全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷16(题后含答案及解析)

全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷16(题后含答案及解析)题型有：1.单项选择题2.填空题3.计算题4.证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设A，B为n阶方阵，则下列各式一定成立的是()A．(A+B)2=A2+2AB+B2B．(A+B)2=A2+AB+BA+B2C．(A+B)(A-B)=A-B2D．(A-B)(A+B)=A2一B2正确答案：B解析：矩阵乘法不满足交换律．2．设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，若A2=E，则一定有()A．r(A-E)=0B．r(A+E)=0C．r(A)=nD．r(A)＜n正确答案：C解析：由(A—E)(A+E)=O得A2=E，由于A2=E，故|A2|=|A|2=1，|A|≠0，A可逆，所以r(A)=n．3．下列矩阵中不是初等方阵的是()A．B．C．D．正确答案：C解析：初等方阵即由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵．4．非齐次线性方程组Ax=β中，A和增广矩阵A的秩都等于4，A是4×6矩阵，则()A．无法确定方程组是否有解B．方程组无解C．方程组有无穷多组解D．方程组有惟一组解正确答案：C解析：由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同，方程组必有解。又因为方程组的未知数个数等于6，而系数阵的秩等于4，因此方程组有无穷多组解．5．下列命题正确的是()A．Ax=b有无穷多解，则Ax=0仅有零解B．Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解C．Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解D．Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解正确答案：B解析：齐次方程Ax=0一定有解，而非齐次方程Ax=b不一定有解，因此C和D都不一定成立．Ax=b有无穷多解，Ax=0有非零解，故选B.填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6．设3阶方阵A=(α1，α2，α3)，其中αi(i=1，2，3)为A的列向量，若|B|=|α1+2α2，α2+3α3，α3|=8，则|A|=________．正确答案：8解析：|B|=|α1+2α2，α2+3α3，α3|=|α1+2α2，α2，α3|=|α1，α2，α3|=|A|=8．7．已知四阶行列式D的第一行元素依次为1，3，0，一2，第三行元素对应的代数余子式依次为8，k，一7，10，则k=_________．正确答案：4解析：根据代数余子性质8+3k一20=0得k=4．8．3阶方阵A的行列式|A|=一3，则|一2A|=_________．正确答案：24解析：|一2A|=(一2)3.|A|=一8×(-3)=24．9．设A为三阶可逆阵，，则A*=_________．正确答案：解析：10．设2阶实对称矩阵A的两个特征值分别为一2，一3，则矩阵为__________定矩阵，|A|=______，多项式f(x)=x2一1，则|f(A)|=________．正确答案：负，6，24解析：由于A的两特征值一2，一3均小于0，则A为负定矩阵．|A|=一2×(一3)=6．f(A)的特征值f(一2)=3,f(一3)=8，则|f(A)|=3×8=24．11．设A为3阶方阵，|A|=3，则其行列式|3A|=_________．正确答案：34解析：|3A|=33.|A|=34．12．齐次线性方程组正确答案：k(3，一2，1)T，其中k为任意常数解析：原方程．以z为自由变量，基础解系为(3，一2，1)T，则=k(3，一2，1)T，k为常数．13．设A，B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为________．正确答案：AB=BA解析：A，B为n阶对称矩阵，则AT=A，BT=B，因为AB也是对称矩阵．(AB)T=BTAT=BA=AB，故A，B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为AB=BA.14．设，γ=一2α-β，则α+β一3γ=________．正确答案：解析：15．若矩阵．则二次型xTAx=_________．正确答案：x12+2x22+5x32+2x1x2—4x2x3解析：因为．所以由二次型的定义可知f(x)=x12+2x22+5x32+2x1x2—4x2x3．计算题16．计算行列式正确答案：17．已知先用初等行变换化为行最简形，再用初等列变换将其化为等价标准形．正确答案：A的行最简形和其等价标准形都是18．求矩阵的秩和列向量组的极大无关组，并用其表示向量组中其余向量．正确答案：设A=(α1，α2，α3，α4)，(α1，α2，α3，α4)=所以r(A)=3，α1，α2，α3为向量组的一个极大无关组，且α4=α1一α2+α3．19．已知向量组α1=(1，一1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α3=(3，0，7，14)T，α4=(1，一2，2，0)T，α5=(2，1，5，10)T．求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表出．正确答案：(α1，α2，α3，α4，α5)=所以α1,α2，α4是一个极大线性无关组，且α5=2α1+α2+0α4，α3=3α1+α2+0α4．20．已知矩阵相似，求x，y．正确答案：由于A，A相似，所以它们的行列式和迹相同，即21．设求一个正交矩阵P，使得p-1AP为对角矩阵．正确答案：矩阵的特征多项式为得A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=5．对于特征值λ1=1，求解方程组(E—A)x=0，得到一个特征向量对于特征值λ2=2，求解方程组(2E—A)x=0，得到一个特征向量对于特征值λ3=5，求解方程组(5E—A)x=0，得到一个特征向量因为特征值不相等，则ξ1，ξ2，ξ3正交，将ξ1，ξ2，ξ3单位化得令P=(p1,p2，p3)=则有P-1AP=