中考数学专项复习：用公式法求解一元二次方程（专项练习）

专题2.6用公式法求解一元二次方程（专项练习）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

（23-24九年级上•河北保定•期末）

1.一元二次方程x?+2后=0的解为（）

A.玉=0,x2=-2y/5B.%]=-1,x2=-2A/5C.再=0,x2=275

D.无i=1,x2-2A/5

（2024九年级上•江苏•专题练习）

2.已知方程一_|2%-1|-4=0,则满足该方程的所有根之和为（）

A.2-V6B.1-76C.0D.1

（2024九年级上•全国•专题练习）

3.三角形两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长

是（）

A.11B.13C.11或8D.11和13

（2024九年级上•全国•专题练习）

4.方程（x-2y=2x（x-2）的解是（）

A.玉=2,x[=1B.西=2,X?——2

C.%=2,x?=0D.X]=2,%?=—1

（23-24八年级下•浙江丽水・期末）

=0的一个根是-：，则方程的另一个根是（

5.已知关于x的一元二次方程2/一加工—加）

C.1D.-1

（24-25九年级上•全国•课后作业）

6.一元二次方程Q+2）（X-4）=X-4的解是（）

A.-2B.-1C.-1和4D.-2和4

（2024・浙江•模拟预测）

7.己知关于龙的一元二次方程/-2加x-4w+5=0有两个相等的实数根，则m的值为（

试卷第1页，共4页

A.m=-5B.m-1C.加=-5或机=1D.加=-1或加=5

（2024・河南•模拟预测）

8.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A.2x2-5x+5=0B.（x-3）（x+2）=0

C.X2+4X+4=0D.3X2=0

（2024九年级上•全国・专题练习）

9.已知实数x满足（X2_X）2_4（X2-X）-12=0,则代数式x-x+l的值为（）

A.7B.-1C.7或一1D.-2或1

（23-24九年级上•辽宁铁岭•阶段练习）

10.若（Jx+y）+2“+y=3,贝!|x+y的值为（）

A.1B.9C.9或1D.无法确定

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

（2024•山东泰安•二模）

II.关于〉的方程y（y-2）=4（y-2）的解是.

（23-24八年级下•江苏无锡•阶段练习）

12.若最简二次根式疗不与3廊不是同类二次根式，则x的值是.

（23-24八年级下•四川成都•期中）

Yk

13.关于x的方程上;-1=2.无解，则左=______.

x-2x-x-2

（24-25九年级上•全国•课后作业）

14.如果二一工一8=0,则工的值是—.

XXX

（23-24八年级上•辽宁丹东•期中）

15.若」2x-1—2x+1=0,那么％=.

（2024・上海徐汇•三模）

16.如果实数x满足-2（X+工］-1=0,那么x+工的值是_____.

-XyXyX

（23-24九年级下•江苏宿迁•阶段练习）

2Y-12

17.关于x的分式方程—+—=1的解是—.

X-11-X

（23-24八年级下•福建南平•期末）

试卷第2页，共4页

18.如图，在平面直角坐标系中，点”(1,0),。(0,4)点5在x轴正半轴上，且4cB=45。,

则08的长是.

三、解答题(本大题共6小题，共58分)

(23-24九年级上•北京•期末)

19.用因式分解法解下列方程：

(1)4(X-3)2-X(X-3)=0

(2)7X(X-3)=3X-9.

(2024•广西河池•一模)

20.解方程：4^+—=--

x-\x2

(23-24九年级下•山东烟台・期中)

21.用指定的方法解方程：

(1)X2-4X-1=0(用配方法)

(2)3X2-11X=-9(用公式法)

(3)5(无一3)2=/一9(用因式分解法)

(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)

(22-23八年级下•浙江杭州•期中)

22.已知关于x的一元二次方程x2-(m+6)x+6m=0.

(1)求证：这个一元二次方程一定有实数根；

(2)设该一元二次方程的两根为。，b,且8,a,6分别是一个直角三角形的三边长，求加

的值.

(22-23八年级上•山西太原•期末)

23.阅读材料，解答问题.

解方程：(4X-1)2-10(4X-1)+24=0,

试卷第3页，共4页

解：把4x7视为一个整体，设4x-l=y,

则原方程可化为：y2-10.v+24=0,

解得：必=6,%=4,

:.4x-l=6或4x-l=4,

75

•'=4'w=a，

以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想.

请仿照上例，请用换元法解答问题：

已知(%2+/+l)(x)+y2-3)=5,求/+V的值.

