河北省张家口市2023-2024学年高二年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

河北省张家口市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.已知集合”={1,2,3,4},Af={x|x2-x-2<0},则()

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{2,4}D.{2,3,4}

2.某研究中心对治疗哮喘的两种药物的疗效是否有差异进行实验，并运用2*2列联表进行

检验，零假设4：两种药物的疗效无差异，计算出炉。5.389,根据下面的小概率值。的

独立性检验表，认为“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过(

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.5%B.1%C.0.5%D.0.1%

3.在（尤-3『的展开式中，X’的系数为（）

A.-135B.135C.-1215D.1215

52

4.已知。>0/>0,且—+丁=1,贝lJa+6的最小值为（）

ab

A.473B.3>/2C.4+26D.7+2V10

5.求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如12=3以22,12的正整数

因数只需分别从{303},{2°,2:2?}中各选一个元素相乘即可，则2025的正整数因数的个

数为()

A.8B.10C.15D.16

6.已知函数/(x)=sinx-xcosx,若a=/(e),b=/(In4),c=/(sin2),则a,b,c的大

小关系为()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

7.过点(3,0)作两条直线与曲线/(x)=xe*(e是自然对数的底数)相切，切点的横坐标分别

为X,,则X1Z的值为()

A.-eB.eC.-3D.3

试卷第1页，共4页

8.已知不等式+（其中x>0）的解集中恰有三个正整数，则实数。的取值

范围是（）

932A9321

A.（3,8]B.[3,8)C.D.?

In4ln5h4ta5j

二、多选题

9.下列关于一元线性回归模型的叙述正确的有（）

A.经验回归直线？=晟+&经过样本中心点（只歹），点（只方可以不在样本中

B.对于经验回归直线j）=g无+2（方>0）,x增加一个单位，/平均增加E个单位

C.残差平方和方他一无『越小，模型的拟合效果越差

Z=1

D.若相关系数r=0.018,则>与x的相关程度很强

10.已知a,beR,下列条件中，能使不等式山成立的充分条件有（）

A.a=2bB.a2-b2>3C.a2=b2+eD.a-b>e

11.已知函数/3=£'+°（0,40均为常数且"0）的导函数/'（力满足/'3=3/@）+3,

且"0）=1，则下列说法正确的有（）

三、填空题

12.设随机变量X服从正态分布N（l,4）,若尸（X<2-a）=0.2,贝!]尸（XWa）=.

13.已知随机变量X〜8（",?）,若期望E（X）=20,方差。（x）=10,则”的值为.

14.不透明的盒子中装有大小质地相同的4个红球、2个白球，每次从盒子中摸出一个小球,

若摸到红球得1分，并放回盒子中摇匀继续摸球；若摸到白球，则得2分且游戏结束.摸球

"次后游戏结束的概率记为《，则乙=;游戏结束后，总得分记为X,则X的数学

期望£(X)=

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.已知函数/(x)=--e\

⑴求“X)的图象在点(0J(0))处的切线方程；

(2)若g(x)=/(x)(/'(x)为函数的导函数)，求g(x)在区间［05上的最大值和最小值.

16.小明同学设置手机密码的六位数字，准备将e(eB2.71828…)的前6位数字(1,2,

2,7,8,8,)按照一定的顺序进行设置.

(1)记事件A：相同的数字排在一起，求事件A发生的概率尸(4)；

(2)记事件8：只有一组相同的数字排在一起，求事件3发生的概率尸(2);

(3)记事件C：相同数字不相邻且相同数字之间只有一个数字，求事件C发生的概率尸(C).

17.已知函数/'(x)=X?-2x+aln(l+x)(aeR).

(1)当a=T时，求函数/(x)的极值；

⑵讨论/(x)的单调性.

18.已知不透明的盒子中有8个相同的乒乓球，球上标有数字1,2,3,…，8,有放回地

随机抽取两次(每次抽取1个球)，记下球上的数字“，b,原点。(0,0)和点点

N(a,b).

⑴记事件/:两.丽=0或南.丽=0.求事件A发生的概率尸(㈤.

⑵记事件3:△MON的面积不大于5.求事件8发生的概率?(8).

(3)记事件是锐角.事件。:△MON是锐角三角形.求在事件C发生的条件下事件

O发生的概率尸⑷C).

19.某台球选手采用如下方法进行障碍球训练:在不透明的盒子里装有3个红球和2个黑球,

这5个球除颜色外完全相同，每次击球前从盒中任取一个球放置到障碍点，然后用母球击

球.如果障碍球被打进，则继续从盒子中取球放置到另一个障碍点，进行第二次击球；如果

障碍球没被打进，则继续在同一点进行第二次击球；如此反复进行下去，直到5个球全部被

打进去为止.假设该选手在每个障碍点将球打进的概率都是1.

