人教版九年级数学上册专项训练：圆的有关性质（二）解析版

第10讲圆的有关性质（二）

（重点题型方法与技巧）

目录

类型一：利用圆周角定理及其推论求角的度数

类型二：运用弧、弦、圆心角、圆周角的关系进行计算或证明

类型三：圆内接四边形

类型一：利用圆周角定理及其推论求角的度数

计算圆心角和圆周角时的注意事项：

1.在进行有关圆心角与圆周角的计算时，应适当添加辅助线，以方便角度之间的转化.一条弧所对的圆心角

只有一个，而所对的圆周角有无数个，它们都相等；

2.一条弦所对的圆心角只有一个，但它所对的圆周角却有无数个，在同一条弦的同侧的圆周角相等，在同一

条弦的异侧的两个圆周角互补.

典型例题

例题1.（2022•云南•昭通市昭阳区第一中学九年级期末）如图，A3是。。的直径，AC.5c是。。的弦,

若NA=30。，则N5的度数为（）

A.70°B.90°C.40°D.60°

【答案】D

【详解】解：••SB是。。的直径,

ZACB=90°,

'：ZA=30°,

.,.ZB=90°-ZA=60°,

故选：D.

点评：例题1考查了圆周角定理和直角三角形的性质，能根据圆周角定理得出/ACB=90。是解此题的关键.

例题2.（2022•湖北•五峰土家族自治县中小学教研培训中心九年级期中）如图，点A,B,C,D,E在。。

上，AB^CD,70°,则NCEZ>=（）

&

B

A.70°B.35°C.40°D.20°

【答案】D

【详解】解：连接OC,如下图

&

B。

'：AB=CD,/OAB=10°,

：.ZOAB=ZOBA^IO0,

：.ZAOB=ZCOD=40°,

又由圆周角定理可得NCE0=；NCOD=2O。.

故选：D.

点评：例题2主要考查了圆周角定理，解题关键是正确添加辅助线.

例题3.（2022•全国•九年级单元测试）如图，四边形A3C。为。。的内接四边形，连接5。，AB=AD=

CD,ZBDC=15°,则NC的度数为（）

B

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】D

【详解】解：,.,AB=A£）=C。，

BA=DA=DC，

：.ZADB=ZABD=ZDBC,

设NA£>3=ZABD=ZDBC=x,

:四边形ABCD为©O的内接四边形，

ZABC+ZADC=180°,

即3x+75o=180°,

解得：尤=35°,

：.ZDBC^35°,

在△BZJC中，ZBDC=15°,ZDBC=35°,

：.ZBCD=180°-75°-35°=70°.

故选D.

点评：例题3考查了圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，熟练掌握相关知识点是解题

的关键.

例题4.（2022•福建省福州第八中学九年级阶段练习）已知4,B,C三点在。。上，若NACB=130。，则

ZAOB=°.

【答案】100

【详解】解：如图，在优弧A2上找一点〃，连接40,BD,

'：ZACB=130°,

ZADB=180°-ZACB=130°=50°,

NAOB=2/ADB=100°.

故答案为：100.

点评：例题4考查了圆周角定理和圆心角定理，注意本题不含第二种情况.

例题5.（2022•云南•会泽县大井镇第二中学校九年级期中）如图，。的弦CO与直径45相交，若ZBAD=50°,

则____度.

【答案】80

【详解】解：TAB是:。的直径，

：.ZADB=90°,

'：/BAD=50°,

/."54=40。，

ZAOD=2/DBA=80°:

故答案为80.

点评：例题5主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.由题意易得ZAEH=90。，则有

NDA4=40。，然后根据圆周角定理可求解.

例题6.（2022•江苏•泰州市姜堰区第四中学九年级）如图，点A、B、C、D、E在。上，且注石为40。，

求NB+ND的度数.

【答案】160。

【详解】如图，点4B、C、D、E在工。上,且注E为40°,

C

O.

AE

所以CE的度数与C4的度数之和为360。-40。=320。.

因为的度数等于《在的度数，ND的度数等于工微的度数，

22

所以NB+的度数为CE的度数与CA的度数之和的一半，

所以NB+ND=LX320°=160°.

