线性代数习题-行列式

行列式二阶、三阶行列式—对角线原理■计算下列二阶行列式；;;；；.解=;=;=;■计算下列三阶行列式(1)(2);(3)(4)(5)(6).(7).解==2´(-4)´3+0´(-1)´(-1)+1´1´8-0´1´3-2´(-1)´8-1´(-4)´(-1)=-24+8+16-4=-4.=;=.=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).行列式的定义排列与逆序■计算以下各个排列的逆序数,并指出它们的奇偶性:123441322413314265；314265789；542391786；134785692139782645987654321；246813579；.(4)13…24…；(5)13……2.(6).解逆序数为0逆序数为4:41,43,42,32.逆序数为3.偶排列偶排列奇排列11;17.偶排列偶排列,这表明该排列的逆序数与n有关,故要对n进行讨论:当时为偶数，此时排列.为偶排列;当时为奇数，此时排列.为奇排列.(4)逆序数为.32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1个)(5)逆序数为.32(1个)52,54(2个)××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1个)42(1个)62,64(2个)××××××(2n)2,(2n)4,(2n)6,×××,(2n)(2n-2)(n-1个)(6)当为偶数时，，排列为其中为的逆序数；为与它前面数构成的逆序数；为与它们前面数构成的逆序数的和；为，与它们前面数构成的逆序数的和.当为奇数时，，排列为其中为的逆序数；为与它们前面数构成的逆序数的和；为与它们前面数构成的逆序数的和.■确定，使6元排列为奇排列.■在由1,2,3,4,5,6,7,8,9组成的下述9阶排列中,选择使得:(1)(2)(3)(3)均要求说明理由.分析排列中的两个未知数据排列的定义只能取3或7.因而只有两种情况：132574896与172534896，然而我们只需计算上述的一个排列就可得知结果，因为与是和作一次对换得到的，而作一次对换必改变排列的奇偶性，也就是说若为偶排列,则必为奇排列.其余题解法也类似.解(1)取有为偶排列,符合题目要求.(2)取有为偶排列,故取时172534896为奇排列,符合题目要求.(3)取有为偶排列，符合题目要求.(4)取有为偶排列.故取时931425786为奇排列,符合题目要求.■写出四阶行列式中含有因子的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为或故和为所求.■写出4阶行列式中包含因子的项,并指出正负号.解4阶行列式中包含因子的项有和.由于，故取正号;，故取负号.■当___,=___时成为5阶行列式中一个取负号的项,为什么?解和只能取1,4或者4,1.不妨先假设,则=,这个项的符号就是,不符合要求.那么当时=,它和相比就是交换了列指标1和4的位置,因与相比改变了奇偶性,所以的符号为负.故应填.■若是5阶行列式中的一项,则当___,=___时该项的符号为正,当___,=___时该项的符号为负,为什么?解此问和问题3类似,和只能取2,3或者3,2.不妨先假设,则符号为=,所以取的是负号.那么由问题3的分析可知当时符号取正.所以当时该项的符号为正,当时该项的符号为负.■在6阶行列式中,下列项应该取什么符号?为什么?(1);(2);(3);(4).解(1)因,所以取正号;另一种方法是:=,因,所以取正号.(2),(3),(4)也可这样做,不再列出.(2)因,所以取负号;(3)因,所以取负号;(4)因,所以取正号.■按行列式定义,计算下列行列式((4)中,并均要求写出计算过程):.;；;..解=1根据定义=.在行列式的通项中,只有这一项的因子中不含零,所以==.根据定义,=.在行列式的通项中每一个项中最后三个因子分别取值于行列式最后三行的不同列的三个数,而行列式最后三行中均只有二个数不为零,所以这三个因子中至少一个取零.这样行列式的每一项中都含有因子零,所以每项都为零,从而.所给行列式的展开式中只含有一个非零项，它前面的符号应为，所以=！。所给行列式的展开式中只含有一个非零项，它前面的符号应为，所以=！。.该行列式的展开式只有一项不为零,即,而该项带有的符号为,所以=..根据定义=,该展开式通项中取自的第行,现在第行中除了外其余元素都为零.故若,则对应的行列式展开式中的那一项一定为零,求和时可不考虑.因此只要考虑的项.同样对于行列式的第行中除了和外其余元素都为零,且因,从而只能取了.依次类推,行列式展开式的所有项中除去列指标对应的项外都为零.又因为,所以=.■由行列式定义计算中与的系数，并说明理由。解含有的展开项只能是，所以的系数为2；同理，含有的展开项只能是，所以的系数为-1。■求的展开式中和的系数.解的系数为；含的项只有，所以的系数为行列式的性质■利用行列式的性质计算解=;;;====0。■解第2列的(−1)倍加到第3列，再把第1列的(−1)倍加到第2列，其余各列不变，得■计算n阶行列式(n³2).解当时,当.■解==0■如果，求.解-12■设,据此计算下列行列式(要求写出计算过程):(1);(2).解(1)=.(2)法一=.