(1)记事件w="三次击球共打进一个红球和一个黑球”，记事件4="第，次击球打进红球

1=1,2,3)”，事件与="第，•次击球打进黑球［=1,2,3)“，事件£="第，•次击球没打进球

试卷第3页，共4页

。=1,2,3)”，写出事件”的样本空间中包含的所有基本事件，求尸(M)的值；

(2)记第"次"EN*/>5)击球后5个球全部被打进的概率为P„,求A的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案AABDCBCDABBC

题号11

答案ABD

1.A

【分析】首先解一元二次不等式求出集合N,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由V—x—2W0,即（x+l）（x—2）<0,解得—1W2,

所以N=卜卜2r_2W0}=1|-l<x<2},又河={1,2,3,4},

所以MnN={l,2}.

故选：A

2.A

【分析】根据5.389>3.841,5.389<6.635,得到犯错误的概率不超过5%.

【详解】72«5.389>3.841,«5.389<6.635,

故“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过5%.

故选：A

3.B

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.

【详解】对（》-3）6有&|=©"1（_3）'=（_3）'晨--"

则4=（-3ye?-、9x15/=135/,故/的系数为135.

故选：B.

4.D

【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得.

【详解】由”>0,6>0,则4+6=（4+6）（2+2]=5+2+旺也27+2、把也=7+2跖,

\ab）abNab

当且仅当也=当，即后=回时，等号成立.

ab

故选：D.

5.C

答案第1页，共11页

【分析】首先分解质因数，再根据分步乘法计数原理计算可得.

【详解】因为2025=52x33

所以2025的正整数因数只需分别从付5,5",/BSP,31中各选一个元素相乘即可，

有3x5=15种取法，即有15个正整数因数.

故选：C.

6.B

【分析】利用导数说明函数在(0,兀)上的单调性，结合单调性判断即可.

【详解】因为/(x)=sinx-xcosx,

所以/'(无)=cosx-cosx+xsinx=xsinx,

所以当xe(O,兀)时，r«>0,

所以在(0,兀)上单调递增，

因为0<sin2<l<ln4<2<e<7t,

所以/(sin2)</(ln4)</(e),即

故选：B.

7.C

【分析】根据过一点作函数图象的切线问题，设切点，得切线方程，再代入定点求解即可.

【详解】由/(x)=xe\得/V)=eA+xe*=(x+l)e\

设切点坐标为的混')，则切线斜率为(〃?+1•，所以切线方程为

y-mem=(m+l)ew(x-m).

因为点(3,0)在切线上，所以0-me"'=(/M+l)e"'(3-M，即-3=0,

结合题意，则为，％是上述方程的根，所以根据韦达定理得再％=-3.

故选：C.

8.D

【分析】由题可知，设函数〃x)="ln(x+l),g(x)=/-2/,根据导数求出g(x)的极值点，

得出单调性，根据“111(尤+1)--+2工2>0在区间(0,讨)内的解集中有且仅有三个整数，转化

为〃x)>g(x)在区间(0,—)内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数。的取值

答案第2页，共11页

范围.

【详解】设函数/(x)=ln(x+l)"=〃ln(x+l),g(x)=x3-2x2,

,4

因为g(%)=3%2—4%,令g'(x)=O,贝l」x=O或％=

44

贝时，g'(%)<0,或x<0时，g'(x)>0,g(0)=g(2)=0,

g(x)在上(-8,0),［：,+8］递增，在。，上递减，

当时，/(x)〉g(x)至多一个整数根；

当。>0时，/(%)>g(x)在(0,+oo)内的解集中仅有三个整数,

⑶〉g⑶Lln4>33-2x32

根据图象，只需八,/八，C43CA29

[/(4)<g(4)储In5«43—2x42

所以9拿32.

In4In5

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于分出两个函数/'(xhalna+l),g(x)=x3-2x2,结

合导数研究其函数图象的关系从而得解.

9.AB

【分析】根据回归直线的相关性质判断AB选项，根据残差平方和的性质判断C选项，根据

回归直线的性质判断D选项.

【详解】A选项，回归直线一定通过样本点的中心，但样本点的中心可以不在样本中，A选

项正确；

B选项，由方>0及回归直线的性质，x增加一个单位，步平均增加3个单位，B选项正确；

C选项，残差的平方和越小，模型拟合效果越好，C选项错误；

D选项，相关系数的绝对值接近1时，才可以说>与x的相关程度很强，

但很明显「=0.018和1的偏差很大，因此N与x的相关程度不强，D选项错误.