2

点评：例题6考查了圆周角的度数与所对弧度数之间的关系，熟练掌握圆周角的度数等于所对弧度数的一

半是解题的关键.根据整个圆弧的度数为360。，计算出CE的度数与C4的度数之和，根据圆周角的度数等

于所对弧度数的一半计算即可.

同类题型演练

1.(2022・全国•九年级单元测试)如图，A3是直径，点C,。在半圆上，若44c=40。，则ZADC=()

A.110°B.120°C.130°D.140°

【答案】C

【详解】解：连接BC,

QAB是直径，

ZACB=90°,

Zfl4c=40°,

ZB=900-ABAC=50°,

四边形ABCD是圆的内接四边形,

:.ZADC+ZB=180°,

ZADC=180°-50°=130°,

故选：C.

2.（2022•北京・人大附中九年级阶段练习）如图，AB为。的直径，点C,。在。。上，若/ADC=130。,

则/BAC的度数为（）

A.25°B.30°

【答案】C

【详解】解：为。。的直径,

^ACB=90?,

:四边形ABCD是圆内接四边形，/ADC=130?,

4=50?,

NBAC=90?-50?.

故选：C.

3.（2022.全国.九年级单元测试）如图，在。。中，点。是4»8的中点，若/4g=65。，则/。的度数是（）

A.75°B.65°C.50°D.40°

【答案】C

【详解】解：：点C是AO8的中点，

AC=BC>

C.AC^BC,

：.ZCAB^ZABC=65°,

'：ZC=180°-Z.CAB-ZABC=180°-65°-65°=50°,

"=/£>=50。，

故选：C.

4.（2022.北京.人大附中九年级阶段练习）如图，等边△的<7的三个顶点均在。。上，连接。4,OB,OC,

则ZAOC的度数为

【答案】1200##120度

【详解】解：•••△ABC为等边三角形,

:./4BC=60°,

,?ZAOC=2ZABC,

：.ZAOC=]20°.

故答案为：120。

5.（2022•广东顺德德胜学校三模）如图，点。是AC的中点，点E是BC上的一点，若/CED=35?,则ZADC=

【答案】1100##110度

【详解】解：：点。是AC的中点,

,,AD=CD，

・•・ZAED=ZCED=35°f

：.ZAEC=70°,

'：ZAEC+ZADC=180°,

・•・ZADC=110°.

故答案为：110。

6.（2021.安徽.淮南市洞山中学九年级阶段练习）如图，已知AB为。。的直径，CD是弦，且于

点、E.连接AC、OC、BC.

c

(1)求证：ZACO=ZBCD.

(2)若BE=3,CD=8,求8C的长.

【答案】(1)见解析

(2)5

【详解】(1),・N3为。。的直径，

・•・ZACB=90°,

・•・NA+NB=90。，

VAB±CD,

.,.ZBC£)+ZB=90°,

/.ZA=ZBCD,

U

：OA=OC9

：.ZA=ZACO

：.ZACO=ZBCD；

(2)u：ABLCD,

：.CE=-CD=4

2f

・•・BC=1BE2+C可=5.

类型二：运用弧、弦、圆心角、圆周角的关系进行计算或证明

圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角相等或倍分关系的方法：

在圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角的相等或倍分关系时，应从同类型元素(指弧、弦、角)的相等或倍

分关系入手，转化为另一种元素的相等或倍分关系，从而得到问题的结论.

典型例题

例题1.(2022•黑龙江•哈尔滨德强学校九年级阶段练习)在。中，满足cr>=2AB，则下列说法正确的是

()

A.CD>2ABB.CD<2ABC.CD=2ABD.无法确定

【答案】B

【详解】解：如图：。=2AB，取CD的中点E，连接CE,DE-,

'."CD=2AB^点E为CO的中点,

肪=在=近，

：.AB=CE=DE,

,：CE+DE>CD,

：.2AB>CD,

故选：B.

点评：例题1主要考查了等弧对等弦以及三角形三边之间的关系，熟练掌握相关内容，将成倍数关系的弧

转化为等弧是解题的关键.取CD的中点E,连接CE,DE,可得/J=根据等弧所对的弦相等

可得AB=CE=DE,最后根据三角形三边之间的关系即可进行判断.

