2024-2025学年浙教版九年级数学上册专项复习：动点的函数图象问题（压轴题）解析版

动点的函数图象问题

♦思想方法

I/

数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学

问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象

的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

♦典例分析

【典例1］如图，在aABC中，^ACB=90°,AABC=60°,BD=2,CD14B于点D,点E、F、G分别是

边CD、CA,4。的中点，连接EF、FG,动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点4方向运动（点

M运动到4B的中点时停止）；过点M作直线MPIIBC与线段4C交于点P,以PM为斜边作Rt△PMN,点N在4B

上，设运动的时间为t（s）,Rt^PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S,贝口与t之间的函数关系图象大致为

（）

本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键.根据题意先分段，分为0WtW0.5,

0.5<t<1,1<t<2三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出。<t<0.5,1<t<2

两段，用排除法解决.

【解题过程】

解：分析平移过程,

①从开始出发至PM与点E重合，由题意可知0WtW0.5,如图,

过点M作MT于点T,

・4=60。，CD1AB,

：.BC=2BD=4,CD=遮BD=2收BT==t,

•・•乙4cB=90°,MP||BC,

=乙MPA=90°,

・•・四边形CTM尸为矩形，

.-.PM=CT=BC—BT=4—t,

-Z.PMN=^B=60°,PN1AB,

…rPM4-t

；.MN=—

:・DN=MN-MD=MN-BD+BM=^,

・・・E为CD中点,

・•.DE=牛=V3,

；.S=DE,DNT

・•.S与力的函数关系是正比例函数;

②当0.5<t<1,即从PM与E重合至点M与点。重合，如图,

BMDN

由①可得QN=ED=g,DM=2—2t,DN=|t,S矩形=考

•・ZPMN==60°,CDLAB,

:.SD=V3MD=2V3—2V3t,

：.ES—ED—SD—2y[3t—V3?

；・ER=-=2t—1,

・.,S=S矩形EDMQ_SAERS=—|(2V3t—V3)(2t—1)=+写£一浮

此函数图象是开口向下的二次函数；

③当l<tW2,即从点M与点。重合至点M到达终点，如图，

BDMNGA

由①可得DN=|t,MN=?,

■:AD=近CD=6,DG=^AD=3,

3

・・.NG=DG-DN=3--t,

••.QF=NG=3-|3

••,PQ专巡-当，

,•・收=51=1一3，

.=(HQ+MN)XQN=(l-lf+i^)xV3=_乌+3V3

・•.s与t的函数关系是一次函数，

综上，只有选项A的图象符合，

故选：A.

♦学霸必刷

1.(2024・四川广元・二模)如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm,动点M自点/出发沿AB方向以

每秒1cm的速度向点B运动，同时动点N自点/出发沿折线2D—DC—CB以每秒2cm的速度运动，到达点8

时运动同时停止.设aAMN的面积为y(cm2),运动时间为无(秒)，则下列图象中能大致反映y与x之间

的函数关系的是()

DC

AM―►B

【思路点拨】

本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关

键.根据题意，分三段(0<x<l,lWx<3,3<%<4)分别求解y与x的解析式，从而求解.

【解题过程】

解：当0<x<l时，M、N分别在线段48、AD±,

此时AM=xcm,AN=2%cm,

1

2

y=S^AMN=-xAMxAN=x,为二次函数，图象为开口向上的抛物线;

当1W久<3时，M,N分别在线段48、CD上，

DNC

此时ZM=xcm,△4MN底边力M上的高为2D=2cm,

1

X4MXXO-X

y—^AAMN2-为一次函数,图象为直线;

当3Wx<4时，M、N分别在线段48、BC上,

此时AM=xcm,△4MN底边AM上的高为BN=(8-2%)cm,

y=S/^MN=Jx4MxBN=1r（8—2无）=一万2+4%,为二次函数，图象为开口向下的抛物线；

结合选项，只有A选项符合题意，

故选：A.

2.（22-23九年级上•安徽合肥・期中）如图，在△ABC中，NC=135。，AC=BC=242,P为BC边上一动

点，PQII4B交力C于点Q,连接BQ,设PB=x,SABPQ=y,则能表示y与％之间的函数关系的图象大致是

（）

过点Q作QE1BC交延长线于点E,根据S^BPQ=y=•BP列出解析式再判断即可.

