【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）专题10 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题之四大考点（原卷版）

专题10难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题之四大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用二次函数求面积最大值问题】 1【考点二利用二次函数求面积最小值问题】 13【考点三利用二次函数求周长最大值问题】 19【考点四利用二次函数求周长最小值问题】 28【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最大值问题】例题：（23·24上·淮南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．

(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值．【变式训练】1．（23·24上·大同·阶段练习）综合与探究如图二次函数与直线交于、两点，已知：、，二次函数的图象与轴的另一个交点为点，点在直线上方的抛物线上运动，过点作轴的平行线交于点．

(1)求直线与抛物线的解析式；(2)设四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标．2．（23·24上·中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点C．

(1)求抛物线的解析式；(2)求直线的解析式；(3)若点P为第二象限内抛物线上一动点，过点P作轴，交于点Q，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值．3．（23·24上·邯郸·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)直接写出抛物线的解析式：______；(2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)，连接．设点D的横坐标为，的面积为S．①求S关于的函数关系式及自变量的取值范围；②当为何值时，S有最大值，并求这个最大值．4．（23·24上·江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．

(1)求二次函数解析式及顶点D坐标；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标；(3)在线段上，是否存在点F，使为等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．5．（23·24上·滨海新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．

(1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标；(2)当点在第四象限时，面积是否有最大值？若有，求出点坐标以及最大面积；若没有，请说明理由；(3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值．6．（23·24上·省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点为．直线l与抛物线交于，两点，其中点的坐标为．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)直线与抛物线的对称轴交于点，为线段上一动点（点不与点，重合），过点作交抛物线于点，设点的横坐标为．①当为何值时，四边形是平行四边形；②设的面积为，当为何值时，最大？最大值是多少？【考点二利用二次函数求面积最小值问题】例题：（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒，回答下列问题：

(1)运动开始后第几秒时的面积等于．(2)设五边形的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．【变式训练】1．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．

(1)求b，c的值；(2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．(1)，；(2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？(3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标．【考点三利用二次函数求周长最大值问题】例题：（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【变式训练】1．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）已知抛物线（a为常数，）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．

(1)求a的值．(2)若点和点都是这个抛物线上的点，且有，求t的取值范围．(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作轴，垂足为点B，过点D作轴，垂足于点C，试问四边形的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．2．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点的横坐标为．(1)求直线和抛物线的解析式；(2)点是直线下方的抛物线上一动点不与点、重合，过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为．①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？3．（2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习）如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于、、三点．

(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值；(3)当矩形的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【考点四利用二次函数求周长最小值问题】例题：（2023秋·安徽·九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，若，抛物线的对称轴为直线.

(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P，使得周长最小，求出最小周长．【变式训练】1．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点坐标为，为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式．(2)为该抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标．(3)当函数的自变量满足时，函数的最小值为3，求的值．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）综合与探究如图，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为．

(1)求抛物线的解析式；(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求的坐标；(3)已知点在抛物线上，求时的点坐标；(4)已知，请直接写出能以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点坐标．3．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求周长的最小值；(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标