法二注意到该行列式的第二列均为2个数的和,可用行列式的性质5将该行列式分成2个行列式之和.■设，其中是互不相同的数。(1)由行列式定义，说明是一个次多项式；(2)由行列式性质，求的根。解(1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有，所以若行列式的第一行展开时，含有的对应项的系数恰为乘一个范德蒙行列式于是，由为互不相同的的数即知含有的对应项的系数不为0，因而为一个次的多项式。(2)若用分代替时，则由行列式的性质知所给行列式的值为0，即.故至少有个根.又因为是一个次的多项式，所以必是的全部根。■设两两不等,求，求的根。■求下列多项式的根(要求写出计算过程):(1)=;(2)=.解所以有三个根.(1)法一=.所以多项式的根为.法二是的4次多项式,且可直接验证,所以的根为.(2)法一=.所以多项式的根为法二是的次多项式,且可直接验证,所以的根为展开定理求余子式与代数余子式■求行列式中元素和的代数余子式.解元素的代数余子式为,而元素的代数余子式为.用展开定理计算简单行列式■求一行或一列元素代数余子式的线性组合■已知行列式，求（1）第4行元素的余子式之和；（2）第4行元素的代数余子式之和。解由代数余子式性质知：行列式最后一行元素不影响所求。（1）（2）。■,求.解.■已知，计算解-1■设,计算A41+A42+A43+A44,其中A4j(j=1,2,3,4)是|A|中元素a4j的代数余子式.解A41+A42+A43+A44=■已知，计算和.解将上式设为，此式设为，可直接计算此行列式结果为3，也可按以下方法来做：题目中的原行列式设为由行列式的性质得：则■已知四阶行列式，试求A41+A42与A43+A44的值。其中A4j是D的第4行元素的代数余子式(j=1，2，3，4)。解。由于，分别取i=j=4，得再取i=2，j=4，得。将代入，得。解得。■已知，求：(1)；(2)和。■，求解将所有行加到最后一行四块缺角行列式■=;■==.■解低阶行列式的计算■解■解原式==。■解。■.解原式.■解。■解=.■；解■;解原式.■;解原式.解原式==20。■;解原式.■.解原式.■解;■解■,解■；解■.解.■解■解=.注:做到处也可以按第一列展开,再按第一列展开得:原式.■解.■解.■解;■解=;■解-50■解■解原式=。■解■；解各列加到第一列后提取因式=.■解原式=■解===■解■解■.解■解=;■解+=■解下列方程:(1);解,原方程的解为.(2).解,原方程的解为.■设解====高阶行列式的计算■;解将原行列式的第一行加于其余各行,得.■解;■解法一解法二从第2列开始，各列统统加到第1列上去，得；■.解■.解=an-an-2=an-2(a2-1).■===;■解+=;■解先按最后一行展开，得■=；。■解法一各行加到第一行，然后提取公因式，有：解法二将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得再将各列都加到第一列上,得=[x+(n-1)a](x-a)n-1.■将第2、3、…、n行全部加到第1行第1行乘以-1加到以下各行■解。■解各列加到第一列，然后提出公因数有：.■.解法一各列加到第一列上，然后提取公因式解法二■解原式=。■解法一解法二■.解.■计算行列式解.■解■解■.解■解法一解法二解法三的第列提取,得.解法四将行列式增加一行、一列第一行乘以-1加到以下各行第i+1列乘以加到第1列，＝解法五解法六■解■求(其,i=1,2,…,)的值.解.■计算行列式.解.■解法一解法二■.解将各列全加到第1列上后提取公因子得：.■解将第k行的(−1)倍加到第k+1行上去(k=n−1，n−2，n−3，…，2，1)，再将第k行的(−1)倍加到第k+1行上去(k=n−1，n−2，n−3，…，3，2)，得解■解法一解法二原行列式按第1列展开得.解法三按第n行展开得■解法一按第一行(列)展开，得递推公式=2于是==1由此得+1+2+解法二■解解按第一行展开后再按最后一行展开，有■解由此得递推公式：即而则得.■,i=1,2,…,)解法一解法二■解各行均减去第二行，再按第一行展开得：。■解各行均减去第三行,再按第一行或第三列展开得■解■解■,.解=解■解按第一行展开，有递推公式得递推公式：=1\*GB3①同理可得：=2\*GB3②联立=1\*GB3①与=2\*GB3②，解方程组得■解按第一行展开得：后者再按第一列展……①①表明：数列是以b为公比的等比数列。因为，从而，…………②[首项]所以。…………③[通项公式]由于原行列式关于a、b对称，故也有。…………④[通项公式]③-④：，…………⑤当时，；当时，此时，。由④或③知。综合得：■。解。对调，即得的转置行列式，从而当时，联立得；当时，对上式取极限得，故。■解同理可得。当时，从上述两式可以解得；当时，只须对上式令即可得。范得蒙行列式■.解■■==;■;解此行列式为范德蒙德行列式,则■范德蒙行列式■第1列乘以加到第三列范德蒙行列式■==■。解这是一个三阶行列式，看似不难，总可以利用对角线法则计算，但容易出错。可将第一行的“1”写成“”，由行列式加法性质得：。■==;■，■解在行中提出因子，（范德蒙行列式）。■。解将增加一行、一列得到下列阶行列式，此行列式显然与原行列式相等，所以。■解构造辅助范德蒙行列式，为中元素的余子式，而则克莱姆法则■解,■解，。用克拉默法则解线性方程组■；