【解题过程】

解：如图，过点Q作QE1BC交BC延长线于点E,

E

「、义

AB

■.■AC=BC=2V2

：.Z.A=乙ABC

-PQWAB,

:.（CQP=Z-A,Z-CPQ=乙ABC

"CQP=Z.CPQ

•••CQ=CP=2V2—x.

-AACB=135°

:ZECQ=45°

在RtZkCEQ中，Z-ECQ=45°,

QE=*CQ=¥（2&_x）=2_亨汇，

y=-BP=夫（2~~x）=—?/+x=—?（x-V2）2+浮

.•.当x=鱼时,y最大值=¥，

故选：c.

3.（2024•河北石家庄•二模）如图所示，△4BC和△DEF均为边长为4的等边三角形，点力从点D运动到点

E的过程中，48和。尸相交于点G,2C和前相交于点H,（S4BGF+SVCH）为纵坐标门点2移动的距离为横坐

标x,则y与x关系的图象大致为（）

JJ

C.°\XD.°\X

【思路点拨】

如图，过G作GK1BC于K,过H作HT1BC于T,证明四边形4CFD为平行四边形，可得力D=CF=%,

BF=4—x,求解CT=FT=%TH="炉—我斜=争,同理可得：GK=^4-x),再利用面积公式

建立函数关系式即可判断.

【解题过程】

解：如图，过G作GKLBC于K,过H作HT18C于T,

••・四边形4CFD为平行四边形，

.,.AD=CF=x,

；.BF=4—x,

・・・△/BC和△OEF均为边长为4的等边三角形，AD\\CFf

=乙DFB=60°,而=60°,

.•.△BG尸为等边三角形，

同理：△CFH为等边三角形，

■:HT1BC,

：.CT=FT=|x,TH=VFW2-FT2=争，

同理可得：GK=苧(4—x),

•••y=4%•冬+1(4-x)•苧(4-x)=争2-2V3X+4V3,

故选B

4.（2023•辽宁铁岭•模拟预测）如图，矩形4BCD中，AB=8cm,AD=12cm,4C与BD交于点。，M是BC

的中点.P、Q两点沿着B-CrD方向分别从点8、点M同时出发，并都以lcm/s的速度运动，当点Q到达。点

时，两点同时停止运动.在P、Q两点运动的过程中，与aop、的面积随时间t变化的图象最接近的是（）

【思路点拨】

本题考查了动点问题函数图象.根据矩形的性质求出点。到BC的距离等于4,至UCD的距离等于6,求出点Q

到达点C的时间为6s,点P到达点C的时间为12s,点Q到达点。的时间为14s,然后分①0WtW6时，点P、

Q都在BC上，表示出PQ,然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②6<tW12时，点P在BC上，点Q在

CD上，表示出CP、CQ,然后根据SAOPQ=SACOP+SACOQ—S"CQ列式整理即可得解；③12<tW14时，表

示出PQ,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.

【解题过程】

解:•.•矩形力BCD中，AB=8cm,AD=12cm,4c与BD交于点0,

•••点。到8C的距离==4,至UCD的距离==6,

•••点M是BC的中点，

•••CM=|fiC=6,

•••点Q到达点C的时间为6+1=6s,

点P到达点C的时间为12+1=12s,

点Q到达点。的时间为(6+8)+1=14s,

①0WtW6时，点P、Q都在BC上，PQ=6,

△OPQ的面积=：x6x4=12；

②6<tW12时，点P在BC上，点Q在CD上，

CP=12—3CQ=t-6,

SROPQ—S^COP+S^COQ-S^PCQ，

=-x(12—t)x4+-x(t—6)x6——x(12—t)x(t—6),

=|t2-8t+42,

=|(t-8)2+10,

@12<t<14时，PQ=6,

△OPQ的面积=|x6x6=18；

纵观各选项，只有B选项图形符合.

故选：B.

