数下高数二类曲线积分

2011.2.6北京工商大学11-2-1§11.2

对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的计算法两类曲线积分的关系第十一章曲线积分与曲面积分2011.2.6北京工商大学11-2-2一、问题的提出变力沿曲线所作的功常力沿直线所作的功分割实例？对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-3求和取极限取近似取即近似值精确值对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-4二、概念1.定义

设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑

用L上的点:把L分成n个有向小弧段曲线弧,在L上有界.上任意取定的点.如果当各小段的极限总存在,长度的最大值则称此极限为函数在有向对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-5

记作曲线弧L上或称第二类曲线积分.对坐标x的曲线积分,即类似地定义称在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分.积分弧段被积函数对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-62.存在条件3.组合形式在光滑曲线弧L上连续,“点积”形式曲线积分存在.第二类其中对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-74.推广5.性质空间有向曲线弧Γ,(1)对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-8

对坐标的曲线积分与(3)有向曲线弧,则曲线的方向有关.(2)L1L2L对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-9三、对坐标的曲线积分的计算

对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.因此下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标.思想是化为定积分计算.对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-101.积分弧段为参数方程定理且对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-11推广对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-122.积分弧段为直角坐标方程对坐标的曲线积分(1)y=y(x),始点为(a,a’),终点为(b,b’).(2)x=x(y),始点为(a,a’),终点为(b,b’).2011.2.6北京工商大学11-2-13例解⌒⌒(1)对坐标的曲线积分其中L为抛物线y2=x上从A(1,-1)到B(1,1)的一段弧.2011.2.6北京工商大学11-2-14(2)对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-15

其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.直线AB的方程为解化成参数式方程为于是例A点对应B点对应对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-16例(1)L是上半圆周逆时针方向;解A点对应(2)L是x轴上由点到点的线段.

(1)中L的参数方程为B点对应其中原式=对坐标的曲线积分)cos(dcos202tataòp)sin(d)cossin(tatata-+2011.2.6北京工商大学11-2-17(2)L的方程为原式=(2)L是x轴上由点到点的线段.

其中对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-18例直接化为定积分计算取逆时针方向.解由曲线积分的性质.则其中ABCDA为对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-19四、两类曲线积分之间的关系设有向平面曲线弧为则有向曲线弧L的切向量为对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-20可用向量表示有向曲线元则推广空间曲线对坐标的曲线积分2011.2.6北京工商大学11-2-21例解

所以把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分.其中L为沿抛物线从点(0