(23-24九年级上•四川内江•期中)

24.换元法是数学中的一种解题方法.若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母

代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化.如：解二元一次方程组

[2,(x+y)+3(x—y)=—2

,,：a，按常规思路解方程组计算量较大.可设x+j=。，x-y=b,那么

[x+y-2(x-y)-3

[2。+36=-2

方程组可化为“。，从而将方程组简单化，解出。和6的值后，再利用x+>=。，

[a-2b-3

=6解出x和y的值即可.用上面的思想方法解方程：

⑵X2+2X+46+2X-5=0

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程

的方法是解题的关键.

【详解】解：,•,一+2后％=0,

.•・、（工+2店）=0,

•'•X—x+=0,

解得玉=。，、2=-2#>，

故选：A.

2.A

【详解】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不

在讨论范围内的根要舍去.

因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一

元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去.

解：当2x-120时，即原方程化为：X2-2X-3=0,

•・•（%-3）（X+1）=0,

二百=3,x2=-1（舍去），

，x=3,

当2x-l<0,即x<1时，原方程化为：f+2x-5=0,

2

・•.（％+1）2-6,

x+1=iV6，

-'-x1=-1+V6（舍去），x2=-1-^6,

•••x=-1-^6.

贝iJ3+（—1—痛）=2—八.

故选：A.

3.B

答案第1页，共14页

【分析】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，先用因式分解求出方程的两个根，再根

据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长.

【详解】解：x2—6x+8=0,

(x-2)(x-4)=0,

•,•工一2=0或％-4=0,

xx—2>x2=4.

因为三角形两边的长分别为3和6,

所以第三边的长必须大于3,

故周长=3+6+4=13.

故选：B.

4.B

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到(％-2『-2x(%-2)=0,再利用因式

分解法把方程转化为x-2=0或x-2-2、=0,然后解两个一次方程即可.

【详解】解：(x-2)2-2x(x-2)=0,

(x-2)(x-2-2x)=0,

工一2=0或x-2-2x=0,

—

所以玉=2,x2=2.

故选：B.

5.C

【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，由题意得出g+gm-%=0,求

出，”的值，从而得出方程为2--x-l=0,再利用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程2/-f-机=0的一个根是《，

11c

22

解得：m=l,

••・方程为2/一%一1=。，

.-.(2x+l)(x-l)=0,

答案第2页，共14页

2x+l=0或x-l=O,

解得：xi=——，x?=1,

方程的另一个根是1,

故选：C.

6.C

【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

利用因式分解法求解即可.

【详解】解：；(X+2)(X-4)=X-4,

/.(x+2)(x-4)-(x-4)=0,

则(x-4)(x+l)=0,

x-4=0或x+l=O,

解得X]=4,x2=—1,

故选：C.

7.C

【分析】本题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况

与判别式之间的关系是解题的关键.根据一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为

0,据此解答即可.

【详解】解：•••关于x的一元二次方程工2-25-4加+5=0有两个相等的实数根，

A=(—2〃。—-4x1x(—4m+5)=0,即m2+4m—5=0,

.1zw=-5或=1.

故选：C.

8.A

【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元

二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键.根据解一元二次方程、一元二次方程跟的

判别式逐项判断即可.

【详解】解：A.由2/-5x+5=O的A=(-5)2-4X5X2=T5<0,故A选项没有实数根,

答案第3页，共14页

符合题意；

B.由(x-3)(x+2)=0的解为%=3户2=-2,故B选项有实数根，不符合题意；

C.由/+4x+4=0方程的解为国=%=-2,故C选项有实数根，不符合题意；

D.由3/=。的解为x=0,故D选项有实数根，不符合题意.

故选：A.

9.A

【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将/-X看作一个整体，再用换元法解方程求

出/-X的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程.

【详解】解：设x2-x=y,则原方程可化为：/-4y-12=0,

解得夕=-2,y=6.

2

当了=一2时，x-x=-2,即/一》+2=0,A=l-8<0,原方程没有实数根，故>=一2不

合题意，舍去；

当>=6时，x2-x=6>即/一x-6=0,A=1+24>0,故》的值为6；

x~—x+l=y+l=6+l=7.

故选：A.

10.A

【分析】利用换元法解一元二次方程求出而5=1，然后可得x+V的值.

【详解】解：令后亍="。20),则可得/+2a=3,

配方得：/+20+1=3+1,即(a+l『=4,

开方得：a+l=±2,

解得：0[=1,a2=-3(舍)，

.".yjx+y=a=l,

：.x+y=l,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，整体求出而7的值是解题的关键.

11.必=2,%=4,

答案第4页，共14页

【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解题的关键.

根据因式分解法求解即可.