5.(2023•江苏南通•模拟预测)如图，在矩形2BCD中，AB=4,BC=6,E为4B中点，动点P从点B开始

沿8C方向运动到点C停止，动点Q从点C开始沿CD-ZM方向运动，与点P同时出发，同时停止；这两点的运

动速度均为每秒1个单位；若设他们的运动时间为x(s),的面积为y,则y与x之间的函数关系的图

先求出点尸在BC上运动是时间为6秒，点0在CD上运动是时间为4秒，再根据中点的定义可得

AE^BE^^AB,然后分①点0在CD上时，表示出BP、CP.CQ,再根据△EPQ的面积为y=S德彦BCQE

S^BPE—SAPCQ，列式整理即可得解；②点。在4。上时，表示出BP、AQ,再根据△EPQ的面积为，=

S梯形ABPQ—S&BPE—SMEQ，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可•

【解题过程】

解：•・•点P、Q的速度均为每秒1个单位，

•••点尸在BC上运动的时间为6+1=6（秒），点0在CD上运动的时间为4+1=4（秒），

■■-E为4B中点，

：.AE=BE=^B="4=2,

①如图1,点0在CD上时，0WxW4,

则BP=x,CP=6—x,CQ=%,

・•.△"Q的面积为y=S梯形BCQE一SABPE一SNCQ,

111

=—(2+%)x6——x2x——(6—x)•%

1

=—9—x+6

1Q11

=5(X-1)2+2

②如图2,点。在4。上时，4<x<6,

图2

贝!JBP=x,AQ=6+4—x=10—%,

△EPQ的面积为y=S梯形ABPQ-S^BPE-S&AEQ，

iii

=-(%+10—%)x4--x2%--(10—%)•2=10,

函数图象为对称轴为直线X=1的抛物线的一部分加一条线段，只有A选项符合.

故选：A.

6.(2024•河南开封一模)如图1,在△4BC中，zB=60°,点。从点2出发，沿BC运动，速度为1

cm/s.点尸在折线B4C上，且PD1BC于点。.点。运动2s时，点P与点N重合.△PBD的面积S(cm2)与

运动时间t(s)的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点.当S(cm2)取最大值时，PD的长为()

图1图2

A.2V3cmB.(1+V3)cmC.(1+2遮)cmD.(2+2V3)cm

【思路点拨】

本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积.本题属二次函数与几何综合题目.

先根据点。运动2s时，点尸与点/重合.从而求得P〉=7PB2—BD2=2g(cm),再由函数图象求得

BC=(2+2V3)X1=(2+2V3)cm,从而求得DC=BC—BD=2+2旧一2=2V^(cm),得出PD=DC,

然后根据由题图2点E的位置可知，点尸在AC上时，S^PBD有最大值.所以当2WtS2+2旧时，点尸在2C

__-1

边上，此时80=tx1=PD=DC=(2+2V3—t)cm,根据三角形面积公式求得=-5

[t-(l+V3)]2+2+V3,最后根据二次函数的性质求解即可.

【解题过程】

解：由题意知，点。运动2s时，点尸，。的位置如图1所示.

P⑷

图1

此时，在RtZ\PBD中，BD=2cm,NB=60。，PDLBC,

：.PB=2BD=4(cm),

：.PD=7PB2—BD2=2叫cm).

由函数图象得BC=(2+2V3)x1=(2+2V3)cm,

-'-DC-BC—BD=2+2V3—2=2V3(cm),

.-.PD=DC.

由题图2点E的位置可知，点尸在力C上时，S^PBD有最大值.

当2WtW2+2机时，点尸在4C边上，如图2,

图2

此时BD=tX1=t(cm),PD=DC=(2+2A/3—t)cm,

:S4PBD=5xBDxPD=5Xtx(2+2,y/3—t)——~t^+(1+

APBD=——(1+V^)]+2+V3,

0,

.•.当t=l+V^时，S^PBD的值最大，

此时PD=CD=2+2V3-(1+V3)=(1+V3)cm.

故选：B.

7.(2024•安徽•一模)如图，在四边形4BCD中，=60。，CDVAD,Z.BCD=90°,AB=BC=4,动点

P,Q同时从4点出发，点Q以每秒2个单位长度沿折线A—B—C向终点C运动；点P以每秒1个单位长度沿线

段AD向终点。运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，△NPQ的面积为y

个平方单位，则y随x变化的函数图象大致为()

AP->D

分当04%V2时，点Q在43上和当24汽＜4时，点Q在上，根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解题过程】

解：过Q作QN1/O于N,当04%V2时，点Q在上，

・・・乙4=60°,

・％QN=90。-60。=30。，

:.AN=gx2%=%,

；,QN=1AQ2-AN2=V3x,

.,.y=^xAPxNQ=^xxxV3x=争2，

当时，点Q在BC上，过点B作于点M,

-BMLAD,乙/=60。,

：.Z.ABM=30°,

.-.AM=/B=[X4=2,

■■-BM=7AB2—4M2=2V3,

■■CDLAD,QN1AD,

:.QN||CD,

:/BQN=乙BCD=90°,

■.■BM1AD,CD1AD,

二.四边形8MNQ是矩形，

:.QN=BM=2V3,

y--QN-^xx2V3=V3x,

综上所述，当0Wx<2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2WxW4时，函数图象是直线的一

部分,

故选：D.

