浙教版2024-2025学年度九年级上册数学 垂径定理知识点分类训练

3.3垂径定理知识点分类训练

班级:姓名:

考点一：垂径定理的概念

例i.下列说法正确的是（）

A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B.平分弦的直径垂直于弦

C.垂直于直径的直线平分这条直径D.弦的垂直平分线经过圆心

变式1-1.下列说法正确的是（）

A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧

B.平分弦的直径垂直于弦

C.垂直于直径的弦平分这条直径

D.过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧

变式1-2.下列几个命题：①圆是轴对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦

的直径垂直于这条弦；④三点确定一个圆.其中是真命题的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

考点二：垂径定理的推论

例2.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：

“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间：径几何？”用现

在的几何语言表达即：如图，CD为。。的直径，弦4B1CD于点RCE=1寸，4B=10寸,

贝UCD的长为（）

A.26寸B.13寸C.24寸D.12寸

变式2-1.如图，点4B在。。上，直径MN14B于点C,下列结论中不一定成立的是

()

A.AC^CBB.OC=CNc.AN=BND.AM=BM

变式2-2.如图，AB是。。的直径，CD是。。的弦，43100于点区则下列结论不一定

正确的是要（）

B.[BC=[BD

A.CE=EDC.OE=BED.OA=OB

考点三：利用垂径定理求值

例3.月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1）,因圆形如月而得

名.月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用.图2是小智同学家中的月亮门示意图,

经测量，水平跨径4B为1.8米，水平木条和铅锤木条CD长都为0.3米，点C恰好落在

D.L4米

变式3-1.日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1）,它可以看作如图2所示

的几何图形.已知48=CD=7cm,4B1BD于点8,于点D,BD=14cm,

。。的半径r=9CM,则圆盘离桌面BD最近的距离是（）

o

图1图2

A.4位cmB.(9-4^/2)cm(3(4^/2-2)cmD.2cm

变式3-2.如图，在半径为5的O。中，弦28与弦CD互相垂直，垂足为点£,如果

D.4瓢

考点四：垂径定理的实际应用

例4.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径.小

敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交

于力、B、JD四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm,

AB=4cm,C。=3cm.请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（）

D.6cm

变式4-1.如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架.图②是其截面示意图,

。为圆形框架的圆心，弦和器所围成的区域为种植区.已知4B=30,。。的半径为

17,则种植区的最大深度为（）

图①图②

A.6B.7C.8D.9

变式4-2.如图1,平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质,

可以轻度受热，如图2,它的截面图可以近似看作是由。°去掉两个弓形后与矩形"BCD组

合而成的图形，其中BCIIMN,若。。的半径为25,AB=36,8C=14,MN=30,则该

A.20B.40C.60D.80

参考答案

考点一：垂径定理的概念

例1.下列说法正确的是（）

A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B.平分弦的直径垂直于弦

C.垂直于直径的直线平分这条直径D.弦的垂直平分线经过圆心

【答案】D

【分析】根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判

断.

【详解】解：A.垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；

B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；

C.垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；

D.弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确.

故选：D.

变式1-1.下列说法正确的是（）

A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧

B.平分弦的直径垂直于弦

C.垂直于直径的弦平分这条直径

D.过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧

【答案】D

【分析】根据垂径定理及其推论，进行判断即可.

【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，选项错误；

B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，选项错误；

C、垂直于直径的弦被直径平分，选项错误；

D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，选项正确.

故选D.

变式1-2.下列几个命题：①圆是轴对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦

的直径垂直于这条弦；④三点确定一个圆.其中是真命题的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】A

【分析】根据圆周角定理、垂径定理及确定圆的条件，结合题意进行判断即可.

【详解】圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故①正确；

垂直于弦的直径平分这条弦，故②正确；

平分弦的直径垂直于弦，这个弦需要排除直径，故③错误；

不在同一直线上的三点确定一个圆，故④错误；

综上可得正确的是①②

故选A

考点二：垂径定理的推论

例2.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：

“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间：径几何？”用现

在的几何语言表达即：如图，CD为。。的直径，弦481CD于点RCE=1寸，48=10寸,

则以＞的长为（）

A.26寸B.13寸C.24寸D.12寸

【答案】A

【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心

距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接。4构成直角三角形，先根据垂径定理，由

DE垂直力8得到点£为的中点，由48=10可求出2E的长，再设出设圆。的半径%的长

为x,表示出°E,根据勾股定理建立关于方的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为

圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案.

【详解】解：连接。4

._AE=BE=S,

设圆。的半径的长为x,则℃=OD=储

■.■CE=1,

：.0E=x-1,

在直角三角形Z°E中，根据勾股定理得：

X2-(X-1)2=52,化简得：X2-X2+2X-1=25,

即2x=26,

解得：％=13,

-.CD=26(寸).

故选：A.

变式2-1.如图，点4B在。。上，直径MN14B于点C,下列结论中不一定成立的是

A.AC=CBB.OC=CNc.AN=BND.AM=BM

【答案】B

【分析】本题主要考查的是垂径定理.由题意可知"N为垂直于弦的直径，根据垂径定理

即可做出正确的判断.

【详解】解：根据"N为。。的直径，且MN1AB,垂足为C,则MN是垂直于弦4B的直径,

满足垂径定理.

M

所以MN是48的垂直平分线，

因而4C=CB,AN=BN,AM=BM,都是正确的.

所以选项B、℃=CN不一定成立.

故选：B.