例题2.（2022•全国•九年级课时练习）如图，A、B、C是，0上的三个点，ZAOB=50°,ZB=55°,则ZA

的度数是（）

A.25°B.30°

【答案】B

【详解】•/OB=OC,ZB=55°,

：.ZB=ZOCB,

：.ZBOC=180°-2ZB=70°,

ZAOB=50°,

：.ZAOC=ZAOB+ZBOC=700+50°=120°,

OA=OC,

故选：B.

点评：例题2圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得NAOC的度数，难度不大.

例题3.（2022•河南南阳•九年级开学考试）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对

的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或

等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；

②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；

③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；

④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；

⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误；

所以不正确的有①②③④⑤，共5个.

故选：D

点评：例题3考查垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握垂径定理，圆的基本

性质，弧、圆心角、圆周角的关系是解题的关键.

例题4.（2022•浙江湖州•九年级期末）如图，四边形ABC。是半圆。的内接四边形，其中A3是直径，点

C是弧08的中点，若NC=110。，则NABC的度数=.

【答案】55。##55度

【详解】连接。C,

是弧。B的中点，ZDCB=110°,

ZDCO=ZBCO=U0o^2=55°,

：A8是圆的直径，。是圆心,

OC=OB,

：.ZABC=ZOCB=55°,

故答案为55。.

点评：例题4考查了与圆有关的性质、等腰三角形相关的性质，正确作出辅助线并使用该性质进行证明是

解决本题的关键.

例题5.（2021•浙江•杭州市建兰中学九年级期中）如图，A5是。的直径，四边形A5C0内接于。，OD

交AC于点E,AD=CD.若AC=10,DE=4,则的长为

9

【答案】-##2.25

4

【详解】解：•・,">=CD

AD=CD，

ODLAC,

•\AE=CE=^-AC=5,

设。O的半径为r,则OA=r,OE=r-4,

41

在R3O4E中，52+0—4)2=产，解得r二?,

8

9

：.OE=OD-DE=-

8f

u

：OB=OAfAE=CE,

：.OE1为△ABC的中位线，

9

：.BC=20E=-.

4

9

故答案为：-

点评：例题5主要考查了垂径定理，中位线定理，勾股定理，解题的关键是设。O的半径为r,根据勾股定

理，列出关于r的方程5?+(r-4)2=r2.利用圆心角、弧、弦的关系得到A。=，再根据垂径定理得到

OD±AC,AE=CE=5,设。O的半径为r,则OA=r,OE=r-4,利用勾股定理得夕+(r-4)2=r2,解

41

得厂=?，然后证明OE为AABC的中位线，从而得到BC的长.

O

例题6.(2022•江苏•九年级)如图，正方形A5CD内接于。O,AM=DM，求证：BM=CM.

M

【答案】见解析

【详解】证明：・・•四边形A5CO是正方形,

：.AB=CDf

**-AB=CD，

,AM=DM,

AB+AM^CD+DM>BPBM=CM>

点评：例题6考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之

间的关系定理是解题的关键.

同类题型演练

1.(2021.甘肃.九年级专题练习)如图，在中,AB=BC=CD，连接AC，CD,则AC与CO的关系是

().

A.AC=2CDB.AC<2CD

C.AC>2CDD.无法比较

【答案】B

1【详解】解：连接AB,BC,如图,

;AB=BC=CD

：.AB=BC=CD

5LAB+BC>AC

：.AC<2CD

故选：B

2.（2021.山东潍坊.二模）如图，AB是，。的直径，C,D是。上的两点，且点。为优弧瓦。的中点,

连接8,CB,OD,CD与A3交于点尸.若N4BC=20。，则NAOD的度数为（）

A.95°B.100°C.110°D.120°

【答案】B

【详解】连接OC,

OB=OC,

.\ZABC=ZOCB,

ZABC=20°,

.\ZOCB=20°,

ZBOC=180°-Z.OCB-Z.OBC=180°-20°-20°=140°,

点C为优弧BA。的中点,

ZCOD=ZBOC=140°,

ZBOD=360°-NBOC-ZCOD=80°,

ZAOD=180°-ZBOD=100°,

故选:B.