8.（23-24九年级上•浙江温州•期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在RtZkABC中，ZC=90°,CD=五

,。为AC上一点，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿c-B-a匀速运动，到达点4时

停止，以DP为边作正方形DPEF,设点P的运动时间为ts,正方形DPEF的面积为S,当点P由点C运动到点4

时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻以，频，功（五<t2<t3）

对应的正方形的面积均相等，当13=5打时，则正方形DPEF的面积为（)

D.5

【思路点拨】

由题意可得：CD=V2,CP=t,当点P在BC上运动时5=严+2,由图可得，当点P与点B重合时，S=6,

求出t=2,即BC=2,当P在BA上时，由图可得抛物线过点（2,6）,顶点为（4,2）,求出抛物线解析式为

S=（t—2/+2,从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1,则从图象上看ti，t2关于％=2对称，%

t3关于％=4对称，ti+t2=4①，t2+t3=8（2）,结合t3=5ti③，求出t的值即可得出答案.

【解题过程】

解：由题意可得：CD=y/2,CP=t,

当点P在BC上运动时，S=DP2=CP2+CD2=t2+2,

由图可得，当点P与点B重合时，S=6,

t2+2=6,

・"=2或力=—2（不符合题意，舍去），

・•.BC=2,

当P在84上时，由图可得抛物线过点（2,6）,顶点为（4,2）,

则抛物线的表达式为S=a（t-4）2+2,

将（2,6）代入得：a（2—4尸+2=6,

**,CL—1,

抛物线的表达式为:S=（-4）2+2,

从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1,

若存在3个时刻匕，以，2Vt3）对应的正方形。P跖的面积均相等，则从图象上看“，均关于％=2

对称，t2，t3关于X=4对称，

;ti+以=4①,母+抬=8②，

"%=5tl③，

由①③③解得以=1，

S=t2+2=14-2=3,

故选：A.

9.（22-23九年级上•浙江嘉兴・期中）如图，在Rt△力BC中，ZC=90%^ABC=60°,BC=6,点。为AC

中点，点。为线段AB上的动点，连接。D,设BD=x,OD2=y,则y与x之间的函数关系图像大致为（）

A

【思路点拨】

如图:过。作。El4B,垂足为E,先根据直角三角形的性质求得ZB=12,AC=6值，再根据中点的定义求得

0A=|4C=3V3,进而求得4E=<4。2+。52=,可得DE=1—x,然后再根据勾股定理求得函数解析式,

最后确定函数图像即可.

【解题过程】

解：如图:过。作0EL4B,垂足为£

•••ZC=90°,AABC=60°

；.乙4=30°

-BC=6

：.AB=2BC=12

■■AC=7AB2-BC2=7122—62=6V3

•.•点。为AC中点

：.0A=|XC=3V3

•••Z4=30°

：.OE=\AO=孚

■■AE=7A02+OE2=J(3V^)2+(竽丫=|

—

.-.OD2=OE2+DE2,^9y-+(y-%)=(x一勇+y

当x=0时，y-(0-y)2+Y=63

当》=*寸，”停一同2+与=与

当x=12时,y=(12-y)+'=27

10.（2024•广东深圳•三模）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=8,点D和点E分别是4B和AC

的中点，点M和点N分别从点力和点E出发，沿着方向运动，运动速度都是1个单位/秒，当点N到达

点8时，两点间时停止运动.设的面积为S,运动时间为3贝US与t之间的函数图象大致为（）

本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取BC的中点F,连接DF

根据题意得到DF和DE,分三种情况讨论三角形的面积：（1）当0<tW6时，得MN=AE=6,结合三角

形面积公式求解即可；（2）当6<tW12时，得AM,MC,CN和BN,结合S=SAABC-SAADM—SABDN-

SACMN；（3）当12<tW14时，点M、N都在上，结合。尸和MN求面积即可.

