形中求解.

【详解】(1)证明：连接CD,DE,

CD_L平面尸48,4Pu平面尸45,3Pu平面尸4B,

CD1AP,CDIBP,

又C4=CP,j.D为/尸中点.

又E为BP中点、,DE//AB

又AB_LBP,BPLDE,

CDC\DE=D,。。,。£匚平面。°£,BP1CDE.

(2)作DF_L4B于尸，连接Cb,

CD_L平面尸N8,48u平面尸则CD_L4B,

又因为CDc。尸=D,CD,。尸u平面CD尸，

48/平面CDF,而CFu平面CDF,，/B_LCF.

又：以二日二1^二刀/为/尸那台的中点，所以。尸〃P8,

又BP,:.DF1AB.

则/CEO即为二面角。-48-尸的平面角.

DF

在RtZ\CDF中，cosZCFD=.

CF

设CB=G4=a,ACLCB,则CF=±/3='a.

22

12

因为5P=在Rt△力B尸中，(25尸『―5尸2=4^2=(亚Q),

则5尸=逅4,DF==BP=®a,cosZCFD="Q=

326V23

—ci

2

18.(1)加=0.016

(2)不正确

⑶78.26

【分析】(1)利用频率和为1列式即可得解；

(2)求出85%分位数后判断即可；

(3)利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.

【详解】(1)根据频率和为1，可知(〃z+0.009+0.022+0.025+0.028)xl0=l,

可得加=0.016.

(2)由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，

因为(0.028+0.022+0.025)x10=0.75,

(0.028+0.022+0.025+0.016)x10=0.91,

所以85%分位数位于［230,240)内,

0Q5—075

从而85%分位数为230+10x--------=236.25>234.

0.91-0.75

所以小明的估计不正确.

(3)由题意，A区的样本数为100x0.4=40,样本记为七，L,xw,平均数记为x

B区的样本数100x0.4=40,样本记为必，y2,L,y40,平均数记为y；

C区样本数为100x0.2=20,样本记为Z[,Z],L,z20,平均数记为三

记抽取的样本均值为右,®=0,4x213+0.4x223+0.2x233=221.

设该市第二档用户的月均用电量方差为d,则根据方差定义，总体样本方差为

=（占一1而J+X（匕-介石j+X卜一R「苏j

1UU|_Z=1z=lz=l_

4040__40

因为£1-尤）=0,所以22（%_工）卜_0）=21_0区卜尸苫卜。，

Z=11=1Z=1

40_____40_

同理X2（%-y）（y-0）=25-°E）=0,

1=11=1

£2（z*-z）（z-司=2（z-（y）为z-W=C，

Z=1Z=1

(2)5；

(3)存在，对称中心为(2,坪)，Xo=i.

【分析】(1)作MG//NC交48于G,确定异面直线所成角，再利用余弦定理求解即得.

(2)把矩形/CC/与“