湘教版八年级下册数学知识点复习总结+讲义

湘教版八年级下册数学知识点

—＞直角三角形

1、角平分线：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

如图，：AD是/BAC的平分线（或/DAB=NDAC）,

PE±AC,PF±AB

；.PE=PF

角平分线的逆定理；角内部的点到角两边的距离相等，那么这一点到角的角平分线上。

VPE±AC,PF±ABPE=PF

/.点P在/BAC的平分线ADh

c

2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。L

：CD是线段AB的垂直平分线，（或E为AB的中点，CD_LAB于点E）A

D

.*.PA=PB

3、勾股定理及其逆定理

①勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即:

。2+拉=C2

求斜边，则C="。2+。2.求直角边，则a=Jc2—或匕=Jc2—Q2

②逆定理如果三角形的三边氏a、b、C有关系=C2,那么这个三角形是直角三角形。

分别计算“。2+人”和“C2”，相等就是Rt^,不相等就不是RtZ\。

4、直角三角形全等

方法：SAS、ASA,SSS、AAS、HL。

HL:斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

1

5、直角三角形的其它性质

①直角三角形两锐角互余

②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

如图，在Rt^ABC中，

VCD是斜边AB的中线，

，CD=1AB。

②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

如图，在Rt^ABC中,

VZA=30°，

.•.BC=1A3。

③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°

如图，在Rt/XABC中,

VBC=-1AB,

ZA=30°o

6、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、有两个角互余的三角形是直角三角形。

在Z\ABC中，

ZA+ZB=90°,

•••AABC是直角三角形.

3、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

4、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系。2+b2=。2,那么这个三角

形是直角三角形。

7、三角形中位线

定义：连接三角形两边中点的线段叫做中位线。

2

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

如图，在△ABC中，

A

：E是AB的中点，F是AC的中点，（或EF是AABC的中位线）

.,.EF//BCHEF=-BC

2

二、四边形

1、多边形内角和公式：n边形的内角和=（n—2）•180。；任意多边形的外角和：360

内角禾口

求n边形的方法：〃=黑+2；过一个顶点有：〃一3条对角线；

18Oo

n（n-3）

n边形的对角线共有：一--条

2、中心对称：（在直角坐标系中即关于原点对称，其横、纵坐标都互为相反数）

XI.成中心对称的两个图形是全等.

X2.成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

X3.如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一

点对称.

3、特殊四边形的性质和判定

（1）两组对边分别平行;

（2）两组对边分别相等;

平行四边行性质，（3）两组对角分别相等;

（4）对角线互相平分；

（5）邻角互补.

在口ABCD中：

.-.AB//CD,BC//AD；（两组对边分别平行）

/.AB=CD,BC=AD；（两组对边分别相等）

.-.ZBAD=ZBCD,ZABC=ZADC.；（两组对角分别相等）

.♦.0A=0C,0B=0D；（对角线互相平分）

.-.ZBAD+ZADC=18Oo,NBAD+NABC=180。（邻角互补）

3

(1)两组对边分别平行

⑵两组对边分别相等

⑶两组对角分别相等>ABCD是平行四边形(平行四边形判定)

(4)一组对边平行且相等

⑸对角线互相平分

(1)VAB//DC,AB=DC.

，四边形ABCD是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

(2)VAB=CD,AD=BC.

四边形ABCD是平行四边形.(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)

(3)ZBAD=ZBCD,ZABC=ZADC.

...四边形ABCD是平行四边形.

(4)AB=CD,BC=AD；

二四边形ABCD是平行四边形.

(5)VOA=OC,OB=0D.

，四边形ABCD是平行四边形.

'⑴具有平行四边形的所有通性;

矩形的性质(2)四个角都是直角；

(3)对角线相等.

AB

(1)平行四边形+一个直角'

(2)三个角都是直角>n四边形ABCD是矩形.

(3)对角线相等的平行四边形

AB

'⑴具有平行四边形的所有通性；

菱形的性质，(2)四个边都相等；

(3)对角线垂直且平分对角.

(1)平行四边形+一组邻边等'

(2)四个边都相等>=>四边形四边形ABCD是菱形.

⑶对角线垂直的平行四边形

AB

'⑴具有平行四边形的所有通性；

正方形，(2)四个边都相等，四个角都是直角；

(3)对角线相等垂直且平分对角.