【解题过程】

AN—aC

DF||AC,DF=^AC=6

,••点0、E是中点，

.-.DE=^BC=4,DF||CB,

•,■zC=90°,

二.四边形DECF为矩形，

当0<tW6时，点M在4E上，点N在EC上，MN=AE=6,

11

・•・s=-MN•DE=；x6x4=12；

如图，当6<tW12时，点M在EC上，点N在BC上,

/.MC=12-t,CN=t-6,BN=14—t,

•••S=S^[BC-SA/OM—S&BDN-S&CMN

1111

=—x8x12——x4t——x6(14_t)——(12_t)(t_6)

=#2-42；

如图，当12<tW14时，点M、N都在BC上，

11

S=-MN•OF=5x6x6=18,

综上判断选项A的图象符合题意.

故选：A.

11.（2024•河南南阳•二模）如图是一种轨道示意图，其中力、B、C、。分别是菱形的四个顶点,

44=60。.现有两个机器人（看成点）分别从力，C两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线

分别为4-B-C和CrD—A若移动时间为t,两个机器人之间距离为d.则d2与t之间的函数关系用图象表

示大致为（）

【思路点拨】

设菱形的边长为2,根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离d2的解析式，再利用二次函数的性质即

可解答.

【解题过程】

解：①设4D=2,如图所示，

••・移动时间为t,乙4=60°,

:.CK=1,FT=KB=遍,

：.AE=t,CF=2—t,

;.FK=2—t—1=1+t,

•'•ET—2—t—(1+t)—l+2t,

・•・在Rt2XEFT中，EF2=ET2+FT2=(1+2t)2+(V3)=4仔+41+4；

•・•移动时间为3乙4=60°,

••.BM=t—2,CM=2—(t—2)=4—3CP=1,PD=LQ=V3,

：.MQ=CM-CQ=(4-t)-1=3-t,

2

.••在RtZXLMQ中，ML2=MQ2+LQ2=(3-t)2+(V3)=t2-6t+12,

・•・函数图像为两个二次函数图象；

③当从4出发的机器人在B点，从C出发的机器人在D点，此时距离是8D；从4出发的机器人在4点，从C出

发的机器人在C点，此时距离是4C；

■■.BD=2,AE=V3,

：.AC=2AE=2V3,

：.BD<AC,

函数图象的起点和终点高于中间点;

综上所述：A项符合题意；

故选A.

12.（2024•山东聊城•二模）如图，等边△ABC与矩形OEFG在同一直角坐标系中，现将等边△4BC按箭头

所指的方向水平移动，平移距离为x,点C到达点尸为止，等边△力BC与矩形DEFG重合部分的面积记为

S,则S关于x的函数图象大致为（）

【思路点拨】

本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质等知识，如图，作4Q1BC于点

Q,可知42=b.分当0〈久W1或1<xW2或2W3三种情形，分别求出重叠部分的面积，即可得出

图象.

【解题过程】

解：如图①，设4C与DE交于点H,

图1

•・•△ABC是等边三角形,

：.^ABC=AACB=60°,AB=BC=AC=2,

过点4作4Q18C于点Q,则BQ=CQ=9BC=1,

■■AQ=—CQ2=722-12=V3,

•.,四边形DEFG是矩形，

：/DEF=90°,DE=AQ=W,EF=OF-OE=5-2=3,

当0<%W1时，

在Rt△HCE中,2LACE=60。,EC=x,

••/CHE=30°,

.'-HC=2x,

■■.HE=>JHC2-EC2=V(2%)2-%2=V3x

.■.S=|ECXHE=|xXV3x=亨/,

所以，S关于尤的函数图象是顶点为原点，开口向上且在0<xWl内的一段;

当1<%W2时，如图，

设48与OE交于点P,

♦：EC=x,BC=2,

.,.BE=BC—EC=2—x,

同理可得，PF=V3(x-2),

■-S=S-,S&PBE=5x2xV3--(2—x),V3(2—x)=—乎(%—2)2+V3,

所以，图象为1<XW2时开口向下的一段抛物线索；

当2<xW3时，如图，

5=|x2xV3=V3,

此时的函数图象是在2<%<3范围内的一条线段，即S=V3（2<x<3）,

故选：C

13.（2024•河南•模拟预测）如图，在等腰直角三角形A8C中，^ABC=90°,BD是AC边上的中线，将△BCD

沿射线B力方向匀速平移，平移后的三角形记为△BiCWi，设△BiCiDi与△4BD重叠部分的面积为y,平

移距离为X,当点为与点4重合时，△&C1D1停止运动，则下列图象最符合y与x之间函数关系的是（）

【思路点拨】

本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及等腰直角三角形，平移的性质，二次函数的性质等知识，解

题的关键是灵活运用这些性质，学会分类讨论.过点。作DM1A8于M,由aaBC为等腰直角三角形，

/.ABC=90°,可设4B=BC=2,可得2。=CO=80=鱼，DM=AM=BM=1,然后分情况讨论：当

0<x<lHt,当1<*W2时，分别求出关于S、x的函数，再数形结合即可求解.