3.（2020・上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列关于圆的说法中，错误的是（）

A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧

B.如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等

C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线

D.拱形不一定是弓形

【答案】B

【详解】解：A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A选项不符合题意；

B.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所以B选项符合题意;

C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，所以C选项不符合题意；

D.拱形加上跨度为弓形，所以D选项不符合题意.

故选：B.

4.（2021・四川绵阳•九年级期末）如图，为。。的直径，点。是弧AC的中点，过点。作。于点

E,延长。E交。。于点R若AE=3,。。的直径为15,则AC长为（）

A.10B.13D.11

【答案】C

【详解】解：连接OF

\'DE±AB,A2过圆心

DE=EF,AD=AF，

・・・。为弧AC的中点，

,•AD—CD，

AC=DF

：・AC=DF,

・・・。0的直径为15,

・・・OF=OA=—

29

VAE=3,

9

OE—OA-AE=—,

2

在RfAOE/中，由勾股定理得：EFTOF-OE?=6,

:.DE=EF=6,

：.AC=DF=DE+EF=6+6=12,

故选C.

5.（2022・全国•九年级课时练习）如图，点A、B、C、。均在。上，若NAOD=65。，AO//DC,则NB

的度数为.

【答案】57.5°

【详解】解：连接A。,

VZAOD=6S°,AO//DC,

：.ZODC^ZAOD=65°,

VZAOD=65°,OA=OD,

：.ZODA=ZOAD=^（180°-ZAO£»=57.5°,

/ADC=NOZM+NOr>C=57.5°+65°=122.5°,

1/四边形ABCD是。。的内接四边形，

：.ZB+ZADC=1SO°,

：.ZB=57.5°,

故答案为:57.5°.

6.（2021.浙江•温州市第十二中学九年级期中）如图，AB为。的直径，点D是弧AC的中点，过点。

作。于点E,延长DE交；O于点F,若AC=12,AE=3,贝|O的半径长为

【答案】y

【详解】解：如图，连接。咒

DE=EF,AD=AF,

・・•点。是弧AC的中点，

,•AD=CD，

AC=DF

：.AC=DF=n,

：.EF=^DF=6,OA=OF=X,

在放AOE产中,则有/=62+(x-3)2,

解得x==,

2

故答案为：—

7.（2021・陕西•商南县富水镇初级中学九年级期中）如图，O的弦A3、CO相交于点E,且=求

证：BE=DE.

【答案】详见解析

【详解】证明：AB=CD,

AB=CD>

:.AB-AC^CD-AC>

即AD=BC>

:.ZB=ZD,

BE=DE;

8.（2021.黑龙江齐齐哈尔.九年级期中）如图，四边形ABCZ）中，NB=/D,AB^CD,48与。C不平行,

过点A作AE〃OC,交△ABC的外接圆。。于点E,连接CE、OA.

（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；

（2）求证：A。平分

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【详解】证明：（1）由圆周角定理得，ZB=ZE,又NB=ND,

"E=ND,

1/AE//DC,

：.1D1DAE180?,

：.ZE+ZDAE=18O°,

：.AD//CE,

四边形AECD为平行四边形；

(2)作0M_LR4于M,ONLAE于N,

V四边形AECD为平行四边形，

：.AE=CD,

又AB=DC,

：.AE=AB,

又ONLAE,

:.AN^AM,

而ON2=(9A2-AN-,OM2=(9A2-AM2,

：.OM=ON,

...AO平分NBAE.

类型三；圆内接四边形

典型例题

例题1.(2021•重庆十八中两江实验中学九年级阶段练习)如图，四边形ABCD是。的内接四边形，且

ZA=110°,4=50。，则NC的度数为()

A.110°B.70°C.60°D.20°

【答案】B

【详解】解：四边形A3C。是＜。的内接四边形,

.-.ZA+ZC=180°,

ZA=110°,

.-.zc=70

故选：B.

点评：例题1考查圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角豆和"

例题2.（2022•江苏•九年级单元测试）若四边形ABC。是。。的内接四边形，ZA：ZC=1：2,则NC=

（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】A

【详解】解：：四边形ABC。是。。的内接四边形

，ZA+ZC=180°

又ZC=1：2

.\ZC=120°

故选：A.