(1)平行四边形+一组邻边等+一个直角'

(2)菱形+一个直角，一四边形ABCD是正方形

⑶矩形+一组邻边等

4、面积公式

①S平行四边形=底义高②S矩形=长义宽③S正方形=边长X边长

1

④S菱形=底义iWi=亍义(两条对角线的乘积)，即：S=(aXb)+2

5、(1)中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形；对称中心是对角线的交点。

(2)轴对称图形：矩形、菱形、正方形；矩形的对称轴是过一组对边中点的直线，有2条对

称轴；菱形对称轴是过对角线的直线，有2条对称轴；正方形的对称轴是过一组对边中点的直线

和过对角线的直线，有4条对称轴。

6、有关中点四边形问题的知识点：

(1)顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；

(2)顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；

(3)顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；

(4)顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；

(5)顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；

(6)顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；

(7)顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；

三、图形与坐标

1、有序实数对:一组有顺序的数。记作(a,b)

2、平面直角坐标系：两条互相垂直，原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。横轴x轴，向右

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为正；纵轴y轴，向上为正。

3、不同位置的点的坐标的特征

(1)各象限内点的坐标的特征点P(x,y)

在第一象限0x〉O，y〉o(+,+)；在第二象限=x<O,y>0+)

在第三象限ox<0，y<0(-,-)；在第四象限ox>0,y<0(+,-)

(2)坐标轴上的点的特征(坐标轴上的点不属于任何象限)

在x轴上f(x,0)f横坐标轴上的点，纵坐标等于0；

在y轴上f(0,y)一纵坐标轴上的点，横坐标等于0；

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上O即点P坐标为(0,0)原点。

(3)两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上Ox与y相等；

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上=x与y互为相反数。

(4)和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；

平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

4、点的对称性：关于什么轴对称什么坐标不变

关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标相反；P(X,y)f(x,-y)

关于y轴对称的点，横坐标相反，纵坐标相同；P(x,y)—(-x,y)

关于原点对称的点，横、纵坐标都相反；P(x,y)f(-x「y)

解题方法：相等时用“=”连结，相反时两式相加=0。

5、坐标平移：左右平移：横坐标右加左减，纵坐标不变；

上下平移：横坐标不变，纵坐标上加下减。

6、点到坐标轴及原点的距离

6

(1)点P(x,y)到x轴的距离等于0

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于国

(3)点P(x,y)到原点的距离等于⑪+产

7、坐标轴上两点的距离：

点A(xj0)点lx2,。)则AB距离为：

点A(0,yj点(0,丫2)则AB距离为：

点A(xryj点lx2,丫2)则AB距离为：

8、中点坐标

x+x

点A(x/0)点B区,0)则AB中点坐标为：(一二2，。)

y1+y2

点A(0,yj点B(0,丫2)则AB中点坐标为：(0,''2')

X+xV+V

点A(X],yj点B小2，丫2)则AB中点坐标为：(-?-二,飞二？)

四、一次函数

1、判断函数：两个变量；区分自变量，因变量；自变量取一个值因变量有唯一的一个值与它相

对应，一一对应。

2、函数自变量的取值：整式取全体实数，分式则分母不为0；二次根式则根号下的式子被开方

式三0；零次累和负指数次累底数W0;组合的公共部分；实际情况实际分析。

3、函数值；函数的表示方法：列表法、图像法、公式法。

画函数图像的步骤：列表、描点、连线。

4、用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤:

(1)解设：函数关系式y=kx+b；

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（2）代：将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到关于k,b的二

元一次方程组；

（3）解；求k,b；

（4）写；写出所求函数的解析式.

5、一次函数与一元一次方程的关系：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=O（k、b为常数，

k/O）的形式而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，kWO）.当函数值为0时，•

即kx+b=O就与一元一次方程完全相同.

结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=O（k、b为常数，kWO）的形式.所以解一

元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

6、正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移⑹个单位长度而得到

（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

7、直线y=kx+b（k/0）与）；=上％+6（kw0）位置关系

111222

（1）两直线平行=k=k且匕w匕（2）两直线相交okwk

121212

（3）两直线重合=k=k且匕=匕（4）两直线垂直=-1

121212

正比例函数一次函数

概念一般地，形如y=kx（k是常数，kRO）一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，*0）,那么y

的函数叫做正比例函数，其中k叫叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx,所以说正

做比例系数比例函数是一种特殊的一次函数.

自变量X为全体实数

范围

图象一条直线

b

必过点(0,0)、(1,k)(0,b)和(--,0)

k

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走向k>0时，直线经过一、三象限；k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限

k〈0时，直线经过二、四象限k>0,b<0直线经过第一、三、四象限

k<0,b>0直线经过第一、二、四象限

k<0,b<0直线经过第二、三、四象限

增减性k>0,y随x的增大而增大；（从左向右上升）

k<0,y随x的增大而减小。（从左向右下降）

倾斜度出1越大，越接近y轴，图像越陡；|k|越小，越接近x轴，图像越平缓。

图像的k相同b>0时，将直线y=kx的图象向上平移科个单位；

平