【解题过程】

解：过点。作DM14B于M,

△ABC为等腰直角三角形，AABC=90°,

・•・AB=BC,

设ZB=BC=2,

•••AD=CD=BD=V2,DM=AMBM=1,

当0<xW1时，设Bl必交AC于点G,B1G交BD于N,

A.B—BBi=2—%,

由平移知&GIIBD,乙AB1G=CABD,

・•・△//G是等腰直角三角形，

2

・•・S^AB1G=="(2-x),

又,*SAABD=5X]X2X2=1,S^BBIN=5/

2%2

•••S=SAABD—SAAB1G—S^BB\N=1—式2—%)—2=—%2+%,

17

当％=—以两=自时取得最大值，故排除A、B选项

当1<XW2时，BiDi交4c于点G,&Ci交2C于点H,

•••B/IIBC,

•••4B1HG=4ACB=45°,

又•••^D1B1Cl=45°,

△BiGH为等腰三角形，

Z-AB^D^—(ABD—45°=Z-A,

•­•ABIG为等腰三角形，

•*,%G=孝481=孝（2一%）,

AS=S4B1GH=万¥（2_%）X曰（2—%）=式2—x）2,

即当1<%<2时，函数图像为开口向上的抛物线，故排除C选项

故选：D.

14.(23-24九年级上•安徽滁州•期末)如图，菱形4BCD的边长为3cm,zF=60°,动点P从点B出发以3cm/

s的速度沿着边BC—CD—运动，到达点4后停止运动；同时动点Q从点B出发，以lcm/s的速度沿着边84

向4点运动，到达点4后停止运动.设点P的运动时间为X(s),△8PQ的面积为y(cm2),贝。关于x的函数图

象为()

【思路点拨】

根据题意可知分情况讨论，分别列出当点P在BC上时，点P在CD上时，点P在2D上时表达式，再画图得到函

数解析式，即可得到本题答案.

【解题过程】

解：设点尸的运动时间为x(s),aBPl?的面积为y(cm2),

①当OWxWl时，点P在BC上时，

过点P作PELB4

•••根据题知:4B=6Q。,PB=3x,BQ=x,

.-.BE=|x,PE=当x,

：.y=^BQ-PE=^x---x=^^x2；

②当1<%W2时，点P在CD上时，

过点P作PH，84

・•・根据题知：48=60。，BC=3,BQ=x,

-.PH=|V3,

••.y=^BQ-PH==乎x；

③当2<xW3时，点P在4。上时，

过点P作PF1B4交延长线于F,

・•・根据题知：NB=60。，即N凡4。=60。，

,-'BC+CD+AD=3+3+3=9cm,BC+CD+DP3%,

：-AP=(9—3%)cm,

...尸产二空四

••.y=^BQ-PF=1x-^y^-V3=竽％—苧/.

•・・结合三种情况，图像如下所示:

yi

3\/3

3^3

o

故选：D.

15.（2023•辽宁盘锦・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形28CD的顶点/在y轴的正半轴上，顶

点3、C在x轴的正半轴上，O（2,V3）,P（-l,-l）.点M在菱形的边力D和。C上运动（不与点N,C重

合），过点M作MNIly轴，与菱形的另一边交于点N,连接PM,PN,设点〃的横坐标为x,△PMN的面

积为丹则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（）

【思路点拨】

先根据菱形的性质求出各点坐标，分〃的横坐标x在。〜1,1〜2,2〜3之间三个阶段，用含x的代数式

表示出△PMN的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可.

【解题过程】

解：,菱形ABC。的顶点/在y轴的正半轴上，顶点3、C在x轴的正半轴上，

•••AB=AD=2,0A=V3»

...OB=7AB2一。42=八2_(遮)2=1,

0C=。8+BC=1+2=3,

•1•X(0,V3),B(1,O),C(3,0),

设直线4B的解析式为y=kx+6,将4(0,遮)，B(1,O)代入，得：后°，解得fJ二/^，

直线4B的解析式为y=-V3x+V3.