答案第3页，共11页

故选：AB

10.BC

【分析】结合对数运算与充分条件的定义逐项判断即可得.

【详解】对A：若a=2b=l,则ln(/一/)=出：<1,不符合要求，故A错误；

对B：若力-/>3,则ln(/_62)>ln3>lne=l,符合要求，故B正确；

对C：若/=/+e,则ln(/_/)=lne=l,符合要求，故C正确；

对D：若a-b>e,取。=«,b=-e,则o-Z?=2e>e,

此时/=。2-e2=0,不符合要求，故D错误.

故选：BC.

11.ABD

【分析】结合题意计算即可得。、b、c,从而可得了'(X),即可得A、B；结合/(X)可得

函数单调性，即可得C；解出不等式4/(x)>/'(x)即可得D.

【详解】由/(x)=a*+c,则/(力=涓,又俳(x)=3/(x)+3,

故0加加=3a*+3c+3,又"0)=1,即/'(O)=ae°+c=a+c=l,

ab=3afa=2

即有3c+3=0,解得卜=3,

a+c=l[c=—1

gp/(x)=2e3l-l,r(x)-6e3\则/'(0)=Ge"。=6,故A、B正确；

对C：由/'(力=663，>0恒成立，故〃x)单调递增，故“X)无极值点，故C错误；

对D："四>/'(%)即为863'-4>6€31即e">2,解得故D正确.

故选：ABD.

12.0.84g

【分析】借助正态分布的性质计算即可得.

【详解】由2…"=1,故尸(X<2-a)=尸(X>a)=0.2,

2

则P(X<a)=l-P(X>a>0.8.

故答案为：0.8.

答案第4页，共11页

13.40

【分析】根据二项分布的期望和方差公式得到方程组，求出p=；,〃=40.

【详解】由题意得秋=20,物（1-刀=10,解得p=g,〃=40.

故答案为：40

4

14.4

27

【分析】借助概率乘法公式可得空一；借助期望的计算公式与错位相减法计算可得空二.

2214

【详解】4丁丁丁为

X的可能取值为2,3,4,…，左，…，k>2旦keZ,

则尸（X"）=]

n-X

1c12.+…+卜2

则E（X）=lim—x2+—xX9+1），

',"一>+«?33

2

则§*幻=“%xg+1）

则：£（'）=lim12

HX—H--XX〃+）

3〃->+833

即E（X）=1呼4-（n+4}|2

=4-lim«+4）

n->+oo'/

X^lim（«+4）^|j=0,故E（X）=4.

4

故答案为：—；4.

27

【点睛】关键点点睛：空二的关键点在于借助数列的求和方法中的错位相减法求和.

15.（l）x+j+l=0

答案第5页，共11页

(2)最大值为2In2-2,最小值为-1

【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；

(2)借助导数函数函数的单调性后，计算即可得其在区间［0,1］上的最大值与最小值.

【详解】(1)f'(x)=2x-ex,/,(0)=2x0-e°=0-l=-l,/(0)=02-e1=-1,

则有广(T)=(-Q(X-O),化简得x+y+i=o,

即/(x)的图象在点(0,/(0))处的切线方程为x+y+1=0；

(2)g(x)=f'(x)=2x-ex,贝l|g〈x)=r(x)=2-e)

则当xe(O』n2)时，g'(x)>0,当xe(ln2,l)时，g'(x)<0,

故g(x)在(O,ln2)上单调递增，在(In2,1)上单调递减，

则g(x)有最大值g(ln2)=21n2-2,

又g(O)=2xO-e°=-1,g(l)=2xl-e1-2-e>-l,

故g(x)在区间［0,1］上的最大值和最小值分别为21n2-2、-1.

2

16.(1)—

v15

2

⑵3

1

⑶5

【分析】(1)借助捆绑法处理元素问题，结合概率公式计算即可得；

(2)相同元素问题使用倍缩法处理后，结合概率公式计算即可得；

(3)分两个2之间是否为8进行讨论，结合概率公式计算即可得.

【详解】(1)将相同的数字排在一起，只需将两个2、两个8分别看成同一元素，

与另外两个元素全排列即可，此时共有A；=24种不同排法，

A6720

任意排列时共有=7=180种不同排法，

Aj-A-4

故P(/)=21=2；

'718015

答案第6页，共11页

r1A5

(2)只有一组相同的数字排在一起，共有120种不同排法,

则尸⑶喘2

3

(3)若两个2之间不是8,两个8之间不是2,则有C；C；C；=8种不同排法,

若两个2之间是8,则必有8282或2828的排序,

此时共有C；团=12种不同排法，故共有20种不同排法,

则尸©哦2

9

17.(l)〃x)极小值为|一,无极大值

(2)答案见解析

【分析】(1)利用导数求得单调性，再求解极值即可.