【详解】解：62）=4（尸2）,

（尸2）（尸4）=0,

y-2=0或y-4=0,

解得必=2,%=4.

故答案为：弘=2,%=4.

12.-1

【分析】本题考查了同类二次根式的定义以及一元二次方程的求解，掌握同类二次根式的定

义以及一元二次方程的解法是解题的关键.

根据题意列出等式/-4x=8+3无，移项化简/一7X-8=0,再根据十字相乘法解得》的两

个值，再将x的两个值代入京不与3廊石检验是否是最简二次根式与同类二次根式即

可.

【详解】由题意得：X2-4X=8+3X

x2-7x-8=0

（x-8）（x+l）=0

x-8=0或x+l=0

解得：X]=8,x2=-1.

当x=8时，

G-4x=18?-4x8=A/64-32=732=4收，

3j8+3x=3j8+3x8=3寂=1272.

.,.当x=8时，J尤2-4x与3,8+3x不是最简二次根式,

x=8（不合题意，舍去）

当x=-l时，

3j8+3x=3^8+3x(-l)=3>/8^3=375,

答案第5页，共14页

・・・当x=-l时，J/_4x与3回石是最简二次根式,

*'•X=-1.

13.0或6##6或0

【分析】本题考查分式方程无解求参数的值，将分式方程转化为整式方程后，根据分式方程

无解分两种情况：整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可.

【详解】解：方程去分母，得：x(x+l)-/+x+2=发，

整理，得：2x+2=k,

•••方程无解，

x2-x-2=0,

・••x=-1或x=2,

当％=—1时，k=0,当x=2时，k=6；

故答案为：0或6.

14.1±2匣或匕叵

22

【分析】本题考查了解分式方程.熟练掌握换元法解方程，解分式方程检验，是解决问题的

关键.

设,=了，原方程化为/一了一8=0,用求根公式解得了=上返，换回！=上叵，检验,

x2x2

即得.

【详解】解：=

XX

设Ly,则y2_y_8=0,

X

vA=(-l)2-4xlx(-8)=33,

1±A/33

••y=------,

2

,1_1±V33

,,一=------,

x2

经检验工=上返适合原方程，

x2

1_1+V331_1-733

•<,="，="，

xl2x22

故答案为：1±照或izYH.

22

答案第6页，共14页

15.工或1

2

【分析】本题考查解一元二次方程，令叵口=t,求出工的值后再检验.

【详解】解：v72^1-2x4-1=0,

yjlx—1—(J2X-1)=0,

令yj2x-1=t

E=O或i-%=o,

2x-1=0或1=2x-1,

解得x=1或X=1,

经检验，X=；或X=1都是原方程的解，

故答案为：5或1.

16.3

【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程

变形是解题的关键.

利用完全平方公式把方程变形为-2卜+：］-3=0,利用换元法，设x+：=加，则

m2-2m-3=0,转化为解一元二次方程，求出x+工可能的值，分别得出分式方程，计算检

验是否有解，即可得出答案.

【详解】解：••-x2+^-2fx+-Vl=0,

XIX)

H——+2-2x-\—।-3=0,

XX)

设■—=机，贝!加J2-2加一3=0,

x

因式分解得：(冽-3)(加+1)=0,

・•・加一3=0或加+1=0,

答案第7页，共14页

解得：加=3或机=—1,

当加=3时，则、+工=3,

x

整理得：、2-3%+1=0,

—6±"2—3±J9—43±V5

•••x=--------------------=---------------=---------，

2a22

解得：%=告叵，七=三3，

经检验，V=1±2^,X三区都是方程x+'=3的解，

1222x

x+—的值为3；

x

当加=一1时，则1+,=-1,

X

整理得：x2+x+l=0,

A=Z?2-4QC=1-4=-3<0,

XH---=-1时，方程无解.

X

综上所述，X+，的值为3,

X

故答案为：3.

17.x=-2

【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关

键.需注意的是，分式方程的解一定要进行检验.方程两边同乘以(x+l)(x-1)化成整式方

程，再利用因式分解法解一元二次方程可得X的值，然后进行检验即可得.

2x-l2

【详解】解：--+-—=l,

x-11-xr

方程两边同乘以(x+l)(x—1),得(2x—l)(x+l)—2=(x+l)(x—1),

22

去括号，^2x+2x-x-l-2=x-lf

移项、合并同类项，得Y+x—2=0,

因式分解，得(-1)卜+2)=0,

解得x=l或x=-2,

经检验，尤=1不是原分式方程的解，尤=-2是原分式方程的解，

故答案为：x=-2.