・••MNIly轴,

N的横坐标为x,

(1)当M的横坐标龙在0〜1之间时，点N在线段AB上，△PMN中MN上的高为1+x,

N(x,—V3x+V3),

MN=V3—(—V3x+V3)=V3x,

S^PMN=：MN-(14-x)=p/3x-(1+x)=亨1+争，

,该段图象为开口向上的抛物线；

(2)当M的横坐标x在1〜2之间时，点N在线段BC上，△「“可中"2=四，MN上的高为1+%,

S^PMN-*N.(1+x)=|V3,(1+x)=今+孚，

该段图象为直线；

(3)当〃的横坐标x在2〜3之间时，点7V在线段BC上，△PMN中MN上的高为1+x,

由。(2,回，C(3,0)可得直线CD的解析式为y=-V3%+3V3,

M(x,—V3x+3V3)，N(x,O),

MN——y/3x+3v

S&PMN=-MN1(1+%)=-(—V3x+3V3),(1+%)=—孚/+V3x+

・•.该段图象为开口向下的抛物线；

观察四个选项可知，只有选项A满足条件，

故选A.

16.(22-23九年级上•安徽蚌埠•期末)如图，在平面直角坐标系中，点4(2,0),点8(0,2遮)，点C(—3,旧),

点P从点。出发沿。-4-8路线以每秒1个单位的速度运动，点Q从点。出发沿O-C-B路线以每秒8个单位

的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设丫=。＜?2,运动时间为t秒，则正确表达y与t

的关系图象是()

【思路点拨】

先分析各个线段的长，在瓦△043中，可知，0A=2,OB=2y[3,AB=4,^BAO=6Q°,过点。作。比1了轴于

点易得△OBC是等边三角形，OC=3C=OB=2g，点尸在。4上运动用时2s,在48上运动用时4s,点

。在OC上运动用时2s,在OC上运动用时2s,则点尸和点。共用时4s,可排除。选项；再算出点尸在

04上时，y的函数表达式，结合选项可得结论.

【解题过程】

解：如图，「点”(2,0),点B(0,2V3),

■■OA=2,08=2VJ,

；/B=4,48/0=60°,

过点C作CMly轴于点

贝l|OM=3M=VJ,CM=3,

：.OC=BC=2sf3,

.•.△OBC是等边三角形，乙BOC=6Q°,

・••点P在。4上运动用时2s,在48上运动用时4s,点0在0C上运动用时2s,在OC上运动用时2s,

即点尸和点0共运动4s后停止；由此可排除D选项.

当点尸在线段上运动时，点0在线段OC上运动，过点0作轴于点N,

■-QN=|0Q=争,ON=|t,

.•.PN=|t,

■.y=PQ2=（|t2）+亭2）=7t2.

即当0<t<2时，函数图象为抛物线，

结合选项可排除A,C.

故选：B.

17.（2022•辽宁•中考真题）如图，在等边三角形48c中，BC=4,在MADE/中，乙EDF=90°,zF=

30°,DE=4,点、B,C,D,E在一条直线上，点C,。重合，A48C沿射线方向运动，当点8与点£

重合时停止运动.设A45C运动的路程为x,A43C与r小£）斯重叠部分的面积为S,则能反映S与x之间

函数关系的图象是（）

F

【思路点拨】

分三种情形:①当0<xW2时，重叠部分为△CDG,②当2<x04时，重叠部分为四边形/GDC,③当4V

烂8时，重叠部分为ABEG,分别计算即可.

【解题过程】

解：过点/作/"18C,交BC于点M,

在用△£）斯中，"=30°,

:/FED=60°,

；2CB=4FED,

■■.ACWEF,

在等边A42C中，AM1BC,

：.BM=CM=^BC=2,AM=>/3BM=2^,

.•.S/8C=，G4W=4V3,

①当0〈烂2时，设NC与。尸交于点G,此时A42c与及△DE尸重叠部分为△CDG,

.­.S=lcD>DG=^x2；

②当2V烂4时，设48与。尸交于点G,此时A4BC与瓦△。斯重叠部分为四边形NGDC,

由题意可得：CD=x,则80=4-x,DG-y/3(4-x),

■.S^S^ABC-SABDG^443-|x(4-x)又如(4-x),

：S=-务+4每-4V3=-苧(x-4)2+4V3,

③当4<烂8时，设N8与EF交于点G,过点G作GM18C,交BC于点M,

此时AIBC与Rt/XDEF重叠部分为△AE'G,

F

；.BE=x-(x-4)-(x-4)=8-x,

••.5Af=4-

在用ABGM中，GM=\[3(4-,

■.S=^BE-GM=l(8-x)xV3(4-1x),

:S="(x-8)2,

4

综上，选项A的图像符合题意，

故选：A.