点评：例题2考查了OO的内接四边形性质，解题的关键结合已知条件求解.。。的内接四边形性质对角

和180。，加上已知条件NA：NC=1：2,即可求得NC.

例题3.（2022•浙江衢州•二模）如图，是。的直径,C,。为。上的点，且点。在弧AC上.若/。=120。,

则NC4B的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】A

【详解】解：VZD+ZB=180°,Z£)=120°,

/.ZB=60°,

,：AB是直径，

ZACB=90°,

：.ZCAB=90°-ZB=30°,

故选：A.

点评：例题3考查圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周

角是直角、圆内接四边形的性质，属于中考常考题型.利用圆内接四边形的性质求出NB=60。，由圆周角定

理推论得出ZACB=90°,再由直角三角形两锐角互余求解即可.

例题4.（2021•浙江•金华海亮外国语学校九年级阶段练习）如图，四边形ABC。是。是内接四边形，已

知NZMB=105。，贝!|/£>CE=.

【答案】105。

【详解】解：：四边形ABC。是〈。是内接四边形，

：.ZBAD+ZBCD=ISQ°,

'：ZDCE+ZBCD=1SQ°,ZDAB=105°,

：.ZDCE=ZBAD=\05°.

故答案为：105。

点评：例题4主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

例题5.（2022•湖南•长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，四边形A3CD内接于A5为。。

的直径，ZAZ>C=130°,连接AC,则/R4C的度数为.

【答案】40°##40度

【详解】解：：四边形ABCD内接与OO,ZA£>C=130°,

ZB=180°-ZADC=180°-130°=50°,

'：AB为直径，

ZACB=9O°,

：.ZCAB=90°-ZB=90°-50°=40°,

故答案为：40°.

点评：例题5考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互

补.首先利用圆内接四边形的性质和NADC的度数求得NB的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确

定NACB=90。，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可.

例题6.（2022•云南昆明•九年级期末）如图，四边形ABCD内接于。，NF+NEBC=180。，求证：EF//AD.

【答案】见解析

【详解】证明：；NEBC+ZABC=180°,4F+NEBC=180°

，NF=ZABC

又•.•四边形ABC。内接于

ZD+ZABC=180"

ZF+ZD=180°

/.EF//AD

点评：例题6考查了圆内接四边形对角互补，平行线的判定定理，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关

键.根据圆内接四边形对角互补，以及已知条件可得/歹+40=180°,即可证明EF〃AD.

同类题型演练

1.（2022•江苏盐城•九年级期末）如图，ABC。为圆内接四边形，若NA=60。，则/C等于（）

A.30°B.60°

C.120°D.300°

【答案】C

【详解】解：；四边形A3。是。。的内接四边形,

ZA+ZC=180°,

ZA=60°,

.,.ZC=180°-60°=120°,故C正确.

故选：C.

2.（2022・江苏宿迁•九年级期末）在圆内接四边形中，ZA:ZB:ZC=3:4:6,则/。等于（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

【答案】C

【详解】解：：四边形ABC。是圆内接四边形，

ZB+ZD=ZA+ZC=180°,

VZA,NB、NC的度数之比为3：4：6,

oA

・•・ZA=180°x-=60°,ZC=180°x-=120°,

99

4

ZB=180°x-=80°,

9

.•.ZD=180o-80°=100°,

故选：C.

3.（2022.四川自贡.九年级专题练习）如图，四边形ABC。内接于。。，A3为。。的直径，ZABD=20,

则N5CD的度数是（）

【答案】C

【详解】〈A3为。。的直径，

ZADB=90°,

又「ZABD=20,

AZDAB=90-ZABD=90-20=70,

又・・•四边形ABCD内接于。。，

ZBCD+ZDAB=180,

AZBCD=ISO-ZDAB=1SO-70=110,

故答案选：c.

4.（2022•甘肃•民勤县第六中学九年级期末）如图，已知四边形A8CD内接于。O,E在AO的延长线上,

/CDE=82°,则/ABC的度数是.

【答案】82。##82度

【详解】解：：四边形ABC。内接于。O,

ZABC+ZADC=180°,

•.*ZADC+ZCDE=180°,

ZABC=ZCDE,

'：ZCDE=S2°,

乙4BC=82。.

故答案为：82°

5.（