变式2-2.如图，AB是。。的直径，CD是。°的弦，43100于点区则下列结论不一定

正确的是要（）

IIII

A.CE=EDB.BC=BDC.OE=BED.OA=OB

【答案】C

【分析】

本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容.由于4B1CD,根据垂径定

理有=因为。4、0B都为圆的半径，可得。4=。艮不能得

出。E=BE.

【详解】解：「阳1皿

；.CE=ED,W=所以A选项、B选项正确，不符合题意；

只有当CD垂直平分°B时，OE=BE,所以C选项符合题意；

•・•。40B都为圆的半径，

：.OA=OB,所以D选项正确，不符合题意.

故选：C.

考点三：利用垂径定理求值

例3.月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1）,因圆形如月而得

名.月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用.图2是小智同学家中的月亮门示意图,

经测量，水平跨径4B为1.8米，水平木条和铅锤木条CD长都为0.3米，点C恰好落在

。。上，则此月亮门的半径为（）

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅

助线.过点。作于点N,过点C作CM1ON于点M,由垂径定理得

AN=NB=%B=09,证明四边形CDNM是矩形，得到MN=CD=0.3米，

CM=DN=BD+BN=0.3+°.9=1.2米，设该圆的半径为r米，然后根据题意列方程组即

可求解.

【详解】解：如图，过点。作0N1A8于点N,过点C作CM1ON于点M,

图2

1

则加=稗=/8=0.9米,乙OND=^CMN=9。。,

•・•CDLAB,

・•・/.CDN=90°,

•••四边形CDNM是矩形，

.・.MN=CD=0.3米，CM=DN=BD+BN=0.3+0.9=1.2米,

设该圆的半径为丁米，

222

(ON=r-0.9

[0M2=r2-1.22

根据题意得：I°M=°N-0.3,

(ON=1.2

)r=1.5

解得：1。“=0.9,

即此月亮门的半径为16米，

故选：C.

变式3-1.日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1）,它可以看作如图2所示

的几何图形.已知力B=CD=7cm,AB1BD于点B,CD1BD于点D,BD=14cm,

O。的半径丁=9cm,则圆盘离桌面8D最近的距离是（）

A.4$cmB,(9-4A/2)cmc.(4但-2)cznD.2cm

【答案】C

【分析】本题主要考查了垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助

线是解题关键.连接%、AC,过点。作OE1BD,交BD于点E,交AC于点F,交于点G,

易得四边形4BDC、四边形4BEF均为矩形，由垂径定理可得力F=7cm,在中，

由勾股定理可解得。尸的长度，进而可计算的长度，然后计算圆盘离桌面BD最近的距离

即可.

【详解】解：连接%、AC,过点。作0E1BD,交BD于点E,交4c于点忆交。。于点G,

■­AB1BD,CDLBD,

,-.AB||CD,

■：AB=CD=7cm,

・•・四边形/BDC为平行四边形，

又・,.AB1BD,

・"。=90。，

...四边形ZBDC为矩形，

:,AC||BD,ACAB=^ABD=90°,AC=BD=14cmf

•：0E1BD,

:,0E1ACf

.AF=CF="C=7cm

由・・。4=OG=r=9cm,

2222

...在Rt△Z0F中，OF=y)0A-AF=^9-7=4Mlem,

...OE1犯

./BEF=Z.CAB=乙ABD=90°,

・•・四边形"BEF为矩形，

,-,FE=AB=7cm,

:OE—OF+FE=(4^/2+7)cm,

...GE=OE-OG=4^2+7—9=(4^2—2)CTTI,

即圆盘离桌面B。最近的距离是(4隹-2)CM.

故选：C.

变式3-2.如图，在半径为5的。。中，弦4B与弦CD互相垂直，垂足为点£,如果

AB=CD=8,那么OE的长为()

A.3⑫B.3C.4D.S

【答案】A

【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的

应用垂径定理求值是解本题的关键.如图，连接℃,04过。作°"14B于4过。作

°（210。于。再利用垂径定理求解。Q=°H=3,再证明四边形OQEH是正方形，再利用勾

股定理可得答案.

【详解】解：如图，连接。G04过。作。于H,过。作OQ1CD于Q,

vOC=OA=5,

•••0Q=^OC2-CQ2=3,OH=^OA2-AH2=3,

OQ=OH,

•••AB1CD,OQ1CD,OH1AB,

•••四边形°QE"是正方形，

•••OH=EH=3,

■■OE=^32+32=3^2.

故选A.

考点四：垂径定理的实际应用

例4.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径.小

敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交

于4、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm,

AB=4cm,CD=3cm.请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（）

D.6cm

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理.由垂径定理求出8N,CM的长，设ON=x,

由勾股定理得到/+22=（3.5-乂）2+1.52,求出久的值，得到。N的长，由勾股定理求出

。3长，即可求出纸杯的直径长.

【详解】解：如图，MN1AB,MN过圆心。，连接°D,OB,

MN=3.5cm,

-AB||CD,

・•・MNLCDf

•••CM=|C£)=|x3=1.5(cm)|x4=2(cm)

设ON=xcm,

OM=MN—ON=(3.5—x)cm,

•••OM2+MC2=OC2,ON2+BN2OB2,

■.OM2+MC2=ON2+BN2,

•••(3.5-X)2+1.52=X2+22,

・•・x=1.5,

・•・ON=1.5(cm),

2222

OB=^ON+MB=^1.5+2=2.5(cm)；

纸杯的直径为26x2=5(cm).

故选：B.

变式4-1.如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架.图②是其截面示意图,

。为圆形框架的圆心，弦和媪所围成的区域为种植区.已知AB=30,。。的半径为

17,则种植区的最大深度为（）

图①图②

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作°C14B交AB于点C,交

。。于点口,连接。4然后利用勾股定理求出C