答案第8页，共14页

【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，设NB=x,勾股定理求出/C,3C,过点A作

AD1BC,易得A/CD为等腰直角三角形，求出的长，等积法列出方程进行求解即

可.

【详解】解：•.•”（l,0）,C（0,4）,

.-.OA=1,OC=4,

■■AC=Vl2+42=V17，

过点A作4D28C,

ZACB=45°,

・•・△/DC为等腰直角三角形,

...AD=CD=—AC=典,

22

设AB=x,贝!J：OB=1+x,

BC=y]0C2+0B2=^(1+X)2+16,

♦：S“Bc=gAB.OC=gBC.AD，

•••4x=•J(l+x)2+16,

16x2=》[(1+才+161，

1717

解得：x或==（舍去）,

1720

・・.OB=1+—=

33

故答案为：—.

19.(1)再=3,x2=4；

3

(2)%=3,x2=—.

答案第9页，共14页

【分析】本题主要考查因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解法求一元二次方程的解

的方法是解题的关键.

(1)先提取公因式3),再根据解一元一次方程的方法即可求解；

(2)移项得7Mx-3)-3(x-3)=0,再提取公因式(X-3),最后根据解一元一次方程的方法

即可求解.

【详解】(1)解：4(X-3)2-X(^-3)=0

(x-3)[4(x-3)-x]=0

(x-3)(3x-12)=0,

.•・工一3=0或3]-12=0,

二百=3,x2=4；

(2)解：7x(x-3)=3x-9

7x(x-3)-3(x-3)=0

(x-3)(7x-3)=0,

••・工一3=0或7%-3=0,

O3

X]—3,%2=~.

20.X]=1+%=1-yfijx3=——,x4=2

【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识.设告=九原

X-1

方程变为“+解得"]或再分别代入士=y,求出x=l土收，或x=-g

y123x-12

或x=2,代入最简公分母进行检验即可求解.

【详解】解：设*=>,贝

x-1xy

17

原方程变为"+二=5，

y乙

去分母得：6y2-7y+2=0,

解得白二1或片；2

答案第10页，共14页

x]

当-#7=彳时，去分母得：X2-2X-X=0,

x-12

解得：x=1±V2;

Y2

当三=彳时，去分母得：2X2-3X-2=0,

x-13

解得：x=-g或尤=2,

检验：当x=l土板时，2x(x+l)(x-l)w0,当工=-；或x=2时，2x(x+l)(x-l)w0,

二分式方程的解为项=1+V2,X2=1-72,x3=--^,x4=2.

21.(1)X]=5/5+2,x?=—\fs+2

小、11+V1311-V13

(2)/=---，/=―7—

66

9

(3)玉=3,x2=—

(4)»=；,%=-2

【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答.

(2)先化为一般式，再根据A=/-4ac算出，以及代入x「b土&进行化简,即可作

2a

答.

(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0,进行解出x的值，即可作答.

(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0,进行解出x的值，即可作答.

【详解1(1)解:x?-4x-1=0

移项，得/-4x=l

配方，得M-4x+4=l+4,即(x-2『=5

x—2=±V5

解得Xj=V5+2,x2=—yl~5+2；

(2)解：3X2-11X=-9

3X2-11X+9=0

△=/-4ac=121-4x3x9=121-108=13

答案第11页，共14页

11±V13

x=-----------

6

解得寸生正,▼上g

66

(3)解：5(X-3)2=X2-9

5(X-3)2-(X2-9)=0

5(X-3)2-(X-3)(X+3)=0

(x-3)[5(x-3)-(x+3)]=(x-3)(4x-18)=0

则x-3=0,4x-18=0

9

解得X1=3,x2——；

(4)解：2y2+4y=y+2

2y2+4y-(y+2)=0

2.y(j+2)-(y+2)=0

(2y-l)(y+2)=0

・•・2y—1=0,>+2=0

解得m=；，％=-2.

22.(1)证明见解析;

(2)10或2"

【分析】(1)利用根的判别式求出A=Z>2-4ac=("?+6y-24加=m2-12/M+36=(m-6)2即

可；

(2)把原方程因式分解(x-加)(x-6)=0,求出方程的两个根网=机，X2=6,分别探讨不

同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题；

本题考查了根的判别式，解一元二次方程和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关

键.

【详解】(1)证明："b2-4ac=(m+6)--24m=m2-12/W+36=(TH-6)2,

答案第12页，共14页

b2-4ac>0，

・•.这个一元二次方程一定有两个实数根；

(2)解：原方程可变为(x-机)(x-6)=0,

则方程的两根为西=%，超=6,

二直角三角形三边为6,