(2)利用导数含参讨论函数单调性即可.

【详解】(1)当。=一1时，f(x)=x2-2x-ln(l+x),

2

定义域为x-,所以"%)=2x-2--二i二2三x-上3，

1+x1+x

令八x)<0,xe(-l,平),令r(x)>0,xe佟,+oo),

所以〃x)在(-1，当)上单调递减，在(日,+向上单调递增，

所以/(X)极小值为f(x)=(9)2-2X半_ln(l+乎)，

=|_76-ln(l+^),“X)无极大值.

(2)由上问得/0)=2X一2+，一="*^,

l+x1+X

而A=_2x4(°_2)=16_8a,令AV0,解得ae[2,+<»),

此时八尤)>0恒成立，故/(x)在(-1,+«)上单调递增，

令△>(),解得ae(y),2),令2/+。-2=0,

解得%至或迎=-31互，当〃e(0,2)时，

4—2〃<4,故J4—2a<2,—J4—2a>—2,—'—〉—1,

2

答案第7页，共11页

此时令/'(x)<0,xe(-生乳,江至)，

22

A，,/、、八zV4—2tz/"\/4—2a

令/(x)>0,xG(-1,-------)u(------,+oo),

此时/(X)在(-至,上单调递减，

在(T,一」宇),(虫|竺+00)上单调递增，

当4=0时，f{x)=x2-2x,

由二次函数性质得/(x)在(-1,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

当ae(-oo,0)时，4一2。>4,J4—2。>2,一/4一20<-2,

_2/4=2^<_B令/，(X)<0,

22

令f'(x)>0,xe(/4；2a，十句,

所以〃x)在(T,3pl)上单调递减，在击竺+8)上单调递增,

综上，当。e(-巩0)时，〃x)在(T,告电)上单调递减，

在(。4；2“,+对上单调递增，

当4=0时，/(X)在(-1J)上单调递减，在(1,+°°)上单调递增，

当”e(0,2)时，〃x)在可上单调递减，

在(_1「"H),(虫|竺+00)上单调递增，

当ae[2,+o))时，〃x)在(-1,+8)上单调递增.

7

18.(1)—

v732

43

(2)—

v764

【分析】⑴根据而.而=0得。=6,列出符合条件的基本事件可得答案；

(2)设N点到直线。加的距离为1=蚱4,由邑,叩=忖翅45得|。+6归10,列出符合条

件的基本事件可得答案；

(3)设直线/：>=x,要想/MON是锐角则点N应在直线N=x下方，其中满足要求的点有

答案第8页，共11页

28个，古典概率概型公式计算出尸（C）,若△MON是锐角三角形，则点N落在直线/：y=x

与直线=之间，根据点的坐标特征求出满足要求的点，再求尸（0C）即可.

【详解】（1）〃有8数字、b有8数字可取，有放回地随机抽取两次（每次抽取1个球）,

共有8x8=64种取法，OM=（1,-1）,ON=（a,b）,疝=（a-1,6+1）,

若而•砺=0，则。-6=0,即a=6,符合条件的基本事件

（1,1）,（20,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）,（7,7）,（8,8）有8种,

若弧"•丽=0，贝!=0,即a-b=2,符合条件的基本事件

（3,1）,（4,2）,（5,3）,（6,4）,（7,5）,（8,6）有6种，

所以「（止宵W

\a+b\

（2）直线。M的方程为了+>=0,设N点到直线。河的距离为d=

~^2~

\a+b\\a+b\

因为10M=VL所以xV2x<5,

22

可得卜+4410,符合条件的基本事件有

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（1,7）,（1,8）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（2,7）,（2,8）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（3,7）,

（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,

（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（7,1）,（7,2）,（7,3）,（8,1）,（8,2）,

共35个，尸作）=:;

（3）。有8数字、6有8数字可取，有放回地随机抽取两次（每次抽取1个球）,

共有8x8=64种取法，

设直线/与直线O"垂直，且过原点，因为勺.=-1,则直线/：y=x,

其64个点中，有8个落在直线N=x上，剩余56个点中，一半在直线N=x上方,

一半在直线>=无下方，要想是锐角，则点N应在直线V=x下方，

其中满足要求的点有28个，