中考数学几何专项复习：半角模型 知识讲义

半角模型知识精讲

1.如图，在正方形ABC。中，E、尸分别是BC、CD上的点，且NEAF=45。，则8E+。歹=ER

简证：如图，将绕点A顺时针旋转90。得到△ABG,使得与重合,

通过证明△AEFgZXAEG即可得到BE+DF=EF.

2.如图，在正方形A3。中，E、尸分别是3C、CD上的点，且/EAF=45。，则AE平分/BEEAP平分

ZDFE.

简证：如图，将△")/绕点A顺时针旋转90。得到△ABG,使得AD与A2重合；将△ABE绕点A逆时针旋

转90。得到△AOH,使得A8与AO重合.

H

•.•旋转，N1=NH,XVAAFE^AAFH,：.Z2=ZH,：.Z1=Z2；

:旋转,Z4=ZG,XVAAEF^AAEG,；.N3=/G,；./3=/4,

即AE平分NBERAF平分/DFE.

3.如图，在正方形ABC。中，E、尸分别是BC、CD上的点，且NEAP=45。，贝US^ABE+SA。？=S^AEF.

简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.

4.如图，在正方形A8CD中，E、尸分别是BC、CD上的点，且/EAF=45。，过点A作AH_LEF交E尸于

点“，则A”=A8.

简证：由上述结论可知AE平分NBERXVABXBC,：.AH^AB.

5.如图，在正方形A8C。中，E、E分别是3C、CD上的点，且/胡尸=45。，贝U%CEF2AB.

AD

简证：由结论1可得EF=BE+QR则CACEFnCE+CF+EFuCE+CF+BE+DFuZAA

6.如图，在正方形ABC。中，E、尸分别是BC、CD上的点，且NEAP=45。，AE、AF分别与8。相交于

点M、N,则8河2+。"2=阿2.

简证：如图，将△AMD绕点A顺时针旋90。得到△AGB,连接GM.

通过证明△AMG四△AMN得MN=MG,DN=BG,/GBE=90°,即可证+ON?=A/TV?.

7.如图，在正方形ABC。中，E、P分别是BC、CD上的点，且NEAP=45。，AE,AP分别与BO相交于

点M、N,则△BMEsADFNsAAMNs4BAN/\DMAAAFE.

AD

简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.

8.如图，在正方形A2C。中，E、尸分别是BC、CD上的点，且NEAP=45。，AE、AP分别与3。相交于

点M、N,则石尸=口北村.

简证：连接AC,VZDAF^ZEAC,ZADB^ZACB,：./\ECA^>/\NDA,

„EFAEACr：

又；4AAMNsdAAFE,：.诉=.=.=6.

【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到SMEF=

9.如图，在正方形ABC。中，E、尸分别是BC、CD上的点，且NEA尸=45。，AE.A尸分别与相交于

点M、N,则AB2=6N.

BEC

简证：由结论7可得4Ms△BA-.•.元方=/，即482=笈可—。河.

uiVLJiiy

10.如图，在正方形ABC。中，E、尸分别是8C、C。上的点，且NEAF=45。，AE、AF分别与8。相交于

点M、N,则CE-CF=2BE-DF.

简证：设,DF=a,BE=b,AB=c,在RtZkCEF中，

(a+6)2=(c—。)2+(c—6)2,化简得2而=(c—a)(c—b),CS•CF=2BE•。工

11.如图，在正方形ABC。中，E、尸分别是BC、CD上的点，且NEAB=45。，AE、AP分别与BO相交于

点M、N,则当时，E/最小，SAAEF最小，5文政最大.

证明：如图，作△AEP的外接圆，点P为所的中点，连接。4、OE、OF、PC,过点A作A8_LEE

,：ZEAF=45°,：,ZEOF=90°,设。尸=PC=JER=z,则0/=口2,

乙

0A+OP+PC—2+y/2x,S^AEF=^EF-AH=AB-x,SAABE+SAADE=SAAEF,

•'•S/^CEF—S正方形ABC®—S&ABE-S&ADF-S&AEF=S正方形ABC0—?S&AEF=S正方形ABCD-•X

当点A、0、P、C四点共线时，即8E=Z)RX,EF、均有最小值，54翅尸有最大值.

12.如图，在正方形ABC。中，E、尸分别是BC、CD上的点，且NEAP=45。，AE、AP分别与2。相交于

点M、N,则BN—DN=gBE,DM—BM=”DF.

简证：由结论8可得△△EC4SA/VD4,工行=而万=，2,E。=v^ND,

JT-LZIVU

■:DB=6(BE+EC)=y/2BE+2ND,：.BN-DNy/2BE,

同理可得刀河-BM^y/2DF.

补充：等腰直角三角形与“半角模型"

如图所示，在等腰直角三角形A3C中，若/。CE=45。，则/。2+8石2=。石2

证明：如图，将△AC。绕着点C顺时针旋转90。得到△8CD',连接

.,.AD=BD',

在△OCE与△