18.(2023•山东聊城•三模)如图(1)所示，£为矩形48CD的边2。上一点，动点尸，。同时从点3出发,

点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点。沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒,

设尸，0同时出发/秒时，aBPQ的面积为ycm2.已知〉与f的函数关系图像如图(2)(曲线。M为抛物线

的一部分)，则下列结论不正确的是()

图⑴图⑵

A.AB-.AD=4:5B.当t=2.5秒时，PQ=遮

C.当"号时，黑=弓D.当△BPQ的面积为4cm2时，/的值是祗或半秒

【思路点拨】

先由图2中的函数图像得到当t=5时，点0到达点C,即BC=5cm,然后由5<t<7时，y=10可知△BPQ

的面积是定值10cm2、BE=5cm,ED=2cm,当t=7时点P到达点D,AE=3cm,AB=VB£2-X£2=4cm,可

以判定4；当0<tW5时，根据

y=袅?得到y=2.5cm2,过点P作PH1BC于点、H,根据y=^BQ-PH=1X2.5cmXPH=2.5cm2求得PH=2,

设Q”=xcm,根勾股定理计算QH=1cm,可计算PQ=V5；根据4B=CD=4cm,得到再运动4秒到达C

点即

W(ll,0),W(7,10),确定直线HN的解析式，分别计算可得到仍诵《秒；

当t=W>f=7时，故点Q在DC上，把《=胃代入直线HN的解析式计算鬻=9

【解题过程】

解：设抛物线的解析式为丫=前2,

当力=5时，y=10,

.,.10=25a,

解得a=I，

0=铲，

由图2中的函数图像得当t=5时，点。到达点C,即BC=BE=5cm,

•・・5VtV7时,y=10,

・•.△BPQ的面积是定值10cm2且BE=5cm,ED=2cm,

当t=7时点尸到达点Q,

.-.AE=5—2=3cm,AB=yjBE2—AE2=4cm,AD=BC=5cm,

：.AB\AD=4:5,

故A正确，不符合题意；

当0<t<5时，

vy=|t2,t=2,5,

••.BP=BQ=2.5cm,y=2.5cm2,

AED

图⑴

过点P作PHIBC于点”,

.,.y=^BQ-PH=(x2.5cmxPH=2.5cm2

解得PH=2,

设Q”=%cm,贝仍”=BQ—QH=(2.5—%)cm,

.-.2.52=22+(2.5-%)2,

解得x=l,x=4(舍去)，

；,QH=lcm,

■.PQ=Vl2+22=V5,

故B正确，不符合题意;

根据力B=CD=4cm,

二再运动4秒到达C点即H(ll,0),N(7,10),

设直线HN的解析式为y=kt+b,

k=--

根据题意，得｛品蜡/L'g，解得〃5?

b=—

2

・・.直线HN的解析式为y=-|t+y,

1.■△BPQ的面积为4cm2,

故4=，或4=-|t+y

47

解得t=VTo,t=-VTo(舍去)或t

故D正确，不符合题意;

,・,£=?＞与=7时,故点Q在DC上,

-4-

江,2915295575

当£=彳时，y=-isxzT+T=T

175

严•仆百

解得PQ=与

BQ34

，西=?=3-

故c错误，符合题意.

故选：C.

19.（2023•辽宁•中考真题）如图，£MAN=60°,在射线AM,AN上分别截取4C=48=6,连接BC,乙MAN

的平分线交BC于点。，点£为线段上的动点，作EF1AM交AM于点尸，作EGII4M交射线2D于点G,过

点G作GH14M于点〃，点£沿4B方向运动，当点£与点8重合时停止运动.设点E运动的路程为x,四

边形EF”G与△4BC重叠部分的面积为S,则能大致反映S与x之