【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）专题11 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题之八大类型（原卷版）

专题11难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题之八大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一新定义型二次函数——关联抛物线】 1【类型二新定义型二次函数——友好二次函数】 5【类型三新定义型二次函数——衍生抛物线】 13【类型四新定义型二次函数——同轴对称抛物线】 19【类型五新定义型二次函数——孔像抛物线】 25【类型六新定义型二次函数——伴随抛物线】 32【类型七新定义型二次函数——美丽抛物线】 35【类型八新定义型二次函数——系列平移抛物线】 40【典型例题】【类型一新定义型二次函数——关联抛物线】例题：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上时，那么我们称抛物线与“互为关联”的抛物线．如图，已知抛物线：与：是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点．(1)直接写出A，B的坐标和抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点E，使得是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；【变式训练】1．新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E．(1)若点E的坐标为，求的解析式；(2)设的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标；(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N．①当MN=6时，求点P的坐标；②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值．【类型二新定义型二次函数——友好二次函数】例题：若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线：与抛物线：为“友好抛物线”．(1)求抛物线的解析式；(2)点是抛物线上在第一象限的动点，过作轴，为垂足，求的最大值；(3)设抛物线的顶点为，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【变式训练】1．定义：若抛物线与抛物线的开口大小相同，方向相反，且抛物线经过的顶点，我们称抛物线为的“友好抛物线”．（1）若的表达式为，求的“友好抛物线”的表达式；（2）已知抛物线为的“友好抛物线”．求证：抛物线也是的“友好抛物线”；（3）平面上有点，，抛物线为的“友好抛物线”，且抛物线的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线与线段没有公共点时，求的取值范围．2．【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：的“友好对称二次函数”为．【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为______________；的“友好对称二次函数”为____________．【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号）①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；②二次项系为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；③的“友好对称二次函数”为．④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点．【拓屐应用】（3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与y轴交于点A，点B，C分别在，上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的称点分别力，，连接，，，．①若，且四边形为正方形，求m的值；②若，且四边形邻边之比为，直接写出a的值．【类型三新定义型二次函数——衍生抛物线】例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线经过点，则b＝，顶点坐标为，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：(3)已知抛物线．①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）．【变式训练】1．我们定义：对于抛物线（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（1）已知抛物线经过点（-1，0），则b=_______，顶点坐标为_______，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线的表达式是_______；（2）已知抛物线关于点（0，m）的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围；（3）已知抛物线（a≠0）．若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An；…（n为正整数），直接写出AnAn+1的长_________（用含n的式子表示）．【类型四新定义型二次函数——同轴对称抛物线】例题：定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．(1)请写出抛物线的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为．(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为．①当四边形为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．【变式训练】1．定义：关于轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”.例如：的“同轴对称抛物线”为.(1)求抛物线的“同轴对称抛物线”.(2)如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点、关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、.①当四边形为正方形时，求的值.②在①的条件下，抛物线的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点和点（其中在的左边），将抛物线的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点和点（其中在的左边），满足，在抛物线上有且仅有三个点、、，使得、、的面积均为定值，求、、的坐标.

【类型五新定义型二次函数——孔像抛物线】例题：二次函数的图象交轴于原点及点．【感知特例】(1)当时，如图1，抛物线：上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如表：…（___，___）………①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．【形成概念】我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．【探究问题】(2)①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为______；②若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，直接写出的值______；③在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式为____________．【变式训练】1．二次函数的图象交轴于原点及点．感知特例（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：…（___，___）………①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．形成概念我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．【类型六新定义型二次函数——伴随抛物线】例题：定义：如图，若两条抛物线关于直线成轴对称，当时，取顶点左侧的抛物线的部分；当时，取顶点在右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线的一对伴随抛物线．例如：抛物线与抛物线就是关于直线轴的一对伴随抛物线．(1)求抛物线关于直线的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．(2)设抛物线交轴于点，交直线于点．①求直线平行于轴时的的值．②求是直角时抛物线关于直线的“伴随抛物线”的顶点横坐标．③已知点、的坐标分别为、，直接写出抛物线及其关于直线的“伴随抛物线”与矩形不同的边有四个公共点时的取值范围．【类型七新定义型二次函数——美丽抛物线】例题：已知如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以线段为对角线的正方形的另两顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把抛物线称为美丽抛物线，正方形为它的内接正方形．（1）当抛物线是美丽抛物线时，________；当抛物是美丽抛物线时，________．（2）若抛物线是美丽抛物线，请直接写出的a，k数量关系．（3）若抛物线是美丽抛物线，（2）中a，k数量关系仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（4）已知系列美丽抛物线（n为正整数，）的顶点为均在直线上，且它们中恰有两个美丽抛物线与（s，t为正整数，，）的内接正方形的面积之比为1：4，试求的值．【变式训练】1．定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横坐标、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的美丽函数．如与互为美丽函数．(1)求的美丽函数的表达式；(2)若的图像的顶点为P，且经过它的美丽函数的图像的顶点Q．①求证：这两个函数的图像的交点为P，Q；②点M是在P，Q之间的图像的动点，轴交的图像于点N，求MN长度的最大值．【类型八新定义型二次函数——系列平移抛物线】例题：【特例感知】（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是_______；①抛物线都经过点；②抛物线的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；③抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．【形成概念】（2）把满足（为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．【知识应用】在（2）中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：，其横坐标分别为（为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点连接，判断是否平行？并说明理由．【变式训练】1．在平面直角坐标系中，有系列抛物线（n为正整数）．系列抛物线的顶点分别为，，，…，．(1)下列结论正确的序号是______．①系列抛物线的对称轴是直线；②系列抛物线有公共交点和；③系列抛物线都是由抛物线平移所得；④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；(2)对于任意一条与x轴垂直的直线，与系列抛物线的交点分别为，，，…，．①当时，______；②试判断相邻两点之间的距离是否相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；③以为边作正方形，若正方形的另二个点落在对称轴上，求a的值．2．我们把抛物线：（n为正整数）称为“拉手系列抛物线”，为了探究的它性质，某同学经历如下过程：【特例求解】（1）当n=1时，抛物线y1的顶点坐标是；与x轴的交点坐标是；（2）当n=2时，抛物线y2的顶点坐标是；与x轴的交点坐标是；（3）